1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 03 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1直线l与函数? ?si n ( 0, )y x x ?的图像相切于点 A，且/l OP，O为坐标原点， P为图像的极大值点，l与x轴交于点 B，过切点 作x轴的垂线，垂足为C，则BABC=( ) A 24?B 2 44?C 2?D 2 【答案】 B 2过点（ 0， 1）且与曲线11?xxy在点（ 3， 2）处的切线垂直的直线的方程为 ( ) A012 ?
2、yxB012 ?yxC022 ?yD22 ?y【答案】 A 3由曲线 y x2和直线 x 0， x 1， y t2， t (0,1)所围成的图形 (阴影部分 )的面积的最小值为 ( ) A 14 B 13 C 12 D 23 【答案】 A 4曲线32 xxy ?在1?x处的切线方程为 ( ) A02?yB02?yxC?D?【答案】 A 5过曲线21xx?（0x?）上横坐标为 1的点的切线方程为 ( ) A3 1 0xy? ? ?B 3 5 0? ? ?C10? ? ?D ?【答案】 B 6设? ? xf x e?，则? ?42 f x dx?( ) A42eeB?C422ee? ?D2?- 2
3、 - 【答案】 D 7已知函数()fx在 R 上可导，且2( ) 2 (2)f x x x f?，则函数()fx的解析式为 ( ) A2( ) 8f x x x?B2( ) 8f x x x?C2( )x x xD2) 2f x x【答案】 B 8设函数? ?xf ?，其中?x为取整记号，如? ? 22.1 ?，? ? 12.1 ?，? 1?又函数 3)( xxg ?，)(xf在区间)2,0(上零点的个数记为m，)(xf与g图像交点的个数记为n，则?nm dx的值是 ( ) A25?B34?C45?D67【答案】 A 9曲线3xy?在点 (3,27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 (
4、 ) A 45 B 35 C 54 D 53 【答案】 C 10若xxf sin1)( 2?，则)(xf的导数是 ( ) A x xxxx 2 2sin cos)1(sin2 ?B x xxxx 2 2sin cos)1(sin2 ?C x xxx sin )1(sin 2?D x xxsin )1(sin 2?【答案】 A 11曲线3y x x?在点(1,0)处的切线与直线1x ay?垂直，则实数a的值为 ( ) A 2 B 2? C12D12?【答案】 A 12一个物体的运动方程为21 tts ?其中 的单位是米，t的 单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( ) A 5米 /秒 B6米
5、 /秒 C 7米 /秒 D8米 /秒 【答案】 A 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 131 20 xe dx?_ 【答案】1( )2 ?- 3 - 14若点 P是曲线2 lny x x?上一点，且在点 P处的切线与直线2yx平行，则点 P的横坐标为 _ 【答案】 1 15曲线42 ? xxy在点)3,1(处的切线的倾斜角为 。 【答案】?4516已知函数2( ) ln( 1)f x a x x? ? ?，若在区间(0,1)内任取两个不同实数,mn，不等式( 1) ( 1) 1f m f nmn? ?
6、? ?恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】6a?三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17某商品每件成本 9元，售价为 30元，每星 期卖出 432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件。 (1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大。 【答案】 （ 1）设商品降价x元，则多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为()fx， 则依题意有22( ) ( 30 9) ( 43
7、2 ) ( 21 ) ( 432 )f x x k x x k x? ? ? ? ? ? ?， 又由已知条件，224 2k? ，于是有6k?， 所以32( ) 6 126 432 9072 0 30f x x x x x? ? ? ? ? ?， ，。 (2）根据（ 1），我们有2( ) 18 252 432 18 ( 2) ( 12)f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?。 故12x?时，()fx达到极大值因为(0) 9072f ?，(12) 11264f ?，所以定价为30 12 18?元能使一个星期的商品销售利润最 大。 18已知函数kxekxxf 2)() ?. (1)
8、求)(xf的单调区间； - 4 - (2)若对0(?x，)?，都有exf 1)( ?，求k的取值范围。 【答案】 (1)/ 2 21( ) ( ) xkx x k ek?，令/( ) 0fx?得xk?当0k?时，()fx在( , )k?和( ,k?上递增，在( kk?上递减； 当?时， 在, )k和)k? ?上递减，在)?上递增 (2) 当0k?时，1 11) kkf k e e? ? ?；所以不可能对0(?x，)?都有exf 1)?； 当?时有（ 1）知()在( , )?上的最大值为24()kfk e?，所以对0(?x，?都有exf 1)( ?即24 1 1 02k kee? ? ? ? ?
9、，故对0(?x，)?都有exf 1( ?时，k的取值范围为1 ,0)2?。 19某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为 3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为 x元 (7 x 10)时，一年的产量为 (11 x)2万件；若该企业 所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数 a (1 a 3) (）求该企业正常生产一年的利润 L (x)与出厂价 x的函数关系式； (）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润 【答案】（）依题意， L (x) = (x 3 ) (11 x)2 a (11 x)2 =
10、(x 3 a) (11 x)2， x 7， 10 (）因为 L (x) = (11 x)2 2 (x 3 a) (11 x) = (11 x ) (11 x 2x + 6 + 2a) = (11 x )(17 + 2a 3x) 由 L (x) = 0，得 x = 11 7， 10或 x = 1 a 3， 在 x = 的两侧 L (x)由正变负， - 5 - 故当 ，即 1 a 2时， L (x)在 7， 10上恒为负， L (x)在 7， 10上为减函数 L (x)max = L (7) = 16 (4 a) 当 7 ，即 2a 3时， L (x)max = L 即 1 a 2时，则当每件产品
11、出厂价为 7元时，年利润最大，为 16 (4 a)万元当 2a3 时，则每件产品出厂价为 元时，年利润最大，为 (8 a)3万元 20已知? ? ? ? 2,ln 23 ? xaxxxgxxxf. (1)求函数?xf的单调区间； (2)求函数 在 ? ?,2tt?0t?上的最小值； (3)对一切的? ? ,0x,? ? ? ? 22 ? xgxf恒成立 ,求实数a的取值范围 【答案】 (1)? ? ;1,0)(,10,0,1ln)( ? exfexxfxxf 单调递减区间是解得令? ? ;,1)(,1,0 ? ? exfexxf 单调递增区间是解得令(2) ( )0tt+2e1， t无解 (
12、)0t t+2，即 0t 时，eefxf 1)1()( mi n ?( )e1 2? tt，即et 1?时，单调递增在 2,)( ?ttxf，tlnt)t( mi n ? ffetetxf 110tlnte1-)( min? ，(2)由题意 :2123ln2 2 ? axxxx即1232 2 ? axxx? ? ,0x?可得xxxa 2123ln ?设? ? xxxh 2123ln ?, - 6 - 则? ? ? ? ?22 2 1312 1231 x xxxxxh ?令? ? 0 ?xh,得31,1 ? xx(舍 ) 当10 ?x时 ,? ? ?;当1?x时 , ? ? 0 ?xh?当1?x
13、时 ,?取得最大值 , ?xmax=-2 2?a. a的取值范围是? ? ,2. 21某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 元（ 为常数， 2 a 5 ）的税收。设每件产品的售价为 x元 (35 x 41),根据市场调查 ,日销售量与xe(e为自然对数的底数 )成反比例。已知每件产品的日售价为40 元时，日销售量为 10件。 (1)求该商店的日利润 L（ x）元与每件产品的日售价 x元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润 L（ x）最大，并求出 L（ x）的最大值。 【答案】（ 1）设日销售量为4040, 10
14、 , 10 , .xkk keee ? ? ? 40x10e则 则 日 售 量 为 件e则日利润40 4010 30( ) ( 30 ) 10xxe x aL x x a eee ? ? ? ?(2） 40 31( ) 10 xaxx e e?当 2 a 4时， 33 a+31 35，当 35 x41时，( ) 0Lx?当 x=35时， L（ x）取最大值为510(5 )ae?当 4 a 5时， 35 a+31 36， ( ) 0 , 31 ,L x x a? ? ?令 得易知当 x=a+31时， L（ x）取最大值为910ae?综合上得5m a x 910( 5 ) , ( 2 4)() 1
15、0 , ( 4 5 )aa e aLx ea? ? ? ? ?22已知函数321( ) 33f x x x x? ? ?在1 2 1 2, ( )x x x x?处取得极值，记点 1 1 2 2( , ( ), ( , ( )M f x N x f x. 求21,xx的值； 证明：线段MN与曲线()fx存在异于 、N的公共点； 【答案】解法一：axxxf ? 2)( 2，依题意，4121)1( 2 ? aaf3?a，（ 2 分）1( ) 33f x x x x? ? ?由032)( 2 ? xxxf，得121, 3xx? ?令13,0 ? xx 或，()的单调增区间为( , 1)?和(, )?
16、， - 7 - 31,0)( ? xxf，单调减区间为( 1,3)?所以函数()fx在121. 3xx? ?处取得极值。 故5( 1, ). (3, 9)3MN?所以直线MN的方程为8 13yx? ?由321 338 13y x x x? ? ? ? ? ?得323 3 0x x x? ? ? ?令32( ) 3F x x x x? ? ? ?，易得(0) 3 0 , ( 2) 3 0FF? ? ? ? ?， 而()Fx的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故()Fx在(0,2)内存在零点0x，这表明线段MN与曲线fx有异于,的公共点。 解法二：同解法一，可得直线MN的方程为8 13? ?由1 3383y x x x? ? ? ? ?得3 0x x x? ? ? ?解得1 2 31, 1. 3x x x? ? ? ?12 331211 35 11 9,33xx xyyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以线段MN与曲线()fx有异于,的公共点11(1, )3?。 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、 试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： - 8 - 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
