1、 1 2018 届高二下学期第四次月考理科数学试卷 考试范围：已学内容 考试时间： 2017. 05. 19 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知复数 2iai? （其中 aR? ， i 为虚数单位）是纯虚数，则 ai? 的模为（ ） A. 52 B. 52 C. 5 D. 5 2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是 （ ） A假设三内角都不大于 60 度 B假设三内角至多有两个大于 60 度 C假设三内角至多有一个大于 60 度 D假设三内角都大于 60 度
2、3、下列现象的线性相关程度最高的是 ( ) A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为 0.87 B流通费用率与商业利润率之间的相关系数为 0.94 C商品销售额与商业利润率之间的相关系数为 0.51 D商品销售额与流通费用率之间的相关系数为 0.81 4、若 ? ? 5 5 4 3 25 4 3 2 1 02X a X a X a X a X a X a? ? ? ? ? ? ?，则 1 2 3 4 5a a a a a? ? ? ? ?（ ） A 1? B 31 C. 33? D 31? 5、学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班，选课结束后，有四名选修英语的同学要求改
3、修数学，但数学选修班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A. 72 种 B. 54 种 C. 36 种 D. 18 种 6、 ? ? 32 5f x ax x x? ? ? ?在 R 上既有极大值也有极小值，则实数 a 的取值范围为（ ） A、 13a? B、 13a? C、 13a? 且 0a? D、 13a? 且 0a? 7、利用数学归纳法证明“ ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 3 2 1nn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?， *nN? ”时，从“ nk? ”变到“ 1nk?”时，左边应增乘的因式是（ ） A. 21k? B. 211
4、kk? C. ? ? ?2 1 2 21kkk?D. 231kk? 8、函数 ? ? cosf x x x? 的导函数 ?fx在区间 ? ?,? 上的图象大致是 （ ） 2 9 、设 ? ?21,XN? ， 其 正 态 分 布 密 度 曲 线 如 右 图 所 示 ， 且? ?3 0.0228PX ? ，那么向 正方形 OABC 中随机投掷 10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） 附 ： （ 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 ? ?21,N ? ，则? ? 006 8 . 2 6P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? 0 02 2 9 5 .4 4P ?
5、? ? ? ? ? ? ? ?） A 6038 B 6587 C 7028 D 7539 10、已知抛物线 2:4C y x? 的 焦点为 F ，准线为 l ，过点 F 的直线交抛物线于 ,AB两点（ A 在第一象限），过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E ，若 60AFE? ? ? ，则 AFE? 的面积为（ ） A. 43 B. 23 C. 433 D. 233 11 、 已 知 ?fx 是定义在 ? ?0,? 上 的 单 调 函 数 ， 且 ? ?0,x? ? ? ， ? ? 2016lo g 2 0 1 7f f x x?，设 ? ?0.52af? ， ? ?log 3bf ? ，
6、 ? ?4log 3cf? ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. b c a? B. a c b? C. c b a? D. abc? 12、 已知 p,q,r 都是正实数，若 q r(lnp-lnr),r-q p e(r+q),则的取 值范围是（ ） 二、填 空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、 已知 ? ? ? ?221 , 1,1 1, 1, 2xxfx xx? ? ? ?，则 ? ?21f x dx? 14、1 nx x?的 展开 式 中， 所有 二项 式系 数之和 为 512，则展 开式 中 3x 的 系数 为（用数字作答） qp ?.(0,
7、De?1.( ,Aee 1.(0,C e?1.( ,1Be3 15、 ? ? 21 ln 22f x m x x x? ? ?在定义域内单调递增，则实数 m 取值范围为 16、 已知抛物线 1C ： 2y ax? （ 0a? ）的焦点 F 也是椭圆 2C ： 222 14yxb?（ 0b? ）的一个焦点，点 M ， 3,12P?分别为曲线 1C ， 2C 上的点，则 MP MF? 的最小值为 _ 三、解答题（共 6 个题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分 10 分） 设 0a? ， ? ? 22 xfx x? ? ，令 1 1a? ， ? ?1n
8、na f a? ? ， *nN? . （ 1）写出 234,a a a 的值，并猜出数列 ?na 的通项公式； （ 2）用数学归纳法证明你的结论 . 18、（本小题 12 分） 为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20 名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如右图：记成绩不低于 70 分者为“成绩优良” . （ 1）分别计算甲、乙两班 20 个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教 学效果更佳； （ 2）由以上统计数据填写下面 22? 列联 表，并
9、判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?独立性检验临界值表： ? ?2 0P K k? 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 4 19、（本小题满分 12 分 )某校高三年级有 400 人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图） （ 1）求第四个小矩形的高； （ 2）估计该
10、校高三年级在这次考试中数学成绩在120 分以上的学生大约有多少人； （ 3）样本中，已知成绩 在 140,150 内的学生中有三名女生，现从成绩在 140,150 内的学生中选取 3 名学生进行学习经验推广交流，设有 X 名女生被选取，求 X 的分布列和数学期望 . 20、 (本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PA 底面 ABCD ， DAB? 为直角， /AB CD ， 2AD CD AB?，E ， F 分别为 PC ， CD 的中点 （ 1）证明： AB 平面 BEF ； （ 2）设 PA k AB? ，若平面 EBD 与平面 BDC 的夹角等于 45? ，求
11、k 的值 21、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C ：22 1( 0)xy abab? ? ? ?的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为 1. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 1F ， 2F 是椭圆 C 的左、右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形 的一组对边过点 1F 和2F ，求这个平行四边形面积的最大值 22、 已知函数 ? ? lnf x x? ， ? ? ? ? ? ?1g x x f x? ，其中 ?fx是 ?fx的导函数 （ 1）求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?,1e 处的切线方程； （ 2）若 ? ? ? ?f x ag x? 在
12、? ?3,? 上恒成立，求实数 a 的取值范围 樟树中学 2018 届高二下学期第四次月考理科数学试卷答案 二、 选择题： BDBBB CCABA DC 5 三、 填空题： 13、 423? 14、 126 15、 16、 2 四、 解答题 ： 17、（ 1）因为 1 1a? ，所以 ? ? ? ?21 21 3a f a f? ? ?， ? ?3212a f a?， ? ?4325a f a?，猜想? ?*2 1na n Nn? . (4 分 ) （ 2）证明：易知， 1n? 时，猜想正确；假设 ? ?*n k k N?时， 21ka n? ? 成立， 则 ? ?12 22 1 1kkkka
13、a f a ak? ? ? ? ? ?这说明 ， 1nk?时成立 . 由知，对于任何 *nN? ，都有 21na n? ? . (10 分 ) 18、（ 1）甲班样本化学成绩前十的平均分为 ? ?1 7 2 7 4 7 4 7 9 7 9 8 0 8 1 8 5 8 9 9 6 8 0 . 910x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 ； 乙班样本化学成绩前十的平均分为 ? ?1 7 8 8 0 8 1 8 5 8 6 9 3 9 6 9 7 9 9 9 9 8 9 . 410x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙 . 甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十
14、的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳 . （ 6 分） （ 2） 甲班（ A 方式） 乙班（ B 方式） 总计 成绩优良 10 16 25 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 根据 22? 列联表中的数据， 2K 的观测值为 ? ?24 0 1 0 4 1 6 1 0 3 .9 5 6 3 .8 4 12 6 1 4 2 0 2 0k ? ? ? ? ? 能在犯错概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有 关” .（ 12 分） 18、 （ 1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为 6 1 ( 0 .0 1 0 .0 2 0 0 .0 3
15、0 0 .0 1 2 ) 1 0 1 0 0 .0 2 8? ? ? ? ? ? ?；（ 3 分） （ 2）因 为样本中，数学成绩在 120 分以上的频率为 1 (0 .0 1 0 .0 2 0 ) 1 0 0 .7? ? ? ?，（ 4 分） 所以通过样本估计总体（即将频率看作概 率），可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在 120分以上的学生大约有 400 0.7 280?（人）；（ 6 分） （ 3）由频率分布直方图可知，样本 中成绩在 140,150 内的学生共有 0.012 10 50 6? ? ?（人） .于是，由题设知这 6 人恰好是 3 男 3 女 .（ 7 分） 因为 X
16、的所有可能取值为 0、 1、 2、 3，（ 8 分） 且3336 1( 0) 20CPX C? ? ?，123336 9( 1) 20CCPX C? ? ?， 213336 9( 2 ) 20CCPX C? ? ?，3336 1( 3) 20CPX C? ? ?.（ 10 分） 所以 X 的分布列为： 所以 X 的数学期 望为 1 9 9 1 30 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 2EX ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 12 分） 20、（ 1）证明：由已知 /DF AB ，且 DAB? 为直角，故 ABFD 是矩形，从而 AB BF ， 又 PA 底面 ABCD ，所以平
17、面 PAD 平面 ABCD ， 因为 AB AD? ，故 AB 平面 PAD ，所以 AB PD ， 在 PDC 内， E 、 F 分别是 PC 、 CD 的中点， /EF PD ，所以 AB EF ， 由此得 AB 平面 BEF （ 6 分） （ 2）解：以 A 为原点，以 AB 、 AD 、 AP 为 OX 、 OY 、 OZ 正向建立空间直角坐标系， 设 AB 的长为 1，则 (1,0,0)B ， (2,2,0)C ， (0,2,0)D ， (0,0, )Pk， (1,1, )2kE ， 则 ( 1,2,0)BD? ， (0,1, )2kBE? ， 设平面 CDB 的法向量为 1 (0,0,1)n ? ，平面 EDB 的法向量为 2 ( , , )n x y z? ， 7 则220,0,n BDn BE? ? 所以2 0,0,2xykzy? ? ? ? 取 1y? ，可得 2 2(2,1, )n k?， 由二面角 E BD C?的大小为 45? ， 则1212212222c o s ,2| | | | 421nn knnnnk? ? ? ? ? ?，化简得 2 45
