1、4.7一元二次方程的应用1学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.难点难点2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.重点重点导入新课导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余局部种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，那么由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=678问题引入讲授新课讲授新课引例：要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封
2、面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到)27cm21cm合作探究几何图形与一元二次方程 分析:这本书的长宽之比 ：正中央的矩形长宽之比 ：，上下边衬与左右边衬之比 ：.9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：11(27 9):(21 7)22aa9 79(3):7(3)9:7.aa27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18)(21 14)27 21,4xx 解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:6
3、3 391.8,4故左右边衬的宽度为:63 371.4.4方程的哪个根符合实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm3972721,4xx解得 223 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:建立一元二次方程模型实际问题实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？设未知数分析数量关系例1：如下图，
4、在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：假设设出发x s后可使PCQ的面积为9cm整理，得解得 x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.92)6(21xx0962 xx 主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规那么应割或补成规那么图形,找出各局部面积之间的关系,再运用规那么
5、图形的面积公式列出方程;方法点拨220323220540 xxx2032xx解：设道路的宽为x米例2：如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的局部种上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少？典例精析还有其他还有其他解法吗？解法吗？2032xx解：设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2答：道路的宽为2米.方法二：在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的局部种上草坪,要使草坪的面积为540,求这
6、种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-x)(20-x)=540可列方程为可列方程为2032xxx20-x 在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的局部种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-x)=540可列方程为可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x 在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的局部种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的
7、宽为 x 米米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为可列方程为在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的局部种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三解解:设横、竖小路的宽度分别为设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程于是可列方程(30-4x)(20-6x)=203020303x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些目的是求出水渠
8、的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路.方法点拨解：设AB长是x m.(100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例3：如图：要利用一面墙墙长为25米建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？DCBA25米变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积
9、为80平方米？住房墙住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，由题意得 x(25-2x+1)=80化简，得 x2-13x+40=0解得 x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=1612 (舍去当x=8时，26-2x=1012 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.那么平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.1.在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图，如果要使整个挂图的纸边，制成一幅矩形挂图，如下图，如果要使整个挂图的面积是面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，
10、那么x满足的方满足的方程是程是 Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB当堂练习当堂练习2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽 解：设铁板的宽为x cm,那么有长为2x cm5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0解得 x1=25 x2=-10(舍去所以 2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的面
11、积比=_(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的面积比=_123 1 21231 4 1 31 9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,答复以下问题：结论：相似三角形的面积比等于_相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方知识知识点点证明：设ABCABC，相似比为k,如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.BAABDAADABCABCDD想一想：怎么证明这一结论呢？ABCABC.ADkA D 212.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA DB CA D .ABBCA BB C NoI
12、mage相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结1.ABC与ABC的相似比为2：3，那么对 应边上中线之比 ，面积之比为 .2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为_.1:32:34:9练一练NoImage例：将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠局部的面积是ABC的面积的一半.BC=2，求ABC平移的距离.解：根据题意，可知EGAB.GEC=B,EGC=A.GECABC.222GECABCSECECSBCBC22122EC22.2.ECEC22.BEBCEC即ABC 22.解：在 ABC 和 DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，又 D=A，DEF ABC，相
13、似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC例 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5DEF 的边 EF 上的高为 6=3，12面积为 2112 53 5.2 如果两个相似三角形的面积之比为 2:7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_.NoImage练一练例 53ABADACAE ADE ABC.它们的相似比为 3:5，面积比为 9:25.BCADE解：BAC=DAE，且
14、35AEADACAB，又 ABC 的面积为 100 cm2，ADE 的面积为 36 cm2.四边形 BCDE 的面积为10036=64(cm2).BCADE 如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB.当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED:SABC 的值.ABCDFE练一练解：DEBC，D 为 AB 中点，ADE ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.12AEAD.ACABABCDFE又 EFAB，EFC ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.设 SABC=4，那么 SADE=1，SEFC=1，S四边形BFED=SABCSAD
15、ESEFC=411=2，S四边形BFED:SABC =2:4=1.23两个相似三角形对应中线的比为 ，那么对应高的比为_.2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,那么对应高的比为_,那么对应中线的比为_.1221214141随堂练习随堂练习解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为.AGBCDEFH4.ABCDEF，BG，EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.如图，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD
16、，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ASRABC (两角分别相等的两个三角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：选做题：6.6.一块直角三角形木板的一条直角边一块直角三角形木板的一条直角边ABAB长为长为1.5m1.5m，面积为面积为1.5m2,1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方要把它加工成一
17、个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图1 1、2)2)所所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最相信自己是最棒的！棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角
18、形的周长也扩大为原来的 5 倍 ()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ()10.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1:21:49.在在 ABC 和和 DEF 中，中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，假设是中线，假设 AP2，那么，那么 DQ 的值为的值为 ()A2 B4 C1 D.C2111.两个相似三角形对应的中线长分别是两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和和 18 cm，假设较大三角形的周长是假设较大三角形的周长是 42 cm，面积是，面积是 12
19、 cm2，那么，那么较小三角形的周长较小三角形的周长_cm，面积为，面积为_cm2.144312.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡(点点A)发出的光线发出的光线照照 射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为米，桌面距离地面为 1 米，假设灯泡距离地面米，假设灯泡距离地面 3 米，米，那么地面上阴影局部的面积约为多少那么地面上阴影局部的面积约为多少(结果保存两结果保存两位位 小数小数)？ADEFCBH解：FH=1 米，AH=3 米，桌面的直径为 1.2 米，AF=AHFH=2(米)，DF 2=0.6(米).DFCH，
20、ADF ACH，ADEFCBHDFAFCHAH，即0 623.CH，解得 CH=0.9米.阴影局部的面积为：220.92.54CH(平方米).答：地面上阴影局部的面积为 2.54 平方米.13.ABC 中，中，DEBC，EFAB，ADE 和和 EFC 的面积分别为的面积分别为 4 和和 9，求，求 ABC 的面积的面积.ABCDFE解：DEBC，EFAB，ADE ABC，ADE=EFC，A=CEF，ADE EFC.又SADE:SEFC=4:9，AE:EC=2:3，那么 AE:AC=2:5，SADE:SABC=4:25，SABC=25.14.如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB，AC 于 点 D，E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，那么12212ADEDCEAE DFSAESECEC DF，23AE.AC 又 DEBC，ADE ABC.ABCDE222439ADEABCSAESAC，即 SADE:SABC 4:9.ABCDE
