1、微专题微专题 五大常考全等模型五大常考全等模型 (必考，每年必考，每年12题题) 模型一模型一 平移模型平移模型 例例1 如图，已知如图，已知BCEF，BDGC，点，点D、C在在AF上，且上，且ABDE. 求证：求证：ADCF. 【找一找】【找一找】 已知已知 结论结论 BCEF _， _ BDGC _ FBCA EDGC EB 例1题图 证明：证明：BCEF， FBCA，EDGC， BDGC， BE， 又又ABDE， ABC DEF(AAS)， ACDF， ADCDCDCF， ADCF. 【自主作答】【自主作答】 基本模型基本模型 图示图示 模型总模型总 结结 有一组边共线或部分重合有一组边
2、共线或部分重合，另两组边分别平行另两组边分别平行，常要在移动常要在移动 方向上加方向上加(减减)公共线段公共线段，构造线段相等构造线段相等，并利用平行线性质并利用平行线性质 找到对应角相等找到对应角相等 针对训练针对训练 1. 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E是是AB的中点，的中点，ADEC，AEDB. (1)求证：求证：AED EBC； 第1题图 (1)证明：证明：ADEC， ABEC， E是是AB的中点，的中点， AEEB， AEDB， AED EBC； (2)解：解：AED EBC， ADEC， 又又ADEC， 四边形四边形AECD是平行四边形，是平行四边形， CDAE，
3、AB6，AE AB， CD AB3. (2)当当AB6时，求时，求CD的长的长 1 2 1 2 模型二模型二 轴对称模型轴对称模型 例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是三角形内一点，连接是三角形内一点，连接DA，DB，DC， 若若12，则，则ABD与与ACD全等吗？请说明理由全等吗？请说明理由 【找一找】【找一找】 已知已知 结论结论 ABAC _ 12 DBDC，_ ABCACB ABDACD 例2题图 【自主作答】【自主作答】 解：解：ABD与与ACD全等全等 理由：理由：12，DBDC. ABAC，ABCACB. ABC1ACB2， ABDACD， 在在ABD和和A
4、CD中，中， ABAC ABDACD BDCD ， ABD ACD(SAS) 基本模型基本模型 图示图示 模型总结模型总结 所给图形可沿某一直线折叠所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合直线两旁的部分能完全重合， 重合的顶点就是全等三角形的对应顶点重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐解题时要注意其隐 含条件含条件，即公共边或公共角相等即公共边或公共角相等 针对训练针对训练 第2题图 2. 如图，点如图，点E、F在在BC上，上，ABDC，BC，请补充一个条件：，请补充一个条件：_ _，使，使ABF DCE. (或或BFEC或或AD或或AFBDEC) BECF 模型三模
5、型三 一线三等角型一线三等角型( (K型型) ) 例例3 如图，如图，B、C、D三点在同一直线上，三点在同一直线上，BDACE，ABCD.求证：求证： ABC CDE. 【思维教练】题干已知【思维教练】题干已知BD，ABCD，要证，要证ABC CDE，只需证，只需证 明明ADCE即可即可 例3题图 证明：证明：BDACE， ACEACBDCE180， BACBA180， ADCE， 在在ABC和和CDE中，中， 【自主作答】【自主作答】 BD ABCD ADCE ， ABC CDE(ASA) 基本模型基本模型 图示图示 模型总结模型总结 三个等角三个等角(ACPDB)在同一直线上在同一直线上，
6、称一线三等角模称一线三等角模 型型(角度有锐角角度有锐角、钝角钝角，若等角为直角称一线三垂直若等角为直角称一线三垂直(见拓展模见拓展模 型型)，利用三等角和三角形内角和找全等三角形所需的角相等利用三等角和三角形内角和找全等三角形所需的角相等 的条件为的条件为12.一线三等角的解题理念一线三等角的解题理念：有边相等证全等有边相等证全等 ；无边相等证相似无边相等证相似 微专题微专题 五大常考全等模型五大常考全等模型 拓展模型拓展模型 图示图示 模型总结模型总结 有三个直角有三个直角，常利用同角常利用同角(等角等角)的余角相等证明角相等的余角相等证明角相等 针对训练针对训练 3. 如图，在如图，在A
7、BC中，中，ABAC，点，点P，D分别是分别是BC，AC边上的点，且边上的点，且BPCD， APDB，若，若APB120，则，则CDP的度数为的度数为( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 第3题图 C 第4题图 4. 如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，点中，点A、C、F在坐标轴上，在坐标轴上，E是是OA的中点，四的中点，四 边形边形AOCB是矩形，四边形是矩形，四边形BDEF是正方形，若点是正方形，若点C的坐标为的坐标为(3，0)，则点，则点D的坐的坐 标为标为( ) A. (1，2.5) B. (1，1 ) C. (1，3) D. ( 1，1 ) 3
8、 33 C 5. 如图，如图，A、B、C是直线是直线l上的三个点，上的三个点，DABDBEECB，且，且BDBE. 求证：求证：ACADCE. 第5题图 证明：证明：DABDBE， ADBABDCBEABD. ADBCBE. 在在ADB和和CBE中，中， ADBCBE DABBCE DBBE ， ADB CBE(AAS) ADCB，ABCE. ACBCABADCE. 模型四模型四 旋转模型旋转模型 类型一类型一 不共顶点旋转模型不共顶点旋转模型 例例4 如图，点如图，点A、B、C、D在同一直线上，在同一直线上，AEDF，CEBF，ABCD. 求证：求证：EAC FDB. 【找一找】【找一找】
9、已知已知 结论结论 AEDF _ CEBF _ ABCD ABBCBCCD_ AD ACEDBF ACBD 例4题图 【自主作答】【自主作答】 证明：证明：AEDF，CEBF， AD，ACEDBF. 又又ABCD， ABBCBCCD，即，即ACBD. EAC FDB. 图示图示 模型总结模型总结 所给图形是一个中心对称图形所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心一个三角形绕中心 对称点旋转对称点旋转180，则可得到另一个三角形则可得到另一个三角形，两三角两三角 形有一组边共线形有一组边共线，构造线段相等构造线段相等，并利用平行线性并利用平行线性 质找到对应角相等质找到对应角相等 基本模型基
10、本模型 类型二类型二 共顶点旋转模型共顶点旋转模型( (手拉手模型手拉手模型) ) 例例5 如图，四边形如图，四边形ABCD中，点中，点E为为AD上一点，上一点，BAEBCE90，且，且BC CE，ABDE.求证：求证：ABC DEC. 【思维教练】题干已知【思维教练】题干已知BCCE，ABDE，BAEBCE90，要证，要证 ABC DEC，只需证明，只需证明BCED即可即可 例5题图 【自主作答】【自主作答】 证明：证明：BAEBCE90， BAEC180， AECDEC180， DECB， 在在ABC和和DEC中，中， ABDE BDEC BCEC ， ABC DEC(SAS) 基本模型基
11、本模型 图示图示1(无重叠无重叠) 图示图示2(有重叠有重叠) 模型总结模型总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成 的的，在旋转过程中在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠两个三角形无重叠或有重叠，找等角或找等角或 运用角的和差得到等角运用角的和差得到等角 注注：遇到共顶点遇到共顶点，等线段等线段，考虑用旋转考虑用旋转 针对训练针对训练 6. 如图，如图，ACBACB，ACB70，ACB100，则，则BCA的度的度 数为数为( ) 第6题图 A. 30 B. 35 C. 40 D. 50 C 模型五模型五 半角模型半角模型
12、 例例6 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为8，点，点E，F分别在边分别在边BC、CD上，上，EAF 45.当当EF6时，时，AEF的面积是的面积是( ) A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 例6题图 【思维教练】要求【思维教练】要求AEF的面积，可将的面积，可将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到ABH， 从而得到从而得到AEF和和AEH全等，再根据全等三角形的面积相等即可求解全等，再根据全等三角形的面积相等即可求解 C 基本模型基本模型 图示图示 等边三角形含半等边三角形含半 角角(BDC120) 等腰直角三角形等腰直角三角形 含半角含半角 微专
13、题微专题 五大常考全等模型五大常考全等模型 图示图示 正方形含半角正方形含半角 模型总结模型总结 当一个角包含着这个角的半角当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通常将半角两边的三角形通 过旋转到一边合并形成新的三角形过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换从而进行等量代换， 然后证明与半角形成的三角形全等然后证明与半角形成的三角形全等 针对训练针对训练 7. 如图，在如图，在ABC中，中，BAC120，ABAC，点，点M、N在边在边BC上，且上，且 MAN60，若，若BM2，CN3，则，则MN的长为的长为( ) 第7题图 A. B. C. D. 72 3 2 25 A 点击链接至综合提升点击链接至综合提升 W
