1、第二十二章 二次函数 专题训练(四) 二次函数的实际应用 类型之一 以利润问题为背景 1某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出 210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每 件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数) ，每个月的销售利润为y元 (1)求y与x的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最 大的月利润是多少元？ 解：(1)由题意得：y(21010 x)(50 x40)10 x2110 x2 100(0 x15且x为整数) (2)由(1)中的y与x的解析式配方得：y 10(
2、x5.5)22 402.5.0 x15，且x为整数，当x5时，50 x 55，y2 400(元)，当x6时，50 x56，y2 400(元)，当售 价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2 400 元 2(2016徐州)某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入 住的客房数y(间)与其价格x(元)(180 x300)满足一次函数关系 ，部分对应值如表： x(元) 180 260 280 300 y(间) 100 60 50 40 (1)求y与x之间的函数解析式； (2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日 空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，
3、宾馆当日 利润最大？求出最大值(宾馆当日利润当日房费收入当日 支出) 解：(1)设一次函数解析式为 ykxb(k0)，依题意得： 180kb100， 260kb60， 解得： k1 2， b190， y 与 x 之间的函数解析式为：y 1 2x190(180 x300) (2)设房价为 x 元(180 x300)时，宾 馆当日利润为 w 元， 依题意得： w(1 2x190)(x100)60100 (1 2x190) 1 2x 2210 x13 6001 2(x210) 28 450， 当 x210 时，w 取最大值，最大值为 8 450 3(2016 襄阳)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展
4、”的号召， 研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为 30 元/件， 且年销售量 y(万件)关于售价 x(元/件)的函数解析式为： y 2x140（40 x60）， x80（60 x70）. (1)若企业销售该产品获得的年利润为 W(万元)，请直接写出年利 润 W(万元)关于售价 x(元/件)的函数解析式； (2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润 最大？最大年利润是多少？ (3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价 x(元/件)的取值范围 解：(1)当40 x60时，W(x30)(2x140)2x2200 x4 200，当 60 x7
5、0时，W(x30)(x80)x2110 x2 400 (2)当40 x60时， W2x2200 x4 2002(x50)2800，当x50时，W取得最大值， 最大值为800万元；当60 x70时，Wx2110 x2 400(x55)2 625，当x60时，W取得最大值，最大值为：(6055)2625600， 800600，当x50时，W取得最大值800，即该产品的售价x为50元/ 件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元 (3)当 40 x60时，由W750得：2(x50)2800750，由函数图象解得： 45x55，当60 x70时，W的最大值为600750，要使企业销售
6、该产品 的年利润不少于750万元，该产品的售价x(元/件)的取值范围为45x55 类型之二 以面积问题为背景 4为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为 一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的三 块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(1)设 AEa，由题意，得 AE AD2BE BC，ADBC，BE 1 2a，AB 3 2a.由题意，得 2x3a2 1 2a80，a20 1 2x.y AB BC
7、 3 2ax 3 2 (20 1 2 x)x，即 y 3 4 x230 x(0 x40) (2)y3 4x 230 x3 4(x20) 2300，当 x20 时，y 有最大 值，最大值为 300 m2 5(2016内江)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其 中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米 (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小 值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直
8、接写出x的取值范围 解：(1)根据题意得：(302x)x72，解得：x3，x12，30 2x18，x12 (2)8302x18，6x11，设苗圃 园的面积为 y，yx(302x)2x230 x，a20， 苗圃园的面积 y 有最大值，当 x15 2 时，y 最大112.5 平方米； 6x11，当 x11 时，y 最小88 平方米 (3)由题意得： 2x230 x100，302x18，由函数图象解得：6x10 类型之三 以球类运动为背景 6如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处 飞出(A 在 y 轴上)， 运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正 上
9、方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验测 算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度 减少到原来最大高度的一半 (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式； (2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米？(取 4 37) (3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？(取 2 65) 解：(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为 ya(x6)2 4，由题意得：当 x0 时 y1，即 136a4，a 1 12，解析式为 y 1 12(x6) 24 (2)令 y0， 1 12(x6) 240， (x6)248， 解得： x14 3613，x24 360(舍去)，足球第一次落地距守门员约 13 米 (3)第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CDEF(即相当于 将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位)，2 1 12(x6) 24，解得：x 1 62 6，x262 6，CD|x1x2|4 610，BD13610 17(米)即运动员乙应再向前跑 17 米
