1、函数模型的应用函数模型的应用第第1课时课时其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率例题教学例题教学例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（TRMalthus，17661834）就提出了自然状态下的人口增长模型0ertyy（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的具体人口增长模型（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达
2、到13亿？例题教学例题教学（2）利用（1）中的模型计算19511958年各年末的人口总数查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符例题教学例题教学问题1如何利用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年这一时期的具体人口增长模型？追问1马尔萨斯人口增长模型“”中的y0、e、r、t的实际意义分别是什么？0ertyy马尔萨斯人口增长模型“”中的y0表示t0时的人口数，e是无理数自然对数的底数，r表示人口的年平均增长率，t表示经过的时间0ertyy追问2根据所给数据，马尔萨斯人口增长模型中的参数y0、r的值是多少？例题教学例题教学
3、要建立我国在19501959年这一时期的具体人口增长模型，因为y0表示时间为0时的人口数，所以y0为1950年末的人口数55 196万，即y055 196根据马尔萨斯人口增长模型，有967 20755 196er，由计算工具得0.021 876r 追问3根据前面问题的结果，你能写出我国在19501959年这一时期的具体人口增长模型吗？并说说这是一个什么类型的函数？其自变量是什么？定义域是什么？例题教学例题教学根据前面问题的结果，我国在19501959年期间的人口增长模型为0.02 81 7655 196e0 9tyt，这是一个指数型函数，其自变量是经过的时间t（年），定义域是t0，9 例题教学
4、例题教学问题2由问题1所得的人口增长模型与我国19501959年的实际人口数据是否相符？追问1如何检验所得模型与我国19501959年的实际人口数据是否相符？查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年各年末的实际人口总数，然后利用（1）中的模型计算19511958年各年末的人口总数，列表从数据上进行比较还可以在同一直角坐标系中画出我国在19511958年各年末的实际人口总数数据对应的散点图，和人口模型的函数图象，观察它们的拟合程度，从图象上进行观察追问2查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年各年末的实际人口总数，如下表中第二列的数据所示例题教学例题教学利用问题1中的模型，计算1
5、9511958年各年末的人口总数，填入表中的第三列，并比较数据所得模型与实际人口数据是否相符？年份年份19511952195319541955195619571958实际人口总数实际人口总数/万万5630057482587966026661465628286456365994计算所得人口总数计算所得人口总数/万万分别取t1，2，8，由 可得我国在19511958年间的各年末人口总数，完成的数据表如下表所示例题教学例题教学从数据上看，所得模型与实际人口数据基本相符年份年份19511952195319541955195619571958实际人口总数实际人口总数/万万5630057482587966
6、026661465628286456365994计算所得人口总数计算所得人口总数/万万56417 5766558940 60243 61576 6293864330 65753 追问3根据前面数据表中的数据，画出实际人口总数数据对应的散点图，再在同一直角坐标系中画出函数 的图象，观察散点图与函数图象是否相符？由此你能得到什么结论？例题教学例题教学如左图所示，观察可知，散点基本在函数 的图象上下浮动，并且紧密贴合着函数图象0.02 81 7655 196e0 9tyt，由此可以得出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合例题教学例题教学问题3以问题1中的模型作预测，大约在什么时候我国
7、人口总数达到13亿？将y130 000代入y55 196e0.021 876t，由计算器得t39.15所以按照问题1中的模型增长，大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.答案：（2）马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异按1970年人口的年增长率2.追问2根据所给数据，马尔萨斯人口增长模型中的参数y0、r的值是多少？而2004年世界人口还没有达到7
8、2亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？根据碳14的半衰期为5 730年，将 和 代入上式可得（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的具体人口增长模型马尔萨斯人口增长模型“”中的y0表示t0时的人口数，e是无理数自然对数的底数，r表示人口的年平均增长率，t表示经过的时间查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年各年末的实际人口总数，然后利用（1）中的模型计算19511958年各年末的人口总数，列表从数据上进行比较还可以在同一直角坐标系中画出我国在
9、19511958年各年末的实际人口总数数据对应的散点图，和人口模型的函数图象，观察它们的拟合程度，从图象上进行观察追问2查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年各年末的实际人口总数，如下表中第二列的数据所示追问2查阅国家统计局网站公布的我国在19511958年各年末的实际人口总数，如下表中第二列的数据所示因此，这名驾驶员喝酒后大约2小时才可驾车答案：（2）马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异1某食品的保鲜时间y（单位：
10、h）与储藏温度x（单位：）满足函数关系 （e为无理数自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192h，在22的保鲜时间是48h，则该食品在33的保鲜时间是_h追问事实上，我国1990年的人口数为11.追问事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？例题教学例题教学马尔萨斯人口模型是在自然状态下的人口增长模型我们只是依据1950年末和1959年末的数据建立的模型，这一时期我国人口处于自然增长状态，因此所得的模型与这一时期的人口增长情况基本吻合而1990年的实际人口数据与模型差异较大，可能是由其他的原因造成
11、的，导致了1990年之前的一段时期，我国的人口不是在自然状态下进行增长的追问事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？例题教学例题教学事实上，因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况例题教学例题教学例22010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的
12、55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？例题教学例题教学问题4根据题中所给条件，我们应该建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？题中给出了草茎遗存中碳14的残留量，因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数ykax（kR，且k0；a0，且a1）建立数学模型追问1结合前面学习的知识，我们可设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p（0p1），经过x年后，残余量为y，那么y与x应满足怎样的函数关系？例题教学例题教学根据死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，y与x应满足函数关系：yk(1p)x（kR，且k0；0p1；x0）追问
13、2已知碳14的半衰期为5 730年，由此你能确定上述函数模型中的参数值吗？例题教学例题教学根据碳14的半衰期为5 730年，将 和 代入上式可得12yk5 730 x 5 730112kkp于是5 730112p，所以5 73012xyk例题教学例题教学问题5通过问题4，我们建立了利用样本中的碳14的残留量来推测水坝大概建成年代的数学模型，利用这个模型，再结合所给条件，你能推断出良渚古城水利系统中水坝的建成年代吗？由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，5 730155.2%2xkk，即 5 73010.5522x解得5 73012log0.552x 由计算器得4912x 例题教学例
14、题教学问题5通过问题4，我们建立了利用样本中的碳14的残留量来推测水坝大概建成年代的数学模型，利用这个模型，再结合所给条件，你能推断出良渚古城水利系统中水坝的建成年代吗？因为2010年之前的4 912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的课堂练习课堂练习1某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：）满足函数关系 （e为无理数自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192h，在22的保鲜时间是48h，则该食品在33的保鲜时间是_hekx by解：根据题意，当x0时，y192，所以192ek0b，224848e0.25e192kb即 ；则22e0.2
15、5k3333333222eee0.251920.2519224kbkby，所以该食品在33的保鲜时间为即24 h24课堂练习课堂练习2一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL问：这名驾驶员喝酒后几小时才可驾车？（已知 ）解：在停止喝酒后血液中的酒精含量随时间呈指数下降，设该驾驶员在停止喝酒x小时后，血液中的酒精含量为y mg/mL，根据题中条件可得1.910.50.26670.3150%xy，即 0.3 0.5xy 课堂练习课堂练习2一名驾驶员喝酒后
16、，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL问：这名驾驶员喝酒后几小时才可驾车？（已知 ）1.910.50.2667因此，这名驾驶员喝酒后大约2小时才可驾车解：将 代入得 ，0.08y 0.080.3 0.5x即 ，解得 0.080.50.26670.3x1.91x 归纳小结归纳小结问题6回顾本节课，我们主要研究了哪些类型的函数模型？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？本节课主要研究了指数型的函数模型，一
17、个是经典的指数增长模型的人口问题，一个是经典的指数衰减模型的放射性元素问题当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用的条件归纳小结归纳小结问题7尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？目标检测目标检测已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%1（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？
18、什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？目标检测目标检测已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%1（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？答案：（1）按1650年人口的年增长率0.3%，232年后即1882年世界人口是1650年的2倍；按1970年人口的年增长率2.1%，34年后即2004年世界人口是1970年的2倍目标检测目标检测已知1
19、650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%1（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？答案：（2）马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异目标检测目标检测在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？2答案：由于快速繁
20、殖的野兔的倍增期为21个月，则可选择增长比例为2的指数函数模型刻画该地在这段时间内野兔的增长规律设野兔的初始量为1万只，经过x个月野兔增长到y万只，则有 ，x0由 可得x280（月）24（年）所以，1万只野兔增长到1亿值野兔大约需要24年212xy 21210000 x目标检测目标检测1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？3则 （kR，k0；0p1；x0）1xykp由已知条件得 ，所以 5730112p573012xyk解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p，经过x年后，残余量y，目标检测目标检测1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？3再由已知得，x38515730162.76%2xkk所以二里头遗址的年代大概是公元前1892年再见再见
