1、第六章第二课时：第六章第二课时：三角形相似三角形相似 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.本课时的重点是相似三角形的判定和性质本课时的重点是相似三角形的判定和性质.2.2.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形比例的三角形.3.3.相似三角形的判定定理及其推论相似三角形的判定定理及其推论判定定理判定定理1 1：两角对应相等的两个三角形相似：两角对应相等的两个三角形相似.判定定理判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等，两个：两边对应成比例且夹角相等，两个
2、三角形相似三角形相似.判定定理判定定理3 3：三边对应成比例的两个三角形相似：三边对应成比例的两个三角形相似判定定理判定定理4 4：如果一个直角三角形的斜边和一条：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.4.相似三角形的性质相似三角形的性质(1)(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2)(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比线的
3、比都等于相似比.(3)(3)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比.推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似和原三角形相似.课前热身课前热身2.2.如图如图6-2-16-2-1所示，在所示，在Rt ABCDRt ABCD中，中，G G是是BCBC延长线延长线上一点，上一点，AGAG与与BDBD交于点交于点E E，与与DCDC交于点交于点F F，则图则图中相似三角形共有中相似三角形共有()A A3 3对对 B.4B.4对对C.5C.5对对 D.6D.6对对1.1.下列命题正确的是下列命题正确的是()A.A.所
4、有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似B.B.所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似C.C.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似D.D.以上结论都不正确以上结论都不正确图图6-1-1 6-1-1 C CC C3.3.若如图若如图6-2-26-2-2所示，所示，ABCABCADBADB，那么下列关系成立那么下列关系成立的是的是()图图6-2-2 6-2-2 A.ADB=ACBB.ADB=ABCA.ADB=ACBB.ADB=ABCC.CDB=CABD.ABD=BDC C.CDB=CABD.ABD=BDC 4.4.ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA
5、=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为()A.16 B.18 C.27 D.24 A.16 B.18 C.27 D.24 B BC C5.5.已知，如图已知，如图6-2-36-2-3所示的，所示的，ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，下列下列条件：条件：B+DAC=90B+DAC=90B=DACB=DACCDAD=ACABCDAD=ACABABAB2 2=BCBC=BCBC能得到能得到BAC=90BAC=90的有的有()图图6-2-3 6-2-3 A.0A.0个个 B.1B.1个个C.2C.2个个 D.3
6、D.3个个 C C典型例题解析典型例题解析图图6-2-46-2-4【例【例1 1】如图】如图6-2-46-2-4所示，要判定所示，要判定ABCABC的面积是的面积是PBCPBC面积面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是是()()A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 【解析】这道题乍一看，认为同底，只要知道高之比，就【解析】这道题乍一看，认为同底，只要知道高之比，就知道面积之比，故选知道面积之比，故选B B，其实不然，只要过其实不然，只要过APAP量一次，连量一次，连接接APAP并延长交并
7、延长交BCBC于于D D，DPDP与与ADAD的比就等于的比就等于PBCPBC与与ABCABC的的面积比，理由是：分别过面积比，理由是：分别过A A、P P作作BCBC的垂线段，根据两三角的垂线段，根据两三角形相似的性质知：形相似的性质知：DPAD=PEAF.DPAD=PEAF.所以正确的答案是所以正确的答案是C.C.【例【例2 2】(2003.(2003.江苏无锡市江苏无锡市)已知，如图已知，如图6-2-56-2-5所示所示的四边形的四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，AFBCAFBC于于F F，(1)(1)求证：求证：ADAD2 2=DEDB.=DEDB.(2)(2)过点过点E E作作E
8、GAFEGAF交交ABAB于点于点G G，若线段若线段BEBE，DE(BEDE(BEDE)DE)的长是方程的长是方程x x2 2-3mx+2m-3mx+2m2 2=0(m=0(m0)0)的两个根，的两个根，且菱形且菱形ABCDABCD的面积为的面积为6363，求，求EGEG的长的长.图图6-2-5 6-2-5【解析】【解析】(1)(1)证等积式，首先想到化成比例式，但式子有证等积式，首先想到化成比例式，但式子有1212，应想到菱形的性质：对角线互相垂直平分，故连接，应想到菱形的性质：对角线互相垂直平分，故连接ACAC交交BDBD于于O O点，即点，即BD=2DOBD=2DO，所以所以ADAD2
9、 2=DEDO=DEDO ADDODEAD找三角形相似，即要证找三角形相似，即要证ADEADE与与AODAOD相似，而相似，而EAD=90EAD=90 AOBD AOBD，所以所以ADEADEOAD.OAD.2)2)解方程解方程DE=2mDE=2m，BE=mBE=m，由由ADBCADBC 12EFAEBEDE由由ADAD2 2=DEBD AD=m=DEBD AD=m 213AE AE 2234mm=m EF=m EF=m AF=m m S菱菱ABCD=AFBC=32mBC=63=32m3m 2123m=2m=2，m=-2m=-20(0(舍舍)GEAF GFBCGEAF GFBC332CEBDB
10、EADGE【例【例3 3】(2003(2003山东省山东省)如图如图6-2-66-2-6中的中的(1)(1)是由是由五个边长都是五个边长都是1 1的正方形纸片拼接而成的，过点的正方形纸片拼接而成的，过点A A丹丹1 1的直线分别与的直线分别与BCBC丹丹1 1，BEBE交于点交于点M M、N N，且图且图(1)(1)被直线被直线MNMN分成面积相等的上、下两部分分成面积相等的上、下两部分.(1)(1)求求 的值的值.(2).(2)求求MBMB、NBNB的长的长.(3)(3)将图将图6-2-6(1)6-2-6(1)沿虚线折成一个无盖的正方体沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒纸盒(如图如图6-2-6(
11、2)6-2-6(2)所示所示)后，求点后，求点M M、N N间的距离间的距离.NBMB11图图6-2-6（1）图图6-2-6（2）【解析】【解析】(1)(1)A A1 1B B1 1MMNBNNBN，且且A A1 1B B1 1=BB=BB1 1=1=1 11,111MBMBNBMBMBBANB即MB+NB=MBNBMB+NB=MBNB，即即 111NBMB(2)(2)分成的两部分面积相等得分成的两部分面积相等得MBNB=MBNB=，即，即MBNB=5 MB+NB=5MBNB=5 MB+NB=5，因此可以构造一元二次因此可以构造一元二次方程方程x x2 2-5x+5=0-5x+5=0，且且MB
12、MBNB.NB.MB=MB=，NB=NB=25255 255(3)(3)由由(2)(2)已知已知B B1 1M=M=255-1=-1=253，EN=4-EN=4-255=253。图图6-2-6(2)6-2-6(2)中的中的BNBN与图与图6-2-6(1)6-2-6(1)中的中的ENEN相等相等.BN=BBN=B1 1M M，即四边形即四边形BBBB1 1MNMN是矩形是矩形.MN=1.MN=1.【例【例4 4】如图】如图6-2-76-2-7所示，梯形所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，设设
13、DM=x.DM=x.图图6-2-76-2-7(1)(1)设设MN=yMN=y，用用x x的代数式表示的代数式表示y.y.(2)(2)设梯形设梯形MNCDMNCD的面积为的面积为S S，用用x x 的代数式表示的代数式表示S.S.(3)(3)若梯形若梯形MNCDMNCD的面积的面积S S等于梯等于梯形形ABCDABCD的面积的的面积的1313，求，求DM.DM.【解析】【解析】(1)(1)常用的辅助线是作梯形的高，过常用的辅助线是作梯形的高，过D D作作DEABDEAB于于E E点交点交MNMN于于F F，MN=MF+FN=MF+3MN=MF+FN=MF+3，在在RtRtDAEDAE中中,AD=
14、AD=5=5，由，由MNABMNAB 53533yxMFDADMAEMFx+3.x+3.(2)(2)MNAB MNAB xDFxDFADDMDEDF5454.S=S=21(DC+MN)DF=DC+MN)DF=256x2+512x(0 x(0 x x5)5)(3)(3)S S梯梯ABCDABCD=21(3+6)(3+6)4=184=18S S梯梯MNCDMNCD=3118=6=18=6=256x x2 2+512x x1=-5+5 2，x2=-5-5 20(0(舍去舍去).).即即DM=-5+5 DM=-5+5 2方法小结：方法小结：1.1.常用辅助线构造基本图形，如常用辅助线构造基本图形，如“
15、A”A”型，型，“X”X”型型等等.2.2.证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中间比间比.课时训练课时训练一、课堂反馈一、课堂反馈1.(20031.(2003年年重庆市重庆市)如图如图6-2-86-2-8所示，在所示，在ABCABC中，若中，若AED=BAED=B，DE=6DE=6，AB=10AB=10，AE=8AE=8，则则C C的长为的长为()A.154 B.7A.154 B.7C.152 D.245 C.152 D.245 C2.2.已知已知D D、E E两点分别在两点分别在ABCABC的边的边ABAB，ACAC上，上，DEBCDEBC，且
16、且ADEADE的周长与的周长与ABCABC的周长之长为的周长之长为3737，则，则ADDB=ADDB=下列结论正确的是下列结论正确的是 3 3(多项选择多项选择)如图如图6-2-96-2-9所示，在正方形所示，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC的中点，的中点，F F是是CDCD上一点，上一点，AEEFAEEF，则则 图图6-2-96-2-9 A ABAE=30BAE=30 B.CE B.CE2 2=ABCF=ABCF C.CF=C.CF=31CDCD D.D.ABEABEAEFAEF3434B?D?4.(20034.(2003年年黑龙江黑龙江)如图如图6-2-106-2-10所
17、示，在等边所示，在等边ABCABC中，中，P P为为BCBC上一点，上一点，D D为为ACAC上一点，且上一点，且APD=60APD=60，BP=1BP=1，CD=CD=32，则，则ABCABC的边长为的边长为()图图6-2-106-2-10 A.3 B.4A.3 B.4C.5 D.6C.5 D.6 A5.5.如图如图6-2-116-2-11，ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CG=CG=31BCBC，则则 FGAF=(=()图图6-2-11 6-2-11 A.127 B.32A.127 B.32C.107 D.27C.107 D.27 A6.6.如图如
18、图6-2-126-2-12所示，所示，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=4AB=4，BC=3BC=3，DEBCDEBC，设设AE=xAE=x，四边形四边形BDECBDEC的面积为的面积为y y，则则y y可表示成可表示成x x的函数，其图像的形状是的函数，其图像的形状是()A.A.开口向上的抛物线的一部分开口向上的抛物线的一部分B.B.开口向下的抛物线的一部分开口向下的抛物线的一部分C.C.线段线段(不包括两个端点不包括两个端点)D.D.双曲线的一部分双曲线的一部分 图图6-2-126-2-12B本课时到此结束本课时到此结束9.行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。10.让
19、我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!20.若能一切随他去，便是世间自在人。19.网络事业创造了富裕，又延续了平等。14.投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。12.磨难有如一种锻炼，一方面消耗大量体能，一方面却又强身健骨。对待磨难有两种态度。一种是主动迎接，一种是被动承受。主动迎接磨难的人，在忍受磨难的痛苦时，内心多是坦然的，磨难使他好象刀剑愈见锋芒。被动承受磨难的人，在为磨难所煎熬时，内心多充满惶惑，磨难使他仿佛卵石愈见圆滑。（）4.成功就是简单的事情不断地重复做。18.活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。18.我的人生格言是：走别人的路，让别人无路可走。14.那些尝试去做某事
20、却失败的人，比那些什么也不尝试做却成功的人不知要好上多少。15.苦忆旧伤泪自落，欣望梦愿笑开颜。19.网络事业创造了富裕，又延续了平等。11.失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。17.秋天，树叶黄了，枯了，快要脱落了。枯黄的叶子离开了枝头，在风中飞舞着，怀着对金秋季节无比眷恋的心情离去。假如我是落叶，我愿意很快地落在地上，又很快地被水溶化，然后钻进又黑又香的泥土里，尽情拥抱这些又大又小又粗又细的树根。14.进入黑名单就意味着你不再是我看重的人，连陌生人都比不上。19.网络事业创造了富裕，又延续了平等。1.微笑，是春天里的一丝新绿，是骄阳下的饿一抹浓荫，是初秋的一缕清风，是严冬的一堆篝火。微笑着去面对吧，你会感到人生是那样温馨。9.忽视当前一刹那的人，等于虚掷了他所有的一切。-富兰克林(美国)
