1、 5.1使用虚功原理解使用虚功原理解3.1题。半径为题。半径为r的光滑半球形碗，固定在的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为在碗内的长度为c，试证棒的全长为：，试证棒的全长为：crc2224解解：杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，杆的自由度为确定，杆的自由度为1 1，设棒长为，设棒长为l，如图所示，建立坐标，如图所示，建立坐标系系 ，棒所受主动力只有重力，由虚功原理：棒所受主动力只有重力，由虚功原理：xyo niiiW10
2、rF有：有：0cymg0cy即：即：取取 为广义坐标为广义坐标：cosrcAD2sinlsinrsinlcosrsinlcyc22222只有：只有：0222coslcosryc0202lrcos2cos-=22cos241424222rcrccrccoscosrcoscosrlsinlsinrsinlcosrsinlcyc22222 5.2 使用虚功原理解使用虚功原理解3.43.4题。相同的两个均质光滑球悬在结题。相同的两个均质光滑球悬在结于顶点于顶点O O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求求 角及角及 角的关系。角的关系。解解：
3、平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主动力只有重力，动力只有重力，自由度为自由度为1 1，如图建立坐标如图建立坐标系，设小球半系，设小球半 径为径为r，由虚功原理得：，由虚功原理得：)1(0CBAymgymgymgcos2coscosrlylyyACB代入（代入（1 1）式得：）式得：0)sin(2sin2sinlrlsin2sinsinrlylyyACB取变分：取变分：即：即：)2(0sin2sin3rl由约束关系：由约束关系：sin2sinrl取变分：取变分：cos2cosrlcoscos2lr代入（代入（2 2）式：）式：0)sin2coscos2sin3(
4、rrl0只有：只有：0sincos3tg 故：故：tgtg3 5.3 5.3 长度同为长度同为l的轻棒四根，光滑地连成一菱形的轻棒四根，光滑地连成一菱形ABCD，AB、AD两边支于同一水平线上相距为两边支于同一水平线上相距为2 2a的两根钉上，的两根钉上，BD间则用一间则用一轻绳联结，轻绳联结，C点上系一重物点上系一重物W，设，设A点上的顶角为点上的顶角为 ，试用虚，试用虚功原理求绳中张力功原理求绳中张力T。2解：如图所示，取两钉连线中点解：如图所示，取两钉连线中点O为为坐标原点，建立坐标系坐标原点，建立坐标系 ，将，将BD间的约束解除，代之以约束反力间的约束解除，代之以约束反力T，将将T当作
5、主动力。当作主动力。一定，便可确定一定，便可确定ABCD位置，体系自由度为位置，体系自由度为1 1，选，选 为为广义坐标。由虚功原理得：广义坐标。由虚功原理得：xyo actgcoslysinlxsinlxcDB2（2）0cDBywxTxT（1）取变分：取变分：将将代入代入得：得：022cscasinlWcoslcoslT0222cscWasinlWcoslT0123csclaWtgT22cscasinlycoslxcoslxcDB（3）补充题补充题1、图所示曲柄连杆机构中，曲柄、图所示曲柄连杆机构中，曲柄A端上所受的竖直端上所受的竖直力为力为Q，由活塞，由活塞D上所受的水平力上所受的水平力P
6、维持平衡，求水平力维持平衡，求水平力P与与竖直力为竖直力为Q的大小的比值的大小的比值 为（为（）。）。QPcossincosA、coscoscosB、sinsincosC、sincoscosD、解解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象。依虚功原理有：构为研究对象。依虚功原理有：0BPAQ即：即：0cosBPAQ因为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以因为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以:cos)(2cosBAcos)sin(BA)sin(coscoscosBAQP(选 D)应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：应用虚
7、功原理解题时的步骤以及应注意的问题：1判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主动力。动力。2根据问题所给的条件，确定系统的自由度数根据问题所给的条件，确定系
8、统的自由度数,同同时选适当的参数作为确定系统位置的广义坐标。如果题时选适当的参数作为确定系统位置的广义坐标。如果题设条件便于用广义坐标表出各个主动力作用点的坐标，设条件便于用广义坐标表出各个主动力作用点的坐标，则用分析法求解较为方便。如果题设条件不便于应用分则用分析法求解较为方便。如果题设条件不便于应用分析法，则可应用几何法求解。析法，则可应用几何法求解。3用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件(即即不破坏约束不破坏约束)，并用此条件来建立各点虚位移间的关系。，并用此条件来建立各点虚位移间的关系。4、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。、
9、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。5对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不难理解，具有难理解，具有s个自由度的质点系的平衡问题，可写出个自由度的质点系的平衡问题，可写出s个个方程求解方程求解s个未知量个未知量 补充题补充题2（33）两根均质棒两根均质棒AB、BC，在，在B处刚性连结处刚性连结在一起，且在一起，且 形成一直角，如将此棒的形成一
10、直角，如将此棒的A端用绳系于固端用绳系于固定点定点O上（如图所示），则当棒平衡时，上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所棒和竖直直线所成的角成的角 满足下列关系：满足下列关系：其中其中a、b为棒为棒AB和和BC的长度，试用虚功原理证明。的长度，试用虚功原理证明。ababtg2220ABC00201sin2coscos2bayay0002001)cos2sin(sin2bayay0 解：如图所示，系统自由度为解：如图所示，系统自由度为1，选选 为广义坐标，为广义坐标，A、B棒重力分别棒重力分别作用于作用于 a(x1,y1)和和b(x 2,y2)点，设棒点，设棒线密度为线密度为 ，以，以
11、A为坐标原点，则：为坐标原点，则：ababtg220故故：0cos2sinsin202002baba000)cos2sin(sin20000bagbaga120Wag ybg y=+=系统平衡时，由虚功原理得：系统平衡时，由虚功原理得：补充题补充题3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为F，已知已知 ，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的大小大小Q与角与角 的关系为（的关系为（）BCAC FtgA、FctgB、tgF2C、ctgF2D、解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个解：这是一个具有理想约束的质点系的
12、平衡问题。以整个机构为研究对象机构为研究对象,系统自由度为系统自由度为1，选，选 角为广义坐标。依虚角为广义坐标。依虚功原理有：功原理有：如图建坐标系：如图建坐标系：Axy，依约束关系知：依约束关系知：sin2coslxlyBccos2sinlxlyBc代入（代入（1）式得）式得:0BCxQyF（1）0cos2)sin(lQlF选选 CtgFQ2所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角 的关系为的关系为QQtgFQ20cos2sinlQFl00)cos2sin(lQFl0cos2)sin(lQlF 补充题补充题4、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结、如图所
13、示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结的的n个棱形构成，个棱形构成，OA之间用弹簧联系。试求之间用弹簧联系。试求C点受点受P力作用后，力作用后，机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。对此问题，因为对此问题，因为O、A、C三点三点(主动力的作用点主动力的作用点)的直角的直角坐标可用坐标可用 角很方便地表示出来，所以用分析法求解最为角很方便地表示出来，所以用分析法求解最为方便。建坐标方便。建坐标Ox，则，则 虽然弹簧力是内力，但内力作功之和一般不为零，故应虽然弹簧力是内力，但内力作功之和一般不为零，故应以弹簧力以弹簧力F来代替弹簧的作用，则整个系统是在来代替弹簧的作用
14、，则整个系统是在P与与F力的力的作用下处于平衡作用下处于平衡,如图所示系统自由度为如图所示系统自由度为1，选，选 角为广义角为广义坐标。坐标。解解：显然，这是一个具显然，这是一个具有理想约束的质点系的平有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研衡问题。以整个机构为研究对象。究对象。nPxxPFBC代入即可求得代入即可求得 由虚位移原理得：由虚位移原理得：0CAOxPxFxFW)sin2(sin20lnxlxxCAO)cos2(cos20lnxlxxCAO 补充题补充题5、五根长度相同的均质柱形链杆，各重、五根长度相同的均质柱形链杆，各重W，与，与固定边固定边AB形成正六边形（如图所示）。设在
15、水平杆的中点形成正六边形（如图所示）。设在水平杆的中点施力施力T以维持平衡，试用虚功原理证明以维持平衡，试用虚功原理证明T=3W。证：如图所示，建立坐标系证：如图所示，建立坐标系o-xy，以整个机构为研究对象，这是一个具以整个机构为研究对象，这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。系有理想约束的质点系的平衡问题。系统自由度为统自由度为1，选，选y为广义坐标。并以为广义坐标。并以 分别表示各杆中分别表示各杆中点的纵坐标，由图可知：点的纵坐标，由图可知：54321,yyyyy52141yyy54343yyy 假想假想C5 点获得一向下的虚位移点获得一向下的虚位移 ,则则C1,C2,C3,C4各点的
16、各点的虚位移为：虚位移为：5y 证毕证毕。WT305y0)(432412555yTWyWyW0)(22531yTWyWyW由虚功原理得：由虚功原理得：5435214341yyyyyy 5.5 在离心节速器中，质量为在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直轴运动，的质点沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。等的质量均可不计。质点的相对速度质点的相对速度：222BBByxv 质点的牵连速度质点的牵连速度：BBxv0方向垂直方向垂直xy平面所以
17、质点所以质点B的动能为：的动能为：)(21222211BBBxyxmT 解解：系统自由度为系统自由度为1 1，选，选 为广义为广义坐标，坐标，如图所示，以如图所示，以A A为定点，建立为定点，建立动坐标系动坐标系 xyA质点质点B的势能为：的势能为：BygmV11（以（以A点为零势点）点为零势点）CCgymVymT2322321DDDDygmVxyxmT12222212)(21同理可知质点同理可知质点D、C的动能、势能为：的动能、势能为：cos2cossincossinayayaxayaxCDDBB取微商：取微商：sin2sincossincosayayaxayaxCDDBB此力学体系的拉氏函
18、数为：此力学体系的拉氏函数为：CDBCDDDBBBgymyygmymxyxxyxmVVVTTTL2122222222221321321)(21)(21cos)(2sin2)sin(21222222221mmagamam又解：系统自由度为又解：系统自由度为1 1，选，选 为广义坐标为广义坐标质点质点B B的动能、势能为：的动能、势能为：cos)sin()(21112211gamVaamT质点质点C C的动能、势能为：的动能、势能为：cos2)sin2(21212222222gamVamymTC此力学体系的拉氏函数为：此力学体系的拉氏函数为：cos2cos221)sin()(21222212222
19、12121gamgamymaamVVTTLCcos)(2sin2)sin(21222222221mmagamam 5.6 5.6 使用拉格朗日方程解使用拉格朗日方程解4.104.10题题。质量为质量为m的小环的小环M，套在半径为套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速平面内以匀角速 绕圈上某点绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。方向的运动微分方程。解法解法1 1：小环作平面运动，自由度为小环作平面运动，自由度为1 1，选选 为广义坐标。为广义坐标。取圆圈为势能参考面，取圆圈为势能参考面
20、，则小环势能为零。小环动能为：则小环势能为零。小环动能为：2221yxmT tsinatsinaytcosatcosaxtcosatcosaytsintsinaxcosaaamyxT222222222121拉氏函数为拉氏函数为：12122cosmaTVTL12cosmaLsinmaL2代入拉氏方程：代入拉氏方程：0LLdtd得：得：022sinmasinma 故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：02sin 解法解法2 2：小环作平面运动，自由度为小环作平面运动，自由度为1 1，选，选 为广义坐标为广义坐标,取取圆圈为零势面，则小环势能为零。圆圈为零势面，
21、则小环势能为零。小环相对速度大小为：小环相对速度大小为：av 牵连速度大小牵连速度大小：220cosav小环绝对速度：小环绝对速度：0vvv将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：222coscosaav222sincosavn则小环的动能为：则小环的动能为：2222121nvvmmvT2424212222222cosacosaam拉氏函数：拉氏函数：2424212222222cosacosaamTVTL22222cosmamaLsinmasinmaL222sinmamaLdtd 22代入拉氏方程：代入拉氏方程：0LLdtd得：得：0222sinmama 化
22、简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：02sin 解法解法3 3：小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为1 1，选选 为广义坐标为广义坐标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。取圆圈为零势面，则小环势能为零。设某一时刻，小环设某一时刻，小环M（r,）在如图所示位置：）在如图所示位置：22cos2tar22sinar小环动能为：小环动能为：2cos)4(42sin21)2()2sin(21)(21222222222222maramrrmT拉氏函数为：拉氏函数为：2cos)4(42sin21222222maTVT
23、L代入拉氏方程：代入拉氏方程：22222cosmamaLsin)()4(44122222masinsinmaL0LLdtd得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：02sin 5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题试用拉格朗日方程解本章补充例题5.35.3（4.84.8）.轴为竖直轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速 绕竖直轴转动。另绕竖直轴转动。另有一质量为有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为小环运动的微分方程。已知抛
24、物线的方程为 ，式中，式中a 为常数，计算时可忽略摩擦阻力。为常数，计算时可忽略摩擦阻力。ayx42 解：在 抛 物 线 金 属 丝 上 建 立 坐 标解：在 抛 物 线 金 属 丝 上 建 立 坐 标系系 ,系统自由度为系统自由度为1 1，选，选x为广义为广义坐标坐标，小环相对速度：小环相对速度：xyo 222yxv 小环牵连速度：小环牵连速度：xv 0方向与方向与xy面垂直面垂直小环的动能：小环的动能：)(212222xyxmT由由 得：得：ayx42axxyaxy242 势能：势能：mgyV（选（选x轴为零势线）轴为零势线）拉氏函数为：拉氏函数为：mgyxyxmVTL)(212222ax
25、mgxaxxm4)41(21222222xamgxxamxmxLaxxmxL24)41(2222222222)41()(xxamaxxmxLdtd 代入拉氏方程：代入拉氏方程：0)(xLxLdtd0242)41(2222222amgxaxmxxmxxamaxxm 故小环运动的微分方程为故小环运动的微分方程为：024)41(22222xamgxmxxamxaxm 5.9 设质量为设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的圆锥面内运动，试以的圆锥面内运动，试以 为广义坐标，由拉格朗日方程为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。求此质点的运动微分
26、方程。、r 解解：取柱坐标系，如图所示，取柱坐标系，如图所示，则：质点的动能：则：质点的动能：222221zrrmT质点的势能：质点的势能：mgzV(以以o点为零势点点为零势点)拉氏函数：拉氏函数：mgzzrrmVTL222221选选 为广义坐标，约束关系：为广义坐标，约束关系：、rrctgz ctgrz 则：则：mgrctgrsinrmmgrctgctgrrrmL2222222222121代入拉氏方程得：代入拉氏方程得：mgctgmrrLsinrmrL2202LmrL0sin22mgctgmrrmrLrLdtd 02mrdtdLLdtd质点运动微分方程为质点运动微分方程为：常数 2220mr
27、cossinmgsinmrrm 5.10 5.10试用拉格朗日方程解试用拉格朗日方程解2.42.4题中的题中的(a)及及(b)。质量为质量为m1的质点，沿倾角为的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为质量为m2 2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求，又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速劈的加速度度 ；(b)质点水平方向的加速度质点水平方向的加速度 。2x 1x 解法解法1 1：此力学体系自由度为此力学体系自由度为2 2，选广义坐标：，选广义坐标：相对水平面的位置的位置相对2222111mxqmmxq如图所示如图所示。m1的绝对速度：的绝对速度：21
28、22121sinxxcosxv系统的动能：系统的动能：22221221122221121212121xmsinxxcosxmvmvmT系统系统的的势能势能：sinxgmV11(以以m1初始状态为势能零点初始状态为势能零点)拉氏函数：拉氏函数：sinxgmcosxxmxmmxmVTL112112221211212cosxmxmxL21111singmxL11cosxmxmmxL11221202xL代入拉氏方程代入拉氏方程：01211111singmcosxmxmxLxLdtd 22xLxLdtd011221cosxmxmm 即：即：001122121cosxmxmmsingcosxx 两式联立得
29、：两式联立得：21212sinmmcossingmx 劈的加速度劈的加速度为：为：212211sinmmsingmmx 质点水平方向的加速度：质点水平方向的加速度：211cosxxx 2122sinmmcossingm001122121cosxmxmmsingcosxx 解法解法2 2：选固定坐标系选固定坐标系 ,如图所示。如图所示。xy0系统自由度为系统自由度为2 2，选广义坐标：，选广义坐标：11xq（质点（质点m1相对静系的水平位置）相对静系的水平位置）22xq(直角劈直角劈m2 2相对静系的位置，因相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故为直角劈只做平动，故C点的运点的运动可代表直角劈的
30、运动动可代表直角劈的运动)直角劈直角劈m2 2的动能为：的动能为：222221xmT质点质点m1的动能和势能为的动能和势能为：轴线为零势能线xgymVyxmT11121211121约束方程为：约束方程为：tgxxy211系统拉氏函数为：系统拉氏函数为：11222212111212121gymxmyxmVTTLtgxxgmxmtgxxxm21122222212112121tgxxgmxmtgxxxxmxm211222222212112112122121221211111tgxmtgxmxmxLgtgmxL1121121222tgxmxmxmxLgtgmxL12代入拉氏方程：代入拉氏方程：011x
31、LxLdtd022xLxLdtd001212122121122111gtgmtgxxmxmgtgmtgxmtgxmxm 整理得：整理得：0012121221212111gtgmtgxxmxmgtgmtgxxmxm +得：得：02211xmxm （3 3）两式联立得：两式联立得：21221sinmmcossingmx 21212sinmmcossingmx 由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。系量和非惯性系量。5.11
32、试用拉格朗日方程求试用拉格朗日方程求3.203.20题中的题中的a1和和a2。质量为。质量为M，半半径为径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度质心的加速度a1，物体的加速度，物体的加速度a2。解解：如图建立坐标如图建立坐标oy，系统，系统自由度为自由度为1 1，选，选y为广义坐标。为广义坐标。物体的动能和
33、势能为：物体的动能和势能为：2221ymTmgyV2圆柱体只滚不滑圆柱体只滚不滑：rvc2221212121MrMvTc圆柱体的动能圆柱体的动能：A点的速度等于点的速度等于m的速度：的速度：ry2系统拉氏函数为：系统拉氏函数为：22222221163434121yMrMrMrMTmgyymMmgyymMVTTL22221832121163mgyLymMyL83代入拉氏方程得：代入拉氏方程得：083mgymMyLyLdtd MMmgya8382 mMmgyra83421 例例2（5.12）均质杆均质杆AB，质量为，质量为m，长为，长为2a，其，其A端可端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面
34、内绕在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，端摆动，如除重力作用如除重力作用外，外，B端还受有一水平的力端还受有一水平的力F的作用，试用拉的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何何？解解：系统自由度为系统自由度为2 2，如图所示，如图所示,选取选取 为广义坐标为广义坐标,x由科尼希定理知棒的动能为：由科尼希定理知棒的动能为：2222)(21)(2mkyxmTcck为棒绕质心为棒绕质心c转动的回转半径。转动的回转半径。cos2)(22222xakaxmTsincosayaxxcccossinayaxxcc棒
35、质心坐标棒质心坐标：0cosxTmaxmxTsincos)(22xmaxmaTkamT虚功：虚功：cBymgxFWcossin2ayaxxcBsincos2ayaxxcB)sin()cos2(amgaxFW)sincos2(mgFaxF所以广义力为：所以广义力为：)sincos2(mgFaQFQx代入基本形式的拉格朗日方程：代入基本形式的拉格朗日方程：xQxTxTdtd)(QTTdtd)(得运动微分方程为：得运动微分方程为：)sincos2(cos)()sincos(222mgFaxakamFaaxm 若若 很小，很小，这里：这里：1cossin312)2(222aak则运动微分方程为：则运动
36、微分方程为：FgaxmFaaxm2)34()(2 5.13 5.13 行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮，在固，在固定齿轮定齿轮上滚动。已知曲柄质量为上滚动。已知曲柄质量为m1 1且可认为是匀质杆。齿且可认为是匀质杆。齿轮轮的质量为的质量为m2 2，半径为，半径为r，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮的半径则为的半径则为R，今在曲柄上作用一不变力矩，今在曲柄上作用一不变力矩M，如重力作用，如重力作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。解解：系统的自由度为系统的自由度为1
37、 1，选，选为广义坐标。为广义坐标。曲柄的动能：曲柄的动能：2212211613121rRmrRmT齿轮齿轮的动能：的动能：2222222212121rmvmTArrRrvrRvAA22222222222)(43)(4121rRmrRmrRmT系统的动能：系统的动能：2221214361rRmmTTT由于重力不计，则：由于重力不计，则：MW 广义力为：广义力为：MQ 代入基本形式的拉氏方程：代入基本形式的拉氏方程：QdTTdtd2212331rRmmdT0dT得：得：MrRmm 2212331曲柄转动的角加速度为曲柄转动的角加速度为：2212331rRmmM 221292132rRmmmM 5
38、.16 半径为半径为r的均质重球，可在一具有水平轴的半径为的均质重球，可在一具有水平轴的半径为R的的固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。作微振动的运动方程及其周期。解解：系统自由度系统自由度S=1=1，选广义坐标：选广义坐标：q球只滚不滑：球只滚不滑：)(rRrRrrRrrRvc球的动能：球的动能：222522121mrmvTc22225121rRmrRm22107rRm球的势能：球的势能：cosrRmgV（以通过（以通过0点的水平线为零势线）点的水平线为零势线）拉氏函数拉氏函数：cos1072
39、2rRmgrRmVTL257rRmLsinrRmgL代入拉氏方程：代入拉氏方程：0LLdtd得运动微分方程为：得运动微分方程为：0sin572rRmgrRm 对于微振动对于微振动：sin075rRg 振动周期为：振动周期为：grR5722 补充题补充题:图示质量为图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中自由滑动，杆的下端搁在质量为自由滑动，杆的下端搁在质量为M的光滑楔块斜面上，楔块倾的光滑楔块斜面上，楔块倾角为角为 ，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程
40、求杆与水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与楔块的加速度。楔块的加速度。ctgyx 系统动能为：系统动能为：2222)(212121yMctgmxMymT拉氏函数为：拉氏函数为：mgyyMctgmVTL22)(21 解解：系统自由度为系统自由度为1，选广义坐标，选广义坐标：q=y 如图所示，有约束关系如图所示，有约束关系：yctgx 系统势能为系统势能为：mgyV选选0点为零势能点点为零势能点代入拉氏方程：代入拉氏方程：0)(yLyLdtdmgyLyMctgmyL)(20)(2mgyMctgm 得：得：22Mctgmmgctgctgyxa 楔块的加速度为：楔块的加速度为：21M
41、ctgmmgya 杆下降的加速度为：杆下降的加速度为：拉氏函数为：拉氏函数为：mgyyMctgmVTL22)(21 例例4 已知质量为已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，如图所示，弹簧原长为如图所示，弹簧原长为l0，劲度系数为，劲度系数为k,求此弹簧摆的振动求此弹簧摆的振动方程。方程。解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为2 2，选选r，为广义坐标为广义坐标,系统的动能为系统的动能为 )(21222rrmT系统的势能为系统的势能为20)(21coslrkmgrV弹簧摆弹簧摆 拉氏函数为拉氏函数为20222)(21cos)(2
42、1lrkmgrrrmVTL)(cos02lrkmgmrrLrmrLsin2mgLmrL拉氏函数为拉氏函数为20222)(21cos)(21lrkmgrrrmVTL代入拉氏方程代入拉氏方程：00LLdtdrLrLdtd得到系统的运动微分方程为得到系统的运动微分方程为 这是非线性方程组，需在计这是非线性方程组，需在计算机上作数值计算，在一定的算机上作数值计算，在一定的初始条件下，摆锤的轨迹如右初始条件下，摆锤的轨迹如右图所示。图所示。如果系统做小振动，可进行如果系统做小振动，可进行近似计算，将非线性方程化为近似计算，将非线性方程化为线性方程。线性方程。弹簧摆的轨迹弹簧摆的轨迹0sin20)(cos
43、02grrlrkmgmrrm 补充题补充题:如图所示，升降机上有一摆长为如图所示，升降机上有一摆长为l的单摆，升的单摆，升降机以匀加速度降机以匀加速度a上升，且初速为零，使用分析力学方法确上升，且初速为零，使用分析力学方法确定单摆的运动微分方程。定单摆的运动微分方程。解解：系统自由度为系统自由度为1，选单摆摆角，选单摆摆角 为为广义坐标广义坐标摆锤的相对速度的大小：摆锤的相对速度的大小：lv 牵连速度的大小：牵连速度的大小：atv 0绝对速度的平方：（由余弦定理得）绝对速度的平方：（由余弦定理得）)2cos(202202vvvvv单摆的动能为：单摆的动能为：)sin2(212122222atl
44、ltammvT单摆的势能为：以初始位置时（单摆的势能为：以初始位置时（t=0）的）的o点为零势点点为零势点)cos21(2latmgU系统的拉氏函数为：系统的拉氏函数为：)cos21()sin2(2122222latmgatlltamUTLsin2mlatmlLsincosmglmlatL代入拉氏方程：代入拉氏方程：0)(LLdtd得：得：0sinsin2mglmlaml 则单摆运动微分方程为：则单摆运动微分方程为：0sinlga 由以上例题可看出由以上例题可看出：1、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用于不稳定约束。于不稳定约束。2、应用拉氏方程时，广义坐标
45、可选线量，、应用拉氏方程时，广义坐标可选线量，也可同时选角量。也可同时选角量。3、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系量，也可同时选非惯性系量。量，也可同时选非惯性系量。补充题补充题:写出单摆摆动时的哈密顿函数写出单摆摆动时的哈密顿函数H，并讨论其物理意，并讨论其物理意义。义。解解：系统自由度为系统自由度为1，选广义坐标，选广义坐标：q势能为：（以势能为：（以o为零势点）为零势点）cosmglV拉氏函数为：拉氏函数为：cos2122mglmlVTL22mlpmlLp2221mlT 质点的动能为：质点的动能为：H=T+V=E 哈密顿函数即为单摆的总机械能。哈密顿
46、函数即为单摆的总机械能。cos)(21222mglmlpmlH将将 的表达式代入（的表达式代入（1）式得哈密顿函数为：）式得哈密顿函数为：2222cos21mlmglmlpLhcos2122mglml（1）例例1 质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，写出它的哈密顿函数。写出它的哈密顿函数。解解：质点在万有引力场中运动，其拉氏函数为：质点在万有引力场中运动，其拉氏函数为：rmkrrmL2222)(21广义动量：广义动量：2mrLprmrLpr广义能量：广义能量：prpLqpLhrs1rmkmrpmpHr222222将将 代入上式得哈密顿函数为：代入上式
47、得哈密顿函数为：2mrpmprr 我们看到：我们看到：h就是总机械能，但它不是哈密顿函数，因就是总机械能，但它不是哈密顿函数，因为其中含有广义速度，而不是广义动量。为其中含有广义速度，而不是广义动量。rmkrrm2222)(21222mrrmrmkrrm2222)(21prpLqpLhrs1 例例2 写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正则方程及写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正则方程及其首次积分。其首次积分。解解：由例由例1知体系的哈密顿函数为：知体系的哈密顿函数为：rmkmrpmpHr222222将将H代入哈密顿正则方程：代入哈密顿正则方程：得其正则方程为：得其正则方程为：qHppHq),2,1(s 因因H中不显含中不显含 ，所以有循环积分：，所以有循环积分：=常数，常数，即质点的角动量守恒。即质点的角动量守恒。2mrp 0223HprmkmrprHpr2mrppHmppHrrrrmkmrpmpHr222222 又因又因H中不显含时间中不显含时间t，有广义能量积分：，有广义能量积分：H=h（常数），（常数），即：即：rmkmrpmpHr222222EVTrmkrrm2222)(21故质点在万有引力场中运动时，机械能守恒。故质点在万有引力场中运动时，机械能守恒。（总机械能）（总机械能）
