1、24.2 与圆有关的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系 我国射击运动员在奥运会上屡我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？计算的吗？r问题：设问题：设O O半径为半径为 r r,说出来点说出来点A A，点，点B B，点点C C与圆心与圆心O O 的距离与半径的关系：的距离与半径的关系：COABOC r.问题：观察图中点问题：观察图中点A，
2、点，点B，点，点C与圆的位置关系？与圆的位置关系？点点C在圆外在圆外.点点A在圆内，在圆内，点点B在圆上，在圆上，OA r练习：已知圆的半径等于练习：已知圆的半径等于5 5厘米，点到圆心的距离是厘米，点到圆心的距离是:A A、8 8厘米厘米 B B、4 4厘米厘米 C C、5 5厘米。厘米。请你分别说出点与圆的位置关系。请你分别说出点与圆的位置关系。O例：如图已知矩形例：如图已知矩形ABCDABCD的边的边AB=3AB=3厘米，厘米，AD=4AD=4厘米厘米典型例题典型例题ADCB（1 1）以点）以点A A为圆心，为圆心，3 3厘米为半径作厘米为半径作圆圆A A，则点，则点B B、C C、D
3、D与圆与圆A A的位置关系的位置关系如何？如何？(B(B在圆上，在圆上，D D在圆外，在圆外，C C在圆外在圆外)（2 2）以点）以点A A为圆心，为圆心，4 4厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，则点则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？(B(B在圆内，在圆内，D D在圆上，在圆上，C C在圆外在圆外)（3 3）以点）以点A A为圆心，为圆心，5 5厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？(B(B在圆内，在圆内，D D在圆内，在圆内，C C在圆上在圆上)练一练练一练 1、O的半径的半径
4、10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点，则点A、B、C与与 O的位置关系是：的位置关系是：点点A在在 ；点；点B在在 ；点；点C在在 。2、O的半径的半径6cm，当，当OP=6时，点时，点P在在 ；当当OP 时点时点P在圆内；当在圆内；当OP 时，点时，点P不在圆外。不在圆外。3、正方形正方形ABCD的边长为的边长为2cm，以，以A为圆心为圆心2cm为半为半径作径作 A，则点，则点B在在 A ；点；点C在在 A ；点；点D在在 A 。圆内圆内圆上圆上圆外圆外圆上圆上66上上外外上上 4、已知已知AB为为 O的的直径直径P为为 O 上任意
5、一点，则点上任意一点，则点 P关于关于AB的对称点的对称点P与与 O的位置为的位置为()(A)在在 O内内 (B)在在 O 外外(C)在在 O 上上(D)不能确定不能确定c2cm3cm1,1,画出由所有到已知点的距离大于或等于画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm2cm并且小于或等于并且小于或等于3cm3cm的点组成的图形的点组成的图形.O体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是 和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？内？AAB过一点可作几条直线？过两点可以作几条直过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？线
6、？过三点呢？过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线(直线公理直线公理)（“有且只有有且只有”就是就是“确定确定”的意思的意思）经过一点可以作无数条直线；经过一点可以作无数条直线；过三点过三点1 1、若、若三点共线三点共线，则过这三点只能，则过这三点只能作一条直线作一条直线.ABC2 2、若、若三点不共线三点不共线，则过这三点不，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线可作三条直线.ABC直线公理直线公理：两点确定一条直线两点确定一条直线 对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？类比探究：过一点能作几个圆？无数个无数个A过过A点的圆
7、的点的圆的圆心圆心有何特点？有何特点？平面上除平面上除A点外的点外的任意一点任意一点过两点能作几个圆？AB过过A A、B B两点的圆的两点的圆的圆心圆心有何特点？有何特点？n经过两点经过两点A,BA,B的圆的的圆的圆心在线段圆心在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线上上.n以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意一点为圆心的垂直平分线上的任意一点为圆心,这这点到点到A A或或B B的距离为半径作圆的距离为半径作圆.OO 3 3、平面上有三点、平面上有三点A、B、C，经过，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？三点的圆有几个？圆心在哪里？归纳结论归纳结论：不在同一条直线上不在同一条直线上的三
8、个点确定一个圆的三个点确定一个圆。探究与实践BC经过经过B,CB,C两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.An经过经过A,B,CA,B,C三点的圆的三点的圆的圆心圆心应该这应该这两条垂直平分线的两条垂直平分线的交点交点O O的位置的位置.O经过经过A,BA,B两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.不在同一条直线上的三点确定一个圆不在同一条直线上的三点确定一个圆COABl1l23.以点以点O为圆心，为圆心，OA（或（或OB、OC）为半径）为半径作圆，便可以作出经过作圆，便可以作出经过A、B、C的圆的圆1.分别连接分别
9、连接AB、BC、AC；2.分别作出线段分别作出线段AB的垂直平分线的垂直平分线l1和线段和线段BC的的垂直平分线垂直平分线l2，设它们的交点为，设它们的交点为O，则，则OA=OB=OC；由于过由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是三点的圆的圆心只能是点点O，半径等于，半径等于OA，所以这样的圆只能，所以这样的圆只能有一个，即有一个，即请你证明你作的圆符合要求请你证明你作的圆符合要求 证明证明:点点O在在AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，OA=OB.n同理同理,OB=OC.nOA=OB=OC.n点点A,B,C在以在以O为圆心，为圆心，OA长为半径的圆上长为半径的圆上.n O就是所求作的圆就是所求
10、作的圆,在上面的作图过程中在上面的作图过程中.直线直线DE和和FG只有一个交点只有一个交点O,并且点并且点O到到A,B,C三个点的距离相等三个点的距离相等,n经过点经过点A,B,CA,B,C三点可以作一个圆三点可以作一个圆,并且只能作并且只能作一个圆一个圆.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆OABCO1 1。由定理可知：。由定理可知：经过三角经过三角形三个顶点可以作一个圆形三个顶点可以作一个圆.并且只能作一个圆并且只能作一个圆.2 2。经过三角形各顶点的圆。经过三角形各顶点的圆叫做叫做三角形的外接圆三角形的外接圆。3 3。三角形三角形外接圆的圆心叫做外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心，
11、这个三角形，这个三角形叫做叫做这个圆的内接三角形这个圆的内接三角形。ABC圆的内接三角圆的内接三角 形形三角形的外接三角形的外接 圆圆三角形三角形 的外心的外心ABCO 外心外心 1 1。三边垂直平分线的交点。三边垂直平分线的交点2 2。到三个顶点距离相等。到三个顶点距离相等1、经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个一个三角形的外接圆有几个？一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？一个圆的内接三角形有几个？2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆。三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
12、。它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内接三角内接三角形形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。OABC 有关概念有关概念OABCABCO直角三角形外心是直角三角形外心是斜边斜边ABAB的中点的中点钝角三角形外心在钝角三角形外心在ABCABC的外面的外面三角形的外心是否一定在三角形的内部？分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO 练一练 1、判断下列说法是否正
13、确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆().(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为()A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形B（2 2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设过同一条直线如图，假设过同一条直线l l上三点上三点A A、B B、C C可以作一个圆，设这个圆的圆可以作一个圆，设这个圆的圆心为心为P P，那么点，那么点P P既在线段既在线段ABAB的垂直的垂直平
14、分线平分线l l1 1上，又在线段上，又在线段BCBC的垂直平分的垂直平分线线l l2 2上，即点上，即点P P为为l l1 1与与l l2 2的交点，而的交点，而l l1 1l l，l l2 2l l这与我们以前学过的这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线垂直”相矛盾，所以过同一条相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆直线上的三点不能作圆先先假设假设命题的结论不成立，然后由此经命题的结论不成立，然后由此经过推理得出过推理得出矛盾矛盾(常与公理、定理、定常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假，由矛盾判定假设不正
15、确，从而得到原命题成立，这种设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做方法叫做反证法反证法什么叫反证法什么叫反证法？CBA用反证法证明：在三角形中至少有一个内角用反证法证明：在三角形中至少有一个内角小于或等于小于或等于60度度用反证法证明命题的一般步骤：用反证法证明命题的一般步骤：1，假设命题的结论不成立，假设命题的结论不成立2，从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从这个假设出发，经过推理，得出矛盾3，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确的结论正确课堂练习课堂练习判断题判断题：1 1、过三点一定可以作圆、过三点一定可以作圆（）2 2、三角形有且只有
16、一个外接圆、三角形有且只有一个外接圆 （）3 3、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形一个内接三角形 （）4 4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点直平分线的交点 （）5 5、三角形的外心到三边的距离相等、三角形的外心到三边的距离相等（）错错对对错错对对错错思考：思考：如图，如图，CDCD所在的直线垂直平分线所在的直线垂直平分线段段ABAB，怎样用这样的工具找到圆形工件的，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心圆心DABCOA A、B B两点在圆上，所以两点在圆上，所以圆心必与圆心必与A A、
17、B B两点的距离两点的距离相等，相等，又又和一条线段的两个端点和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，垂直平分线上，圆心在圆心在CDCD所在的直线上，因此可以做所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心任意两条直径，它们的交点为圆心.如何解决“破镜重圆”的问题：ABCO圆心一定在弦的垂直平分线上思考：思考：任意四个点是不是可以作一个圆？任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明请举例说明.不一定不一定1.1.四点在一条直线上不能作圆；四点在一条直线上不能作圆；3.3.四点中任意三点不在一条直线可能作圆也四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能
18、作不出一个圆可能作不出一个圆.ABCDABCDABCDABCD2.2.三点在同一直线上三点在同一直线上,另一点不在这条另一点不在这条直线上不能作圆；直线上不能作圆；1,如 图，等 腰如 图，等 腰 A B C 中，中，点，点O为外心，为外心，求外接圆的半径。及面积求外接圆的半径。及面积13ABACcm10BCcmOADCB巩固练习巩固练习3.3.如果直角三角形的两条直角边分别是如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗的半径吗?是多少是多少?我学会了什么？过两点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆.圆心在以已知圆心在以已知
19、两点为端点的线段的垂直平分线上两点为端点的线段的垂直平分线上.实际问题实际问题直线公理直线公理过一点可以作无数个圆过一点可以作无数个圆过三点过三点过不在同一条直线上的三点确定一个圆过不在同一条直线上的三点确定一个圆过在同一直线上的三点不能作圆过在同一直线上的三点不能作圆外心、三角形外接圆、圆的内接三角形外心、三角形外接圆、圆的内接三角形实际问题实际问题作圆作圆引入引入解决解决类比类比 轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们
20、带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
21、这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线（成轴）对称直线（成轴）对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条
22、直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够
23、重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？
24、追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN 垂直垂直线段线段AA，BB和和CC，并且直线，并且直线MN 还平分线段还平分线段AA，BB和和CC”如如果将其中的果将其中的“三角形三角形”改为改为“四边形四边形”“
25、”“五边形五边形”其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性
26、质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l 垂直线段垂直线段AA，BB，直线直线l平分线段平分线段AA，BB（或直（或直线线l 是线段是线段AA，BB的垂直平分的垂直平分线）线）探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABl
27、AB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如如图所示的每个图形
28、是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 （1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？（3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
