1、-1-6.2 向量基本定理与向量向量基本定理与向量的的坐标坐标6.2.3 平平面向量的坐标及其运算面向量的坐标及其运算人教版高中数学B版必修二课前篇自主预习一二一、平面向量的坐标1.填空.(1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作ab.规定零向量与任意向量都垂直.(2)正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(3)向量的坐标一般地,给定平面内两个互相垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,
2、y).课前篇自主预习一二2.点的坐标与向量的坐标有何区别?(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y).(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.课前篇自主预习一二二、平面上向量的运算与坐标的关系1.填空.(1)向量加法与减法运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).(3)平面直角坐
3、标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则(4)向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx2y1=x1y2.课前篇自主预习一二2.做一做:已知向量a=,b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x的值为()A.4B.8C.0D.2答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示例例1如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105,=b.四边形OABC为平行四边形.求:(1)向量a,b的坐标;(2)向量 的坐标;(
4、3)点B的坐标.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练1已知O是坐标原点,点A在第一象限,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求向量的模求向量的模例例2设平面向量a=(1,2),b=(-2,y)
5、,若ab,则|2a-b|等于()分析:综合应用向量共线的坐标表示和向量模的坐标表示求解.答案:D解析:由y+4=0知y=-4,b=(-2,-4),2a-b=(4,8),|2a-b|=4 .故选D.反思感悟反思感悟求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练2若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思
6、维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例3(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=,b=.分析:(1)用加减消元法求a,b的坐标.(2)法一:设点M,N的坐标,用向量相等的坐标表示列方程求值.法二:用向量线性运算的几何意义直接计算(1)答案:(3,5)(-2,-2)解析:由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究
7、学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测向量坐标运算的综合应用向量坐标运算的综合应用例例4已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 (R),试求为何值时,(1)点P在第一、三象限角平分线上;(2)点P在第三象限内.分析:用表示点
8、P的横、纵坐标根据条件列方程或不等式求解课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究若本例条件不变,试求为何值时,点P在第四象限.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思
9、维辨析当堂检测共线向量问题数学方法典例典例已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?分析:法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=a(0,b与a同向;0,b与a反向)求解;法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=a判定同向还是反向.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+2)=(10,-4
10、),课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,方法点睛方法点睛利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练已知a=(1,1),b=(x2,x+)且ab,则实数的最小值是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二
11、探究三探究四思维辨析当堂检测2.已知a=(4,2),b=(x,6),且ab,则x=()A.12B.13C.14 D.15答案:A解析:a=(4,2),b=(x,6),且ab,则x1y2=x2y1即2x=24x=12.故选A.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:B 答案:(3,2)课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)求3a+b;(2)当向量3a+b与b+kc平行时,求k的值.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b=3(5,-5)+(-6,-3)=(9,-18).(2)b+kc=(-6+k,-3+8k),3a+b与b+kc平行,9(-3+8k)-(-18)(-6+k)=0,
