1、 1 2016 2017学年下学期第二次月考 高二数学（理）试题 (满 分 150分 , 考试时间 120 分钟 ) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .） 1.若复数 Z 的共轭复数为 Z ，且满足： iiZ ? 11，其中 i 为虚数单位，则 ?Z （ ） A 1 B 2 C 2 D 4 2.设 X是一个离散型随机变量，其分 布列为： 则 q 为 ( ) A 1 B 221? C 221? D 221? 3、函数 2( ) 2 lnf x x x?的递增区间是 ( ) A. 1(0, )2 B. ),21(),0,21( ? C. 1( , )2? D. )21,
2、0(),21,( ? 4 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ( , )Bnp 且 ( ) 12, ( ) 3E X D X?，则 n 与 p 的值分别为（ ） A 218,3 B 316,4 C 116,4 D 118,4 5. 已知函数 ()fx的部分图象如图所示，向图中的矩形区域投出 100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过 10次这样的实验，算得落入阴影区域的豆子平均数为 39 ，由此可估计 10 ()f xdx?的值为（ ） A. 61100 B. 39100 C. 10100 D. 117100 6.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台，在取出的 3 台中至
3、少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ） A. 70种 B.80种 C. 140种 D.35种 X 1 0 1 P 21 q21? 2q 2 7、 设函数 ? ? si n c o s?f x x x x的图像在点 ? ?,t f t 处切线的斜率为 k ，则函数 ?k g t 的部分图像为 （ ） 8 已知随机变量 X 服从正态分布 2(1, )N ? ，且 ( 0) 0.1PX?，则 (1 2)PX?（ ） A. 0.4 B. 0.1 C.0.6 D.0.9 9.使 )()13( *Nnxxx n ?的展开式中含有常数项的最小的 n为 ( ) A 4 B 7 C 6 D 5 10.
4、某高中数学老师从一张测试卷的 12 道选择题、 4道填空题、 6道解答题中任取 3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ） A. 1 1 112 6 203322 10C C CCC?B. 1 1 1 1 21 2 6 4 1 2 6332 2 1 0C C C C CCC? ? ? ?C. 1 1 1 2 2 11 2 6 4 6 1 2 6332 2 1 0()C C C C C CCC? ? ? ? ?D. 3 3 322 10 163322 10C C CCC?11.若 1 1 2 1 0 1 10 1 2 1 0 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x
5、x a a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 10a 的值为（ ） （ A） 10 （ B） 10? （ C） 11? （ D） 11 12.已知 ( ) | |xf x x e? ，又 ?)(xg ? ?2( ) ( ) 1 0f x tf x t R? ? ? ? ?2( ) ( ) 1 0f x tf x t R? ? ， 若满足 1)( ?xg 的 x 有四个，则 t 的取值范 围为 ( ) A 2 1, ee? ?B 2 1( , )e e? ? C 2 1,2ee?D 2 12,ee? 二、填空题 (本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共
6、 20分 ). 13.已知某一随机变量 X的概率分布列如下， 求 ?)(XE X 1 5 9 P 0.1 0.3 a 3 14.设 （其中 为自然对数的底数），则 的值为 _ 15.下列式子： 13=(1 1)2， 13+23 +33 =(2 3)2， l3+23 +33 +43 +53 =(3 5)2， l3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4 7)2，?由归纳思想，第 n 个式子 3 3 3 31 2 3 ( 2 1 )n? ? ? ? ? ?L 。 16已 知 偶 函数 ()fx 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 ()fx? ，当 0x? 时 有22 ( ) (
7、)f x xf x x?，则不等式 )2(4)2017()2017( 2 ? fxfx 0的解集为 . 。 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 一袋中共有个大小相同的黑球 5 个 和白球 5 个 (1) 若从袋中任意摸 出 2 个球， 求 至少有 1个白球的概率 . (2)现从中不放回地取球，每次取 1个球，取 2 次，已知第 1次取得白球，求第 2 次取得黑球的概率 18.（本小题满分 12分） 已知 a R，函数 221)1(ln)( xxaxaxf ? （ 1） 若函数 )(xfy? 在 x =3处取得极值，求曲
8、线 )(xfy? 在点（ 1， )1(f ）处的切线方程； （ 2）若 a 0,且 函数 )(xfy? 有两个不同的零点，求 a 取值范围。 19（本小题满分 12分） 如图 ,在直三棱柱 111 CBAABC? 中， ?AD 平面 1ABC ，其垂足 D 落在直线 1AB上 （ 1） 求证： BC BA1 （ 2） 若 3?AD ， 2?BCAB ， P 为 AC 的中点， 求二面角 A1 ? BAP 的平面角的余弦值 BA CD P1B1A 1C4 20张先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 12,LL两条路线（如图），1L 路线上有 1 2 3,A A A
9、 三个路口，各路口遇到红灯 的 概率 均 为 12 ； 2L 路线上有 12,BB两个路口，各路口遇到红灯的概率 依次 为 34 ， 35 若走 1L 路线，求 最多 遇到 1次 红灯的概率 ； 若走 2L 路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； 按 照“ 平均 遇到红灯 次数最少 ”的 要求 ， 请你帮 助 张先 生从 上述两条路线中选择一条 最好的上班路线 ，并说明理由 21.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 腰直角三角形，直线 10xy? ? ? 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切 . （ 1）求
10、椭圆 C 的方程； （ 2）过点 (2,0)M 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 TS, ，若椭圆 C 的左焦点为 1F ，求 STF1?面积的最大值 . 22.已知函数 xxxf ln)( ? , xexg ?)( ，其中 a 为常 数， ? 718,2e . （ 1）求 函数 )(xf 的单调区间与极值 ； （ 2）若存在 x 使不等式 xxg mx ? )( 成立，求实数 m 的取值范围； （ 3）若 1x , 2x ?（ e1 ， 1）， 121 ?xx ,求证： 42121 )( xxxx ? H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 5 2016 2017 学年下学
11、期第二次月考 高二数学（理）参考答案 一、选择题。 (本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项 符合题意，请将正 确答案填入答卷中 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B D A B A D C C A 二、填空题 ： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .) 13. 7 ； 14. 37 ； 15. 2 (2 1)nn? ； 16. )2015,2019( ? ； 三、解答题： (本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 .) 解： (1)记 “ 从袋中任意摸出 2个球，至少有
12、1个白球 ” 为事件 A， 则971)( 21025 ?CCAP， ? .5 分 (2)令 “ 第 1次取得白球 ” 为事件 B , “ 第 2次取得黑 球 ” 为事件 C ，则 1155111 0 9 5() 18CCP BC CC?， 1 1 1 15 5 5 4111 0 9 1() 2C C C CPB CC?. 故 ( ) 5( | )( ) 9P BCP C B PB? ? .10分 解：（ 1） x 0 又 x axaxxaxaxf ? )1()1()( 2? 3分 3是函数 )(xfy? 的极值点， 0)3( ?f 解得： a =3? 4分 2214ln3)( xxxxf ?
13、27)1( ?f 从而切点是 )27,1( ? 又 0)1( ?f 所求 切线方程 为： 27?y ? 6分 （ 2） x axaxxaxaxf ? )1()1()( 2x axx )(1( ? ? 8分 a 0 且 x 0 ax? 0，由 0)( ? xf 得 x 1? ；由 0)( ? xf 得： 0 1?x 6 函数 )(xfy? 在 1,0( 单调递减；在 ),1? 单调递增。 函数 )(xfy? 在 x =1时取得极小值 21)1( ? af ? 11 分 由 已知 得 21)1( ? af 0， 解得 21? a 0? 12分 19. （） 证明： 三棱柱 111 CBAABC ?
14、 为直三棱柱， ? ?AA1 平面 ABC ，又 ?BC 平面 ABC ， ? BCAA ?1 - AD? 平面 1ABC ，且 ?BC 平面 1ABC ， ? BCAD? . 又 ?1AA 平面 ABA1 , ?AD 平面 ABA1 , AADAA ?1 ， ? BC? 平面 1AAB ， 又 ?BA1 平面 BCA1 ， ? BABC 1? -5分 （） 由 （） 知 BC? 平面 1AAB ， ?AB 平面 ABA1 ,从而 ABBC? 如图 ,以 B为原点 建立空间直角坐标系 xyzB? AD? 平面 1ABC ，其垂足 D 落在直线 1AB上 , ? BAAD 1? . 在 Rt A
15、BD? 中， 3AD? ， AB=2， 3s in 2ADABD AB? ? ?, 060ABD? 在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， ?AA1 AB . 在 1Rt ABA? 中， ta nA A A B? ? ?01 60 2 3, ? .7分 则 B (0,0,0), )0,2,0(A ,C（ 2， 0， 0） ,P（ 1， 1， 0） , 1A （ 0， 2， 2 3 ） , )0,1,1(?BP ?1BA （ 0， 2， 2 3 ） 设平面 BPA1 的一个法向量 ),(1 zyxn ? C1CPA D1BB1Ax y z 7 则 ?00111BAnBPn 即?03220zy
16、yx 可得)3,3,3(1 ?n ? .9分 平面 BA1A 的一个法向量 )0,0,1(2 ?n 721,c o s212121 ?nnnnnn ?二面角 CBAP ? 1 平面角 的 余弦值是 721 ?1 2分 20解：（ 1）设走 1L 路线最多遇到 1次红灯为 A事件，则 P(A)= 21)21()21()21( 313303 ? CC ? 3分 （ 2） ?走21L路线最多遇到 1次红灯的概率 为 21 依题意， X的可能取值为 0,1,2 P(X=0)=( 1-43 ) ,101)531( ? P(X=1)= 20953)431()531(43 ? 2095343)2( ?XP
17、所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 101209 209 ? 9分 1027220912090101)( ?XE ? 10 分 (3) 设走 1L 路线最多遇到红灯次数为 Y, 随机变量 Y 服 从 二 项 分 布 ， )21,3( BY , 23213)( ? YE ?E(X) E(Y),?选择 21L路线上班最好 .? 12 分 21解 ： （ ）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为8 222)( aycx ? ， 圆心到直线 01?yx 的距离 12cda?（ *） -1分 椭圆 C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， bc? , 2ac? ， 代入（ *）式得 1bc?， 22ab?， 故所求椭圆方程为 .12 22 ?yx?
