1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 04 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1设a为实数，函数32( ) ( 3 )f x x ax a x? ? ? ?的导函数为()fx?，且?是偶函数，则曲线()y f x?在原点处的切线方程为 ( ) A31yx?B3?C31? ?D33【答案】 B 2曲线23 3xxy ?在点)2,1(处的切线方程为 ( ) A53 ? xB53 ?xyC13 ? xyDxy 2【答案】 C 3下列等于
2、1的积分是 ( ) A10xdx?B10( 1)x dx?Cdx?11Ddx?1021【答案】 C 4函数sin?在点,32?处的切线的斜率为 ( ) A32B22C D 1 【答案】 C 5函数)43(sin 3 ? xy的导数是 ( ) A)43cos ()43(sin3 2 ? ? xxB)43cos ()43(sin9 2 ? ? xxC)43(sin9 2 ?xD)43cos ()43(sin9 2 ? ? xx【答案】 B 6设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f (x)，且函数 f(x)在 x=-1处取得极小值，则函数y=x f (x)的图象可能是 ( ) - 2 - 【答
3、案】 C 732( ) 3 2f x ax x? ? ?,若1) 4?,则a的值等于 ( ) A319B316C313D310【答案】 D 8曲线2 14y y x xx? ? ? ?与 直 线 及所围成的封闭图形的面积为 ( ) A2 ln2?B4 ln2?C4 ln2D2ln【答案】 B 9一物体在 力,2,43 20,0)( ? ? ? xx xxF(单位： N)的作用下沿与力 F相同的方向，从 x 0处运动到 x 4(单位： m)处，则力 F(x)作的功为 ( ) A 44 B 46 C 48 D 50 【答案】 B 10已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( ) A 1
4、 B 2 C 3 D 4 【答案】 A 11曲线 y=xe?+1在点 (0， 2)处的切线与直线 y=0和 y=x 围成的三角形的面积为 ( ) A13B12C3D 1 【答案】 A 12由函数3c os , ( 0 2 ) 12y x x x y? ? ? ? ?的 图 象 与 直 线 及的图象所围成的一个封闭图形的面积是 ( ) A 4 B123 ?C1D?2【答案】 B 第 卷 (非选择题 共 90分 ) - 3 - 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13曲线3 2y x x?在点（ 1, 1）处的切线方程是 【答案】 x y 2=
5、0 14由曲线23,x y x?围成的封闭图形面积为 _ 【答案】51215已知)1(2)( 2 xfxxf ?，则?)0(. 【答案】 -4 16抛物线2 1yx?与直线3xy?围成的平面图形的面积为 【答案】103三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17已知函数? ? ? ?32 3,f x ax bx x a b R? ? ? ?在点? ?1, 1f处的切线方程为20y? 求函数?fx的解析式； 若对于区间? ?2,2?上任意两个自变量的值12xx都有? ? ? ?12f x f x c?，求实数c的最小值； 若过点? ? ?2, 2
6、M m m ?可作曲线? ?y f x?的三条切线，求实数m的取值范围 【答案】? ? 23 2 3f x ax bx? ? ? ? 根据题意，得? ?1 2,1 0,ff? ?即3 2,3 2 0,abab? ? ? ? ? ? ?解得10ab?所以? ? 3 3f x x x? 令? ? 0fx? ?，即23 3 0x ?得1x? 因为? ?12f，? ?f ?， - 4 - 所以当? ?2,2x?时，? ?max 2fx ?，? ?min 2? 则对于区间? ?2,2?上任意两个自变量的值12xx，都有 ? ? ? ? ? ? ? ?12 m a x m in 4f x f x f x
7、f x? ? ? ?，所以4c? 所以c的最小值为 4 因为点? ? ?2, 2M m m ?不在曲线? ?y f x?上，所以可设切点为? ?00,xy 则30 0 03y x x? 因为? ? 20033f x?，所以切线的斜率为2033x? 则20x?=303 2x x mx?， 即322 6 6 0x x m? ? ? ? 因为过点? ? ?2, 2M m m ?可作曲线? ?y f x?的三条切线， 所 以方程x x有三个不同的实数解 所以函数? ? 322 6 6g x x x m? ? ? ?有三个不同的零点 则? ? 6 12g x x x? ?令? ? 0gx? ?，则0x?
8、或2 则? ? ?22gg?，即6020mm? ? ?，解得62m? ? ? 18某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件 .通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x? ?01x?，那么月平均销售量减少的百分率为2x.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元） . ( )写出y与x的函数关系式； ( )改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 . 【答案】 ( )改进工艺后，每件产品的销售价为? ?201 x?，月平均销售量为?2ax?件，-
9、 5 - 则月平均利润? ? ? ?21 20 1 15y a x x? ? ? ? ?（元）， y与x的函数关系式为? ?235 4 4a x x x? ? ? ? ?01x?. ( )由? ?25 4 2 12 0y a x x? ? ? ?得1 12x?，23?（舍） , 当10 2x?时0y?；1 12 x时0y?， 函数? ?5 1 4 4a x x x? ? ? ? ?x在x取得最大值 . 故改进工艺后，产品的销售价为1201 2?30?元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 . 19定义在0| ? xRxD上的函数)(xf满足两个条件：对于任意Dy?、，都有 xy yxxyf
10、yfxf22)()()( ?；曲线)(xfy?存在与直线01?y平行的切线 . (）求过点)41,1(?的曲线)(f的切线的一般式方程； (）当),0( ?x，?Nn时，求证：22)()( ? nnn xfxf. 【答案】（）令1?y得，2)1()(2 ? ff，解得1)1( ?f或2. 当1)1( ?f时，令y得，xxxf 2 1)( 2 ?，即)1(21)( xxf ?， )11( 2xf ?，由1)( ? xf得，12 ?x，此方程在D上无解，这说 明曲线)(xfy?不存在与直线01?y平行的切线，不合题意，则21(f， 此时，令1?得，xxx 1) 2 ?，即xxx 1) ?，211
11、xxf ?， 由1)( ? xf得，22x，此方程在D上有解，符合题意 . 设过点)41,(?的切线切曲线)(xfy?于)1, 000 xx ?，则切线的斜率为201x?， 其方程为)(11(1 02000 xxxxy ?，把点)41,1(?的坐标代入整理得， - 6 - 0485 020 ? xx，解得520 ?x或0?x， 把520 ?x或20?x分别代入上述方程得所求的切线方程是 5421 ?y和143 ?x， 即020421 ? yx和043 ? yx. (）由（）知xxxf 1)( ?，当?Nn时， 21424221112222221111 1 111 )1()1()()(?nnnn
12、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxCxCxCxCxxCxxCxxCxxCxxxxxfxf?由),0( ?x，?Nn知，),0( ?nx，那么 214242212142422111 1 1)()(2?nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxCxCxCxCxCxCxCxCxfxf?214242212142422111 1 1 ?nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxCxCxCxCxCxCxCxC?121221442221222 )1()1()1( ?nnnnnnnnnnnnnnCCCxxCxxxxC?)(2 121 ? nnnn CCC ?)22(2 )(2 01210? ?n
13、nnnnnnnnnn CCCCCCC ?所以22)()( ? nnn xfxf. 20已知函数? ? 22( ) 1 + ln ( 1 )x x x x? ? ?，? ? ? ?11ln 1gx xx? (）判定()fx在? ?0,1上的单调性； (）求gx在 上的最小值； - 7 - (）若*nN?， 1( ) ln(1 ) 1na n? ? ?，求实数a的取值范围 【答案】（）? ? ? ?2( ) l n 1 2 l n 1 2f x x x x? ? ? ? ?设()hx? ? ? ? ?2ln 1 2 ln 1 2x x? ? ?，则? ? ? ?/ 2 ln 1 21xxhx x?
14、 ?， 01x?，设( ) ln( 1) ,k x x x? ? ?则/ ( ) 1 01kx x? ? ?( ) ln( 1) ,k x x x在? ?0,1上单调递减，则( ) (0) 0k x k?即( ) ln( 1) 0 ,x x? ? ? ?ln( 1) ,xx?从而 ? ? ? ?/ 2 l 1 21x? ?0?， ()hx在? ?0,1上单调递减 ?/fx在 上单调递减，? ? ? ?/00f x f? 在? ?,上的单调递减 (）由（）知? ? ? ?(1) 0 0f f x f? ? ?，即? 22( ) 1 + ln ( 1 )f x x x x? ? ?0? ? ? ?
15、 ? ? 2221 l n ( 1 ) 211l n 1 ( 1 ) l n ( 1 )x x xgx x x x x x? ? ? ? ? ? ?0?gx在? ?0,1上的单调递减，则有? ? ? ?(1) 0g g x g?()在 上的最小值为? ? 111ln 2?(）*nN?， 1( ) ln(1 ) 1na n? ? ?， 1 1ln(1 )ann?对 *恒成立，只需求右边1() 1ln(1 )nnn? ?的最小值 对? ? ? ?11ln 1xx?中， 取(0,1x n?，得1 1ln(1 )n? ?， - 8 - 又由（）可知，()gx在? ?0,1上的最小值为1 1ln2?，
16、故 1() 1ln(1 )nnn? ?的最小值为l， a的取值范围是1( , 1.ln 2? ?21某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803?立方米，且2lr假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为( 3)cc设该容器的建造费用 为y千元 (）写出y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域； (）求该容器的建造费用最小时的 r 【答案】（ I）设容器的容积为 V， 由题意知234 80,33V r l r V ? ? ?又故32 2 24 8
17、0 4 4 203()3 3 3Vrl r rr r r? ? ? ? ?由于2lr?因此0 2.r?所以建造费用2224 202 3 4 2 ( ) 3 4 ,3y rl r c r r r cr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此2 1604 ( 2) , 0 2.y c r rr ? ? ? ? ?(II）由（ I）得322160 8 ( 2) 20 8 ( 2) ( ) , 0 2.2cy c r r rr r c? ? ? ? ? ? ? ?由于3, 2 0,? ? ?所 以当3 320 200 , .22rrcc? ? ?时令3 20 ,2 mc ? 则所以2228 ( 2) ( ) ( ) .cy r m r rm mr? ? ? ? ?- 9 - (1）当902 2mc? ? ?即时， ?当 r=m 时 ,y=0;当 r (0,m) 时 ,y0.所以rm?是函数 y的极小值点，也是最小值点。 (2）当2m?即93 2c?时， 当(0, 2) , 0,ry?时函数单调递减， 所以 r=2是函数 y的最小值点， 综上所述，当93 2c时，建造费用最小时2;r?当92c?时，建
