1、三轮冲刺复习培优同步练习：三角形综合三轮冲刺复习培优同步练习：三角形综合 （提升）（提升） 1如图 1，OA2，OB4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC （）求C点的坐标； （）如图 2，OA2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为 腰等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值； （）如图 3，点F坐标为（4，4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n， 0）x轴的正半轴，且FHFG，求m+n的值 2在ABC中，ACBC，ACB90，D为AB边的中点，以D为直角顶点的 Rt DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上 （1）如图
2、1，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC互 相垂直，则SDEF+SCEFSABC，求当SDEFSCEF2 时，AC边的长； （2）如图 2，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC 不垂直，SDEF+SCEFSABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接 写出SDEF，SCEF，SABC之间的数量关系； （3）如图 3，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC 不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，SDEF+SCEFSABC是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出SDEF，S
3、CEF，SABC之间的数 量关系 3在ABC中，ABBC，直线l垂直平分AC （1）如图 1，作ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD 补全图形； 判断BAD和BCD的数量关系，并证明 （2）如图 2，直线l与ABC的外角ABE的平分线交于点D，连接AD，CD求 证：BADBCD 4在 RtABC中，ACB90，AC15，AB25，点D为斜边AB上动点 （1）如图 1，当CDAB时，求CD的长度； （2）如图 2，当ADAC时，过点D作DEAB交BC于点E，求CE的长度； （3）如图 3，在点D的运动过程中，连接CD，当ACD为等腰三角形时，直接写 出AD的长度 5如图 1，在 RtAB
4、C中，ACB90，动点M从点A出发沿ACB向点B匀 速运动，动点N从点B出发沿BCA向点A运动设MC的长为y1（cm）， NC的长为y2（cm），点M的运动时间为x（s），y1、y2与x的函数图象如图 2 所 示 （1）线段AC cm，点M运动 s后点N开始运动； （2）求点P的坐标，并写出它的实际意义； （3）当CMN45时，求x的值 6如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC135，将一个含 45角的直角三角板的一个顶点放在点O处， 斜边OM与直线AB重合， 另外两条 直角边都在直线AB的下方 （1）将图 1 中的三角板绕着点O逆时针旋转 90，如图 2 所示，此时BOM ；
5、在图 2 中，OM是否平分CON？请说明理由； （2）接着将图 2 中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图 3 的位置所示，使得ON 在AOC的内部，请探究：AOM与CON之间的数量关系，并说明理由； （3）将图 1 中的三角板绕点O按每秒 4.5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转 的过程中，当旋转到第 秒时，COM与CON互补 7综合与实践 问题情境 在 RtABC中， ACB90，ACBC，CDAB于点D， 点E是射线AB上一点， 连接CE，过点B作BFCE于点F，且交直线CD于点G （1）如图 1，当点E在线段AD上时，求证：CGAE 自主探究 （2）如图 2，当点E在线段BD上时，其它条件
6、不变，请猜想CG与AE之间的数 量关系，并说明理由 拓展延伸 （3）如图 3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与 AE之间的数量关系 8阅读下列材料，并回答问题事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平 方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利用这个结论，完 成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为 5、12，那么这个直角三角形斜边长 为 （2）如图 1，ADBC于D，ADBD，ACBE，AC10，DC6，求BD的长度 （3）如图 2，点A在数轴上表示的数是 请用类似的方法在图 2 数轴上画出 表示数的B点（保留痕迹） 9如图，在ABC
7、中，ABAC，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），把 ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ （1）若点D恰好在AC边上 如图 1，当PQAC时，连接AQ，求证：AQBC 如图 2，当DPAB，且BP3，CD2，求ABC与CDQ的周长差 （2）如图 3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，ACD的面积是 否变化？请说明理由 10 一副三角板如图所示摆放，OA边和OC边与直线EF重合， AOB45， COD 60 （1）求图 1 中BOD的度数是多少； （2）如图 2，三角板COD固定不动，若将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个 角度，在转动过程中当OB分别平
8、分EOD、DOC时，求此时的值 参考答案参考答案 1解：（）如图 1，过C作CMx轴于M点，如图 1 所示： CMOA，ACAB， MAC+OAB90，OAB+OBA90， MACOBA， 在MAC和OBA中， MACOBA（AAS）， CMOA2，MAOB4， OM6， 点C的坐标为（6，2）， 故答案为（6，2）； （）如图 2，过D作DQOP于Q点， 则四边形OEDQ是矩形， DEOQ， APO+QPD90，APO+OAP90， QPDOAP， 在AOP和PDQ中， AOPPDQ（AAS）， AOPQ2， OPDEOPOQPQOA2； （）如图 3，过点F分别作FSx轴于S点，FTy轴于
9、T点， 则HSFGTF90SOT， 四边形OSFT是正方形， FSFT4，EFT90HFG， HFSGFT， 在FSH和FTG中， FSHFTG（AAS）， GTHS， 又G（0，m），H（n，0），点F坐标为（4，4）， OTOS4， GT4m，HSn（4）n+4， 4mn+4， m+n8 2解：（1）ACB90，DEAC，DFBC， 四边形DECF是矩形， ACB90， BCAC， DEAC， DEBC， D为AB边的中点， DE是ABC的中位线， DEBC，AC2CE， 同理：DFAC， ACBC， DEDF， 四边形DECF是正方形， CEDFCFDE， SDEFSCEF2DEDFDF
10、2， DF2， CE2， AC2CE4； （2）SDEF+SCEFSABC成立，理由如下： 连接CD；如图 2 所示： ACBC，ACB90，D为AB中点， B45，DCEACB45，CDAB，CDABBD， DCEB，CDB90，SABC2SBCD， EDF90， CDEBDF， 在CDE和BDF中， CDEBDF（ASA）， DEDFSCDESBDF SDEF+SCEFSCDE+SCDFSBCDSABC； （3）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下： 连接CD，如图 3 所示： 同（1）得：DECDBF，DCEDBF135， SDEFS 五边形DBFEC， SCFE+SDBC， SC
11、FE+SABC， SDEFSCFESABC SDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEFSABC 3解：（1）补全图形； 结论：BAD+BCD180， 理由如下：过点D作DEAB于E，作DFBC交BC的延长线于F， 则AEDCFD90 BD平分ABC， DEDF 直线l垂直平分AC， DADC， 在 RtADE和 RtCDF中， RtADERtCDF（HL） BADFCD FCD+BCD180， BAD+BCD180； （2）结论：BADBCD， 理由如下：过点D作DNAB于N，作DMBE于M， 则ANDCMD90 BD平分ABE， DMDN 直线l垂直平分AC， DADC， 在 R
12、tADN和 RtCDM中， RtADNRtCDM（HL） BADBCD 4解：（1）ACB90，AC15，AB25， BC20， ABCDBCAC， 25CD2015， CD12； （2）在 RtACE和 RtADE中，CEDA90， ， RtACERtADE（HL）， CEDE， 设CEx，则BE20 x，BD251510 在 RtBED中 x2+102（20 x）2， x7.5， CE7.5 （3）当ADAC时，ACD为等腰三角形 AC15， ADAC15 当CDAD时，ACD为等腰三角形 CDAD， DCACAD， CAB+B90， DCA+BCD90， BBCD， BDCD， CDBD
13、DA12.5， 当CDAC时，ACD为等腰三角形， 如图 1 中，作CHBA于点H， 则ABCHACBC， AC15，BC20，AB25， CH12， 在 RtACH中，AH9， CDAC，CHBA， DHHA9， AD18 综合以上可得AD的长度为 15，18，或 12.5 5解：（1）点M与点C重合时，观察图象可知AC10cm， 观察图象可知，当点M运动 1s后N点开始运动； 故答案为：10，1； （2）M点运动的速度为 1863cm/s， P的橫坐标为 10， P（，0）， 实际意义：当点M运动s时，点M与点C重合； （3）CMN45，C90， CNMCMN45， CMN为等腰直角三角形
14、， 当 0 x1 时，103x8， 解得，x， 当 1x3 时，103x84（x1）， 解得，x2， 当 3x6 时，3x102（x3）， 解得，x4， 当 6x8 时，2（x3）8， 解得，x7， 综上所述，x，2，4 或 7 6解：（1）如图 2，BOM90， OM平分CON理由如下： BOC135， MOC1359045， 而MON45， MOCMON； 故答案为 90； （2）AOMCON 理由如下：如图 3， MON45， AOM45AON， AOC45， NOC45AON， AOMCON； （3）在旋转的过程中，COM与CON互补，则ON旋转 67.5或 247.5， 15，或55
15、， 故答案为：15 或 55 7综合与实践 解：（1）AECG，理由如下： 在ABC中，ACBC，ACB90， AABC45 点D是AB的中点， BCGACB45， ABCG BFCE， CBG+BCF90 ACE+BCF90， CBGACE， 在ACE和CBG中， ， ACECBG（ASA）， AECG； 自主探究 （2）AECG；理由如下： 在ABC中，ACBC，ACB90， AABC45 点D是AB的中点， BCGACB45， ABCG BFCE， CBG+BCF90 ACE+BCF90， CBGACE， 在ACE和CBG中， ， ACECBG（ASA）， AECG； 拓展延伸 （3）C
16、GAE 证明：同（1）（2）可得AGCB45， BFCE， GDBBFE90， DBGFBE， CGBAEC， ， ACECBG（AAS）， CGAE 8解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为13， 故答案为：13； （2）在ADC中，ADC90，AC10，DC6，则由勾股定理得AD8， ADBC于D，ADBD， BDAD8； （3）如图 2 所示，点A在数轴上表示的数是， 点B表示的数为， 故答案为： 9解：（1）如图 1 中，连接AQ，BDBD交PQ于O PQD是由PQB翻折得到， PQ垂直平分线段BD， OBOD， PQAC， BQQC， ABAC， AQBC 如图 2 中，设
17、PAx，则ABACx+3，ADACCDx+1， PBPD3，PDAB， APD90， AD2PA2+PD2， （x+1）2x2+32， 解得x4， BQDQ， ABC的周长QDC的周长AB+AC+BC （ QD+QC+CD） 2ABCD14 212 （2）如图 3 中，结论：SADCSABC定值 理由：连接BD APD与CPB关于直线PQ对称， BDPQ， ACPQ， BDAC， SADCSABC定值 10解：（1）如图 1，AOB+BOD+COD180， 又AOB45，COD60， BOD180AOB COD75； 则BOD的度数是 75； （2）如图 2，当OB平分EOD时， DOC60， DOE120， OB平分EOD， EOBBOD60 BOA45， EOA15 当OB平分DOC时，如图 3， DOC60，OB平分DOC， DOBBOC30 BOE150 BOA45， EOA105
