1、 1 咸宁市 20162017 学年下学期高二五校联考 数学试卷（理科） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：由题意得，根据抛物线的方程可知 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 ，故选 C 考点：抛物线的几何性质 2. 双曲线 的焦点到其浙近线距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题设可知 ，则焦点为 ，渐近线方程为 ，所以焦点 到直线 的距离 ，应选答案 C
2、。 3. 函数 从 到 的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题设可知 ，应选答案 B。 4. 函数 的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因 ， 故应选答案 A。 5. 有关下列命题，其中说法错误的是（ ） 2 A. 命题 “ 若 ，则 ” 的逆否命题为 “ 若 ，则 ” B. “ 若 ” 是 “ ” 的必要不充分条件 C. 若 是假命题，则 都是假命题 D. 命题 ，使得 ，则 ，都有 【答案】 C 【解析】试题分析：由题意得，可知若 是假命题，则命题 中至少有一个假命题，即 都是假命题或 真 假或 假 真，所以选项 C 不正确，
3、故选 C . 考点：命题的真假判定及应用 6. 在四棱锥 中，底面 是平行四边形，设 ，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图，因 ， 故 ， 应选答案A。 7. 为抛物线 上一点， ，则 到抛物线的准线的距离与 到点 的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由题意得，设 在抛物线的准线上的投影为 ，抛物线的焦点 ，根据抛物线的定义可知点 到该抛物线的准线的距离为 ，则点 到点 的距3 离距离与点 到该抛物线准线的距离之和，故选 D 考点：抛物线的几何性质及其应用 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其
4、中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、以及点到直线的距离公式等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以 及转化与化归思想，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中，合理利用抛物线的定义，把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答问题的关键 8. 若平面 的一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：因为平面的一个法向量 ，又因为点，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，故选 C 考点：空间向量的应用 9. 曲线 在 处的节线过点 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 10.
5、已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆上一点，且 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因 ， 故由勾股定理可得4 ， 又由椭圆定义可得 代入可得 与 联立可得 ，应选答案 A。 点睛：解答本题的关键是搞清楚焦点三角形是直角三角形，求解时充分借助题设条件，先运用勾股定理建立方程 ，再运用椭圆的定义建立方程 ，然后再联立这两个方程求得 ，从而使得问题获解。 11. 设双曲线 的右焦点为 ，右顶为 ，过 作 的垂线与双曲线的两条浙 近线交于 两点，过 分别作 的垂线，两垂线交于点 ，若 到直线 的距离小于 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【
6、答案】 C. 【解析】试题分析：由题意得 为 的垂心，即由 ，即 在 轴上，令 ，可得 ，解得 ，设 ，由 ，可得，由题意 ，设 ，则由 得 ，所以，因为 到直线 的距离小于 ，所以，所以 ，所以 ，则 ，即，即 ，所以 考点：双曲线的几何性质及其应用 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中涉及到 三角形垂心的概念、5 以及两直线垂直的条件，双曲线的几何性质及其性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中合理应用三角形垂心的性质以及双曲线的几何性质是解答的关键，试题有赢的难度，属于中档试题 12. 已知 F 为抛物线 的焦点，点
7、在该抛物线上且位于 轴的两侧，（其中 为坐标原点），则 与 面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：据题意得 ，设 ，则 ，或 ，因为 位于 轴两侧所以 .所以 两面积之和为 . 【考点定位】 1、抛物线； 2、三角形的面积； 3、重要不等式 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 命题 是否定为 _ 【答案】 【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题 的否定为“ ” 考点：命题的否定 14. 抛物线 上一点 的纵坐标为 ，则点 到此抛物线焦点的距离为 _ 【答案】 【解析】试题分析：由
8、题意得，抛物线的准线方程为 ，所以点 到准线的距离为，根据抛物线的定义可 知点 与抛物线的交点的距离就是点 与抛物线准线的距离，所以点 到此抛物线焦点的距离为 考点：抛物线的定义及其应用 6 15. 椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，下顶点为 ，若直线 与直线 的交点为 ，则椭圆的标准方程为 _ 【答案】 【解析】试题分析：由椭圆的左顶点的坐标为 ，上下顶点的坐标为 ，右焦点为 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，又因为直线 与直线 的交点为 ，把点 分别代入直线的方程 ，解得 且 ，又因为 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为 考点：椭圆的标准 方程 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的
9、标准方程的求解，其中解答中涉及到直线的方程，椭圆的标准方程及其简单的几何性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题运算量较大，属于中档试题，本题的解答中写出直线与直线 方程，求解 的值是解答的关键 16. 如图，已知两个正四棱锥 与 的高分别为 和 ， 、 分别为、 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为 _ 【答案】 【解析】试题分析：由题意得， 是正方形，所以 ，分别以直线 为轴建立空 间直角坐标系，如图所示，则，所以 ，所以，又 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 7 考点：直线与平面所成的角的求解 .
10、【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成的角的正弦值的求解，其中解答中涉及到直线与平面所成的角的计算、直线与平面垂直的判定，空间向量的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求解相应向量的坐标和平面法向量 的坐标，转化为向量的运算是解答的关键 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知函数 . （ 1）求这个函数的图象在 处的切线方程； （ 2）若过点 的直线与这个函数图象相切，求的方程 .
11、【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 【试题分析】（ 1）对函数解析式 求导，再运用导数的几何意义求出切线的斜率 ，然后运用直线的点斜式方程求解；（ 2）先设切点坐标 ，再对函数 求导，借助导数的几何意义求出切线的斜率 ，然后运用直线的点斜式方程求由过点 ， ， ， ， ，求出 方程为 ： 解：（ 1） ， 时， ， 这个图象在 处的切线方程为 . （ 2）设与这个图象的切点为 ，方程为 ， 由过点 ， 8 ， ， ， ， 方程为 . 18. 在直线三棱柱 中， ，延长 至点 ，使 ，连接 交棱 于点 .以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 . （ 1）写出 、 、 、 、 、 的坐标
12、； （ 2）求异面直线 与 所成角的余弦值 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）根据空间直角坐标系，即可写出点 的坐标；（ 2）得出 ，即可利用向量的公式 ，即可求解异面直线 与所成角的余弦值 试题解析：（ 1） （ 2） ， ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 考点：空间直角坐标系中点的坐标；异面直线所成的角 19. 已知 对 ，不等式 恒成立； ，使不等式 成立，若 是真命题， 是假命题，求 的取值范围 . 【答案】 的取值范围为 . 【解析】试题分析：由命题 或 ，命题 ： ，根据 是真命题， 是假命题，即可求解 的取值范围 9 试题解析：若 为真命题， ，
13、， ，不等式 恒成立， 可得 ， 或 ， 故命题 为真命题时， 或 若 为真命题，即 ，使不等式 成立， ， 或 ， 从而 为假命题时， ， 为真命题， 为假命题时， 的取值范围为 考点：命题的真假判定及应用 20. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于 两点，与 轴交于点 为坐标原点，若 . （ 1）求抛物线的方程； （ 2）求证： . 【答案】 （ 1） （ 2）见解析 【解析】 【 试题分析】 （ 1）对函数解析式求导运用导数的几何意义求解；（ 2）先设切点再求导与，借助导数的几何意义求解： （ 1）解： ， ， 抛物线的方程为 . （ 2）证明：由 得 ，即 ， 设 ， ，又 ，
14、 ， ，即 . 21. 如图， 为圆 的直径，点 在圆 上， ，矩形 所在的平面与圆 所以的平面互相垂直，已知 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）当 的长为何值时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ？ 10 【答案】 （ 1）见解析（ 2）当 的长为 时，平面 与平面 所成的锐二面角大小为 . 【解析】 【 试题分析】 （ 1） 先运用面面垂直的性质定理证明线线垂直，再运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，最后运用面面垂直的判定定理分析推证 ；（ 2） 依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的 坐标形式的有关运算及数量积公式分析求解： 解：（ 1）平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 . 平面 ， ， 又 为圆 的直径， ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 .
