1、22.322.3 实践与探索实践与探索 【学习目标】【学习目标】 （一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关：数字问题、面积 问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等 （二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解 决问题的能力，以及学生近似数运算的能力。培养用数学的意识 【知识归纳】【知识归纳】 列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即 1审题； 2设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3找等量关系列方程； 4解方程； 5判断根是否符合题意； 6作出正确的答案 【基础知识【基础知识】 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题
2、， 然后由数学问题的解决 而获得对实际问题的解决，要正确地列出方程，只有在透彻理解题意的基础上， 才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量与未知量之间的等量关系，进而达到 求解的目的 列一元二次方程解应用题，这类问题主要有：数字问题、面积问题、增长率 问题、储蓄问题、经营问题等 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为 5；把十位上的数字与 个位上数字互换后再乘以原数得 736，求原来两位数 剖析：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5x)，原来的 两位数就是： 10(5x)x 新的两位数个位上的数字为(5x)，十位上的数字为x，新的两位数就是： 1
3、0 x(5x) 于是根据题意可列出方程：10（5x）x10 x(5x)736 解： 设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5x)根据题意， 得 10（5x）x10 x(5x)736 整理，得x 25x60，解得 x12，x23 当x2 时，5x523； 当x3 时，5x532 答：原来的两位数是 32 或 23 说明： 解决这类问题， 关键是写出表示这个数的代数式， 若一个两位数为ab， 则这个两位数可表示为 10ab；若一个三位数为abc，则这个三位数可表示为 100a10bC 例 2：（1）据 2001 年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流 失面积达 356 万平方千
4、米其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失 面积多达 26 万平方千米问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少平方千米？ （2）某省重视治理水土流失问题，2001 年治理了水土流失 400 平方千米， 该省逐年加大治理力度， 计划以后两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一 个相同的百分数，到 2003 年底，使这三年治理的水土流失面积达到 1324 平方千 米求该省今明两年治理水土流 失面积每年增长的百分数 剖析：此题主要考查运用一元二次方程解有关增长率的问题，设这两年平均 每年增长的百分数为x，那么 2002 年治理水土流失面积为 400(1x)平方千米， 2003 年治理水土流失面积为
5、 400(1x) 2平方千米 解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方千米，则风蚀造成的水土 流失面积为(x26)万平方千米，则 x(x26)356，解之，得x165 答： 水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为 165 万平方千米和 191 万平方千 米 (2)设这两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x，则 400400(1x) 400(1x) 21324 整理，得 100 x 2300 x310 解之，得x101，x231 x31 不合题意，所以只能取x0110 答：平均每年的增长的百分数为 10 说明：有关增长率的问题，往往要用到公式：Ma(1x) n，这里 a表示增 长的基数，x表示
6、每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量； 这个公式也同样适用于降低率的问题，只不过这时的增长率为负，即Ma(1 x) n，其中 x为降低率 例 3:如图 121，在宽 20 米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 (两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的 六块试验田，要使试验田的面积是 570 平方米，问道路应该多宽? 剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为 2x2040 x（米 2）， 一条横路所占的面积为 32x(米 2) 纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形 ABCD、EFGH 的面积，所以三条 路所占耕地面积应当是(40
7、x32x2x 2)米2，根据题意可列出方程 3220（40 x32x2x 2）570 解：设道路宽为x米，根据题意，得 3220（40 x32x2x 2）570 整理，得x 236x350 解这个方程，得x11，x235 x235 不合题意，所以只能取x11 答：道路宽为 1 米 说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图 122)， 就更易发现等量关系列出方程 如前所设，知矩形MNPQ的长MN(322x)米，宽NP(20 x)米，则矩形 MNPQ的面积为：(322x)(20 x)而由题意可知矩形MNPQ的面积为 570 平方 米进而列出方程(322x)(20 x)570，思路
8、清晰，简单明了 例 4:从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样 升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精 5 升问每次倒出溶液的升数？ 剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次 倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（ 20 x x）升根据 20 升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数 解：设第一次倒出的纯酒精为x升，第二次倒出的混合液中含纯酒精 20 x x 升，则 20 x 20 20 x x5 整理，得x 240 x3000，解之，得 x110，x230，x30 不合题意，舍 去所以只取x10 答:每次倒出
9、的升数为 10 升 说明： 上述解法中是以 “纯量” 列方程求解， 还可以从以下角度列方程求解， 即第一次倒出纯酒精x升，倒出的纯酒精占容器内纯酒精的 20 x ，第二次用水加 满后再次倒出x升溶液中的纯酒精占容器中纯酒精的 20 x ，余下的纯酒精仍是容 器内纯酒精的 1 20 x 故此时的纯酒精为 20（1 20 x ） 2，则 20(1 20 x ) 25 例 5：王明同学将 100 元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后 将本金和利息取出，并将其中的 50 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年 定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后 可得本金利
10、息共 63 元，求第一次存款时的年利率 解：设第一次存款时的年利率为x， 根据题意，得100（1x）50（1 2 1 x）63 整理，得 50 x 2125x130 解得x1 10 1 ，x2 5 13 x2 5 13 不合题意，只有取x 10 1 10 答：第一次存款时的年利率为 10 说明：存款问题是近年中考题中的常见题型，解决这类问题首先要理解“本 金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系 【同步达标练习同步达标练习】 1选择题 (1)某面粉厂一月份生产面粉 500 吨，三月份生产面粉 720 吨，若二、三月 份每月平均增长的百分率为x，则有( ) A500（
11、1x 2）720 B500（1x） 2 720 C500（12x）720 D720（1x） 2500 (2)某商品原价为 100 元，现有下列四种调价方案，其中 0nm100，则 调价后该商品价格最高的方案是( ) A先涨价m，再降价n B先涨价n，再降价 m C先涨价 2 nm ，再降价 2 nm D先涨价mn，再降价 mn (3)某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖 960 元，以成本计算，其中 一台盈利 20，另一台亏本 20，则本次出售中商场( ) A不赔不赚 B赚 160 元 C赔 80 元 D赚 80 元 (4)两个连续奇数的积是 63，则这两个数是( ) A7，9 B9，7 C
12、7，9 或9，7 D7，9 或9，7 (5)市政府计划两年内将市区人均住房面积由现在的 10 平方米提高到 144 平方米，设平均每年人均住房面积的增长率为x，则x满足的方程是（ ） A10(1x)14.4 B10(12x)14.4 C10(1x) 214.4 D1010(1x)10(1x) 214.4 (6)某商品连续两次降价 10后的价格为a元，则该商品的原价为（ ） A 21. 1 a 元 B1.21a元 C 81. 0 a 元 D0.81a元 (7)用篱笆围成一个长方形的花坛，其中一面靠墙，且在与墙平行的一边开 了一个一米宽的门，如果墙长 15 米，现有能围成 32 米长的篱笆，花坛的
13、面积需 要 130 平方米，求花坛的长和宽如果设垂直于墙的边长为x千米，可列出的方 程为（ ） Ax(3212x)130 Bx 2 132x 130 Cx 2 132x 130 Dx(3212x)130 (8)某工厂计划在长 24 米、 宽 20 米的空地中间划出一块 32 平方米的长方形 建一住房，并且使四周剩余的地一样宽那么这个宽度应该是（ ） A14 米 B8 米 C14 米或 8 米 D以上答案都不对 2填空题 （1）若两个数的和是 8，平方的和等于 34，则这两个数分别为_ （2）某种股票连续两次涨价 10后的价格为 22 元，则该种股票的原来价 格为_元（精确到 01 元） （3）
14、某商业集团 1 月份的利润是 2500 万元，3 月份的利润达到 3000 万元， 则这两个月的利润平均增长的百分率是_ （4）某制药厂生产一种药品，由于连续两次降低成本，使成本比原来降低 了 36，则平均每次降低成本的百分率是_ （5）以大约与水平线成 45角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s （单位： 米） 与标枪出手的 v （单位： 米/秒） 之间大致有如下关系： s 8 . 9 2 v 2 若 抛出 52 米，则标枪 出手的速度约为_（精确到 01 米/秒，其中103162） (6)直角三角形两直角边的比是 8：15，而斜边的长等于 6.8 cm，则这个直 角三角形的面积等于_c
15、m 2 3某种产品现在每件成本 100 元，计划经过两年把每件成本降为 49 元，求 每年平均降低的百分数 4某钢铁厂一月份某种钢产量为 5000 吨，第一季度共产钢 18200 吨，求平 均每月增长的百分率是多少? 5将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 500 个已知这种 商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应 定为多少?这时应进货多少个? 6某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元购物， 剩下的 1000 元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变， 到期后得本金及利息共 13
16、20 元求这种存款方式的年利率 7 在容积为 25 升的容器里盛满纯酒精， 从中倒出若干升后， 加水注满容器， 再倒出同样的升数，然后又用水注满，这时容器里溶液所含酒精是 16 升求每 次倒出的溶液的升数 8一个分数的分子加 13，分母减 13，得到的分数恰为原分数的倒数若原 分数的分子、分母都加了 13 的结果与原数之积为 19 6 ，求原分数(只列方程) 9三个连续整数两两相乘后相加得 431，求这三个数 10两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4cm，大正方 形的面积比小正方形的面积的 2 倍少 32 cm 2，求大小两个正方形的边长 11某工厂今年元月生产桌椅 1000
17、 套，二月份因春节放假，减产 10，三 月份、四月 份产量逐月上升，四月份产量达到 1296 套求三、四月份的平均增长率 12某公司向银行贷款 500 万元生产一种产品，签定的合同上的约定两年到 期后一次性还本付息，利息为本金的 8，该产品投放市场后，由于适销对路， 使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余 180 万元，若该公司在 生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，求这个百分数 13如图 123，要建一个面积为 2 m300的长方形鸡场，为了节约材料，鸡 场的一边靠墙，墙长为a m，另外三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 50 m （1）求鸡场的长与宽各为多少？ （2）题中
18、的墙长a m对题目的解起怎样的作用？ 14某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积 逐年增加（人均住房面积 该区人口总数 该区住房总面积，单位： 平方米/人）该开发区 1997 年至 1999 年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图 12 4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题： （1） 该区 1998 年和 1999 年两年中， 哪一年比上一年增加的住房面积多？ 多增加多少万平方米? 答：_年比上一年增加的住房面积多，多增加_万平方米 （2）由于经济的发展，预计到 2001 年底，该区人口总数将比 1999 年年底 增加 2 万，为使到 2001 年年
19、底该区人均住房面积达到 11 平方米/人，试求 2000 年和 2001 年两年该区 住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？ 15.如图，ABC中，90B ，AB=6 厘米，BC=8 厘米，点P从点A开始， 在AB边上以 1 厘米/秒的速度向B移动，点Q从点B开始，在BC边上以 2 厘米 /秒的速度向点C移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟，使 PBQ的面积等于 2 8cm？ 拓展：如果把 BC 边的长度改为 7cm，对本题的结果有何影响？ 8cm 6cm B A C P Q 8cm 6cm B A C P Q 7设每次倒出x升溶液，则 25x 25 25x x16 x5 答：
20、每次倒出 5 升溶液 8设原分数为 y x ，则 19 6 13 13 13 13 y x y x x y y x 9设这三个连续整数为x1，x，x1，则 （x1）xx（x1）（x1）（x1）431， 这三个数为 11，12，13 或11，12，13 1016 cm，12 cm 11设三、四月份平均月增长率为x，则 1000（110）（1x） 21296， 解之，得x02(x22 不合题意，舍去) 12设这个百分数为x，则 500（1x） 2(5005008)180， 解之，得x02(x22 不合题意舍去) 13（1）30m，10m 或 20m，15m (2)当a20 时，此题无解； 当 20a30 时，此题有一解，即可建一个长为 20 m、宽为 15 m 的鸡场； 当a30 时，此题有两解，即长、宽分别为 20 m，15 m 或 30 m，10 m 14(1)1999，74 (2)10
