1、 - 1 - 广东省江门市普通高中 2017-2018学年高二数学下学期 4 月月考试题 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 1复数 11 i? 2设全集 , , , U a b c d? ，集合 , A ab? ， , , B b c d? ，则 BCAC UU ? 3 设 121, , ,323? ?，则使函数 yx? 的定义域为 R且为奇函数的 ? 的值为 4 “ ba? ”是“ ba? ”的 条件 .（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空） 5观察下列不等式：2131 22?； 353121122 ?； 47413121
2、1222 ?；? 照此规律， 第五个 不等式为 . 6 直线 l 与函数 3)( xxf ? 图像相切，且 l 与直线 13 ? yx 垂直，则直线 l 的方程为 7 若命题 “ Rx? ，使得 2 ( 1) 1 0x a x? ? ? ?” 为假命题，则实数 a 的范围 8 已知变量 x ， y 满足约束条件 111 0 xyxyx?， 则 2z x y? 的最小值为 9 nS 是在等差数列 na 的前 n 项之和，且 44?a ， 87 SS ? ，数列 nb 满足： 11?b ，nnn abb ? ?1 ，则 ?10b 10 若函数 aeaayx ? 12 为奇函数，则 实数 a 的 值
3、为 11定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( 6) ( )f x f x? .当 31x? ? ? 时， 2( ) ( 2)f x x? ? ，当13x? ? ? 时， ()f x x? 。则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 1 2 )f f f f? ? ? ? ? 12 设 P 为直线 3byxa? 与 双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ? 左支的交点， 1F 是左焦点，1PF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e? . - 2 - 13 若 ( 1)()( 4 ) 2 ( 1)2xaxfx a xx? ? ? ? ? ?是 R 上 的 单 调 递
4、增 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围为 . 14已知函数 2 11xy x? ? 的图像与函数 y kx? 的图像恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 . 二 、 解答 题：本大题共 6小题，共计 90分 15 （本题满分 14 分） 已知复数 )(3 Rbbiz ? ， 且 zi)31( ? 为纯虚数 （ 1） 求复数 z ； （ 2） 若 w = i2?z ， 求复数 w 的模 w 16 （本小题共 14 分） 设命题 p ：曲线 axaxxy 22 23 ? 上任一点处的切线的倾 斜角都是锐角；命题 q ：直线 axy ? 与曲线 22 ? xxy 有两个 不同的 公共点
5、；若命题 p 和命题 q 中有且只有一个是真命题，求实数 a 的取值范围 - 3 - 17. (本小题满分 14分） 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 C千米。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度 v（千米 /时）的平方成正比、比例系数为 b;固定部分为 a元； （ 1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米 /时）的函数，并指出这个函数的定义域。 （ 2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多 大速度行驶？ 18. (本小题满分 16分） 已知 F1、 F2 是椭圆 142 22 ? yx 的两焦点， P 是椭圆
6、在第一象限弧上一点，且满足21 PFPF? =1.过点 P作倾斜角互补的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B两点 . （ 1）求 P点坐标； （ 2）求证直线 AB的斜率为定值； （ 3）求 PAB 面积的最大值 . 1F2Fy O A B P x - 4 - 19. （本题满分 16 分） 已知数列 na 满足：1 12a?，1 12n na a? ? ?，且 1? nn ba . （ 1）求 432 , aaa ； （ 2）求数列 na 的通项公式； （ 3）数列 ?nb 的前 n 项和 13221 ? nnn bbbbbbS ?； 证明 .21?nS20 (本小题满分 16分
7、） 已知函数 ? ? ? ?32 3,f x a x b x x a b R? ? ? ?在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 20y? 求函数 ?fx的解析式； 若对于区间 ? ?2,2? 上任意两个自变量的值 12,xx都有 ? ? ? ?12f x f x c?，求实数 c 的最小值； 若过点 ? ? ?2, 2M m m ? 可作曲线 ? ?y f x? 的三条切线，求实数 m 的取值范围 - 5 - 答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1复数 11 i? 【答案】 1122i? 2设全集 , , , U a b
8、c d? ，集合 , A ab? ， , , B b c d? ，则 BCAC UU ? 【答案】 ? ?,acd 3 设 121, , ,323? ?，则使函数 yx? 的定义域为 R且为奇函数的 ? 的值为 【答案】 3 4 “ ba? ”是“ ba? ”的 条件 .（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空） 【答案】 必要不充分 5观察下列不等式：2131 22?； 353121122 ?； 474131211222 ?；? 照此规律， 第五个 不等式为 . 【答案】 6116151413121122222 ?. 6 直线 l 与函数 3)( xx
9、f ? 图像相切，且 l 与直线 13 ? yx 垂直，则直线 l 的方程为 【答案】 023 ?yx 或 023 ?yx 7 若命题 “ Rx? ，使得 2 ( 1) 1 0x a x? ? ? ?” 为假命题，则实数 a 的范围 【答案】 )3,1(? 8 已知变量 x ， y 满足约束条件 111 0 xyxyx?， 则 2z x y? 的最小值为 【答案】 -5.不等式 组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y? 可化为直线 1122y x z? ? ，则当该直线过点 ( 1, 2)A? 时，- 6 - z 取得最小值， m in 1 2 ( 2 ) 5z ? ? ? ? ?
10、 ? ?. 9 nS 是在等差数列 na 的前 n 项之和，且 44?a ， 87 SS ? ，数列 nb 满足： 11?b ，nnn abb ? ?1 ，则 ?10b 【答案】 19 10 若函数 aeaayx ? 12 为奇函数，则 实数 a 的 值为 【答案】 1? 11定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( 6) ( )f x f x? .当 31x? ? ? 时， 2( ) ( 2)f x x? ? ，当13x? ? ? 时， ()f x x? 。则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 1 2 )f f f f? ? ? ? ? 【答案】 338 【 解 析】 由 )()6
11、( xfxf ? ， 可 知 函数 的 周期 为 6， 所以 1)3()3( ? ff ，0)4()2( ? ff ， 1)5()1( ? ff ， 0)6()0( ? ff ， 1)1( ?f ， 2)2( ?f ，所以在一个周期内有 1010121)6()2()1( ? fff ? ， 所以 33833351335)2()1()2012()2()1( ? fffff ? 12 设 P 为直线 3byxa? 与双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ? 左支的交点， 1F 是左焦点，1PF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e? . 【答案】 423 【解析】由?1322
12、22byaxxaby得?byax42423，又 1PF 垂直于 x 轴，所以 ca?423 ，即离心率为 423? ace 。 13 若 ( 1)()( 4 ) 2 ( 1)2xaxfx a xx? ? ? ? ? ?是 R 上 的 单 调 递增 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围为 . - 7 - 【答案】 )8,4 14已知函数 2 11xy x? ? 的图像与函数 y kx? 的图像恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 . 【答案】 10 ?k 或 21 ?k 。 【解析】 函数 1 )1)(1(112 ? ? x xxxxy ， 当 1?x 时， 11112 ? xxxx
13、y ， 当 1?x 时，? ? ? 1,1 11,11112 xx xxxxxy ， 综上函数?1,111,111112xxxxxxxxy ，做出函数的图象，要使函数 y 与 kxy? 有两个不同的交点，则直线 kxy? 必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经 过黄色区域时 )2,1(B ， k 满足 21 ?k ，当经过蓝色区域时， k 满足 10 ?k ，综上实数的取值范围是 10 ?k 或 21 ?k 。 二 、 解答 题：本大题共 6小题，共计 90分 请在答题卡 指定区域内作答 ， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分） 已知复数 )(3 Rbb
14、iz ? ， 且 zi)31( ? 为纯虚数 （ 1） 求复数 z ； （ 2） 若 w = i2?z ， 求复数 w 的模 w - 8 - 16 （本小题共 14 分） 设命题 p ：曲线 axaxxy 22 23 ? 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题 q ：直线 axy ? 与曲线 22 ? xxy 有两个 不同的 公共点；若命题 p 和命题 q 中有且只有一个是真命题，求实数 a 的取值范围 解：若命题 p 为真命题，则 0243 2 ? aaxxy 对 Rx? 恒成立， ?2 分 0)32(8234)4( 21 ? aaaa ，得 230 ?a ； ? 分 若命题 q 为真命题，
15、则方程组? ? ? 22 xxy axy有两组不同的解，即 0222 ? axx 有两个不等根， 0)1(4)2(442 ? aa，得 1?a ； ?10 分 那么，命题 p 为真命题而命题 q 为假命题时，即 230 ?a 且 1?a ， 得， 10 ?a ； ?12 分 命题 p 为假命题而命题 q 为真命题时，即?1 230aaa 或 ，得， 23?a ； 当命题 p 和命题 q 中有且只有一个是真命题时， ? ? ? ? ,231,0 ?a ?1 分 - 9 - 17. (本小题满分 14分） 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超 过 C千米。已知汽车每小时的
16、运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度 v（千米 /时）的平方成正比、比例系数为 b;固定部分为 a元； （ 1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米 /时）的函数，并指出这个函数的定义域。 （ 2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解： (1) sbvvav sbvay )()( 2 ? ， 定义域为 00, y00) 则 )2,(),2,( 001001 yxPFyxPF ? ,1)2( 202021 ? yxPFPF ? 2 分 ),( 00 yxP? 在曲线上， 则 21)2(24:24,1420202020202020 ? yyyyxyx 得从而 则点 P的坐标为（ 1， 2 ） ? 4分 （ 2）由题意知，两直线 PA、 PB的斜率必存在，设 PB的斜率为 k(k0) 则 BP的直线方程为： y 2 =k(x 1) 1F2Fy O A B P x - 10 - 22222
