1、第二十一章 一元二次方程解一元二次方程第3课时学习目标1.经历求根公式的推导过程经历求根公式的推导过程.难点难点2.会用公式法解简单系数的一元二次方程会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点重点3.理解并会计算一元二次方程根的判别式理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况会用判别式判断一元二次方程的根的情况.导入新课导入新课复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?导入新课导入新课问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她
2、是如何判断的吗？讲授新课讲授新课 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 能否也用配方法得出它的解呢？合作探究 求根公式的推导用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).方程两边都除以a 解:移项，得配方，得222.22bbcbxxaaaa 即2224.24bbacxaa 2axbxc ，2bcxxaa，问题：接下来能用直接开平方解吗？24.2bbacxa 24.22bbacxaa 即一元二次方程一元二次方程的求根公式的求根公式特别提醒221244,.22bbacbbacxxaa a 0,4a20，当b2-4ac 0时，a 0,4a20，当b2-4a
3、c 0时，22240.24bbacxaa 而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0)，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.2.42bbacxa 用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0);2.b2-4ac0.注意例1 用公式法解方
4、程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa242bbacxa典例精析(4)25641628=25105 1262,5xx 公式法解方程242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx 1-2 33.abc、解：Q（），2242 34 1 30bac 即：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程：精确到0.001.210 xx1,1,1,abc 22414 1(1)50bac 152x 120.618,1.618.xx 解：用计
5、算器求得：52.2361例4 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4(3)4 4 2932230.abcbac 因为因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形变形:化方程为一般形式化方程为一般形式;2.确定系数确定系数:用用a,b,c写出各项系数写出各项系数;3.计算计算:b2-4ac的值的值;4.判断：假设判断：假设b2-4ac 0，那么利用求根公式求出，那么利用求根公式求出;假设假设b2-4ac 0 =0 0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac-1 B.k-1且k0 C.k1 D.k0，
6、同时要求二次项系数不为0，即 ，k0.解得k-1且k0，应选B.B2(2)40k例7:不解方程，判断以下方程的根的情况13x2+4x3=0；24x2=12x9;(3)7y=5(y2+1).解：13x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3,b24ac=3243(3)=520.方程有两个不相等的实数根 2方程化为：4x212x+9=0,b24ac=(12)2449=0.方程有两个相等的实数根例7:不解方程，判断以下方程的根的情况 (3)7y=5(y2+1).解：3方程化为：5y27y+5=0,b24ac=(7)2455=510.方程有两个相等的实数根1.解方程：x2+7x 18=0.解：这里 a=
7、1,b=7,c=-18.b 2-4ac=7 2 4 1(-18)=1210,即 x1=-9,x2=2.7121711.2 12x 当堂练习当堂练习2.解方程x-2)(1-3x)=6.解：去括号，得 x 2-3x2+6x=6,化简为一般式 3x2-7x+8=0,这里 a=3,b=-7,c=8.b2-4ac=(-7)2 4 3 8=4996 =-47 0,即 x1=x2=333 33.4x3 333.24.关于x的一元二次方程 有两个实根，那么m的取值范围是 .注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.04414)2(422mmacb解：1m022mxx1m 5.
8、不解方程，判断以下方程的根的情况12x2+3x-4=0；2x2-x+=0;(3)x2-x+1=0.解：12x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,b2-4ac=32-42(-4)=410.方程有两个不相等的实数根 2x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.b2-4ac=(-1)2-41 =0.方程有两个相等的实数根141414143x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.b2-4ac=(-1)2-411=-30.方程无实数根(3)x2-x+1=0.6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.222 20 xkxk222224481422kkkkk解：004022kk所以方程有两个实数
9、根学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点难点2.运用开平方法解形如运用开平方法解形如x2=p或或x+n)2=p(p0)的方的方程程.(重点重点1.如果如果 x2=a,那么那么x叫做叫做a的的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果如果 x2=a(a 0),那么那么x=.3.如果如果 x2=64,那么那么x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外外表，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱
10、长为x dm，那么一个正方体的外表积为6x2dm2，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，直接开平方法试一试：解以下方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12x
11、x 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解以下方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：1 x2=6，直接开平方，得2移项，得移项，得 x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:x+3)2=5，得对照上面方法，你认为怎样解方程x+32=5探究交流35,x 3535.xx ，或123535xx ，或于是，方程x+32=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为
12、我们会解的方程了.解题归纳例2 解以下方程：x12=2；解析：第1小题中只要将x1看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1-解：1x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解以下方程：2x124=0；即x1=3，x2=-1.解：解：2 2移项，得移项，得x-1x-12=4.2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.x1=，547.4 x2=(3)1232x23=0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得123-2x2=3，两边
13、都除以12，得3-2x2=0.25.3-2x是的平方根，3-2x.即3-2x=0.5,3-2x 21445xx 229614xx 解：解：225,x25,x 25,25,xx 125x，方程的两根为方程的两根为225.x 解：解：2314,x312,x 312312,xx ，方程的两根为方程的两根为21.x 例3 解以下方程：113x，1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或xn2=pp0的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(
14、x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.以下解方程的过程中，正确的选项是以下解方程的过程中，正确的选项是 (A)x2=-2,解方程，得x=2(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解以下方程：解以下方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.x1=0.5,x2x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.请你当小老师下面是李昆
15、同学解答的一道一请你当小老师下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有如果有错，指出具体位置并帮他改正错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 3.二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得 这个二次函数的表达式为y2x23x4.abc1，c4，a-bc-5，解得b3，c4，a2，4.抛物线与x轴相交于点A(1，0
16、)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1)又因为抛物线过点M(0，1)，所以1a(01)(01)，解得a1，所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)，即yx21.5.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答以下问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc得164bc3，c4b19.对称轴是x3，3，b6，c5，抛物线的表达式是yx26x5；2b学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程会把一元二次方程降次
17、转化为两个一元一次方程.(难点难点2.运用开平方法解形如运用开平方法解形如x2=p或或x+n)2=p(p0)的方的方程程.(重点重点1.如果如果 x2=a,那么那么x叫做叫做a的的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果如果 x2=a(a 0),那么那么x=.3.如果如果 x2=64,那么那么x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外外表，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm，那么一个正方体的外表积为6x2dm2，可列出方程106x2=1
18、500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，直接开平方法试一试：解以下方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳
19、例1 利用直接开平方法解以下方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：1 x2=6，直接开平方，得2移项，得移项，得 x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:x+3)2=5，得对照上面方法，你认为怎样解方程x+32=5探究交流35,x 3535.xx ，或123535xx ，或于是，方程x+32=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解以下方程：x12=2；解析：第1小题中只要
20、将x1看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1-解：1x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解以下方程：2x124=0；即x1=3，x2=-1.解：解：2 2移项，得移项，得x-1x-12=4.2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.x1=，547.4 x2=(3)1232x23=0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得123-2x2=3，两边都除以12，得3-2x2=0.25.3-2x是的平方根，3-2x.即3-2x
21、=0.5,3-2x 21445xx 229614xx 解：解：225,x25,x 25,25,xx 125x，方程的两根为方程的两根为225.x 解：解：2314,x312,x 312312,xx ，方程的两根为方程的两根为21.x 例3 解以下方程：113x，1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或xn2=pp0的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解
22、方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.以下解方程的过程中，正确的选项是以下解方程的过程中，正确的选项是 (A)x2=-2,解方程，得x=2(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解以下方程：解以下方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.x1=0.5,x2x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.请你当小老师下面是李昆同学解答的一道一请你当小老师下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有如果有错，指出具体位置并帮他改正错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy
