1、 1 江苏省扬州市 2016-2017学年高二数学 5 月质量检测试题 2017 5 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1已知集合 2 | 3 2 0M x x x? ? ? ?， 2, 1,1,2N ? ? ? ，则 ?NM? 2 “ ba? ” 是 “ ba 33 ? ” 的 条件 3 若角 ? 的终边过点 ( 5,12)P? ，则 cos? = . 4复平面内 1ii? 对应的点在第 _象限 . 5若点 (,9)a 在函数 ( 3)xy? 的图象上，则2log a?_. 6 若复数 z1 3 4i， z2 a i，且 z1 z
2、2是实数（其中 z2为 z2的共轭复数），则实数 a _ 7 函数 ? ?2ln 2()1xxfx x ? ?的定义域为 8 设 0 1 0 2 1 1( ) c o s , ( ) ( ) , ( ) ( ) , , ( ) ( )nnf x x f x f x f x f x f x f x? ? ? ?, ,nN? 则 2012()fx= . 9.已知命题 :p Rx? ， 0122 ? axax 若命题 ? p 是真命题， 则实数 a 的取值范围是 10.已知偶函数 )(xf 在 ? ?,0 上单调递减，且 0)2( ?f 若 0)1( ?xf ，则 x 的取值范围是 11 已知 22
3、28x y x? ? ?（ ,xy R? ）， 则 2245xy? 的最大值为 12.函数2lg , ( 0 )()2 , ( 0 )xxfxx x x? ? ? ? ?，若 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d? ? ? （其中 a b c d? ? ? ）， 则 a b c d? ? ? 的取值范围是 13.不等式 ? ? ?21 4 3 0x x x? ? ? ?有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出1 1yx?和 22 43y x x? ? ? 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设,ab Z?，若对任意0?，都有2( 2 )( 2 ) 0
4、ax x b? ? ?，则 ab?_ 2 14 已知函数 1( ) e 2xf x x? ? ?(e 为自然对数的底数 )， 2( ) 3g x x ax a? ? ? ?，若存在实数 12,xx，使得 12( ) g( ) 0f x x?，且 121xx?，则实数 a 的取值范围是 . 二、解答题 （ 本大题共 6道题，计 90 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 函数132)( ? xxxf的定义域为 A, )1)(2)(1lg ()( ? axaaxxg 定义域为 B. （ 1）求 A； （ 2）若 AB? , 求实数 a 的取值范围 . 16 已知 17c o
5、s , s i n ( ) , (0 , ) , ( , )3 9 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 求 cos2? 的值； （ 2） 求 sin? 的值 3 17. 已知关于 x的方程： x2（ 6+i） x+9+ai=0（ aR ）有实数根 b （ 1）求实数 a， b的值 （ 2）若复数 z满足 | a bi| 2|z|=0，求 z为何值时， |z|有最小值，并求出 |z|的值 18.设函数 ( ) l o g ( 2 ) l o g ( 3 ) ,aaf x x a x a? ? ? ?其中 0a? 且 1a? . （ 1）已知 (4 ) 1fa? ,求 a
6、的值； （ 2）若在区间 3, 4aa?上 ( ) 1fx? 恒成立，求 a 的取值范围 . 4 19. 右图为某 仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形 ABCD，上部是圆弧 AB，该圆弧 所在圆的圆心为 O为了调节 仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E， F在圆弧 AB上， G，H 在弦 AB上 )过 O作 OP?AB，交 AB 于 M，交 EF于 N，交圆弧 AB于 P已知 OP 10， MP 6.5（单位： m），记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m2） （ 1）按下列要求建立函数关系式： (i)设 POF (rad)，将 S表示成 的函数； (
7、ii)设 MN x (m)，将 S表示成 x的函数； （ 2）试问通风窗的高度 MN 为多少时，通风窗 EFGH的面积 S最大？ E B G A N D M C F O H P (第 19 题图 ) 5 20 已知定义在实数集上 的函数 *( ) ,nnf x x n N?，其导函数记为 ()nfx，且满足2 2 2 12 1 2 121( ) ( ) ( ) f x f xf x a x x xx? ? ? ?， 12,ax x 为常数， 12xx? （ 1）试求 a 的值； （ 2）函数 13( ) ( ) ln ( )F x b f x f x? ? ?， ? ?0,xe? ，若 ()F
8、x的最小值 是 6，求实数 b 的值； （ 3）对于（ 2）中的 b ，设函数 ( ) ( )3 xbgx? ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y（ 12xx? ）是函数 ()gx图象上两点，若 210 21( ) yygx xx? ?，试判断 0 1 2,x x x 的大小，并加以证明 6 附加 题 （ 全卷 满分 40分， 每题 10 分， 考试时间 30分钟 ） 21、 求 931()x x?的展开式中所有 x的有理项 。 22.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球 1个、黄 色球 2 个、蓝色球 3个现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得 1分、摸到黄球得
9、2 分、摸到蓝球得 3 分从口袋中随机摸出 2 个球，设 ? 表示所摸 2 球的得分之和， 求 ? 的分布列和数学期望 E? . 23. 如图，在三棱锥 P ABC? 中， PC? 平面 ABC ， 4PC? ，3AC BC?， 90ACB?.点 D在线段 AB上 ， AD 2DB. 求异面直线 BC 与 PD所成角的余弦值； 求直线 BC 与平面 PAB 所成角的余弦值 第 23 题图 7 24 记 2 2 2 2 *2 3 4( ) ( 3 2 ) ) ( 2 , )nf n n C C C C n n N? ? ? ? ? ? ? ?（ . （ 1）求 (2), (3), (4)f f
10、f 的值； （ 2）当 *2,n n N?时，试猜想所有 ()fn的最大公约数，并证明 . 8 参考答案 1. 1,2 2. .充要 3. 513? 4 二 5. 4 6. 34 7.? ? ? ?0,1 1,28. cosx 9. )1,0 10. （ -1， 3） 11.64 12. 81(0, )10 13. 1? 14. 2,3 15 (1) ),1)1,( ?A ；（ 2） 1212 ? aa 或 16解： 由条件： 1c o s , ( , )32? ? ? ? ?得 2 7c o s 2 2 c o s 1 9? ? ? ?； 因 为 1c o s , ( , )32? ? ?
11、? ?，所以 22sin 3? ， 因为(0 , ) , ( , )22? ? ?，所以 3( , )22? ， 又 7sin( ) 9?，所以 42cos( ) 9? ? ?， 所以 1s i n s i n ( ( ) ) s i n ( ) c o s c o s ( ) s i n 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. 解：（ 1） b 是方程 x2（ 6+i） x+9+ai=0（ aR ）的实根， （ b2 6b+9） +（ a b） i=0， 解之得 a=b=3 （ 2）设 z=x+yi（ x， yR ），由 | 3 3i|=2|z|， 得（
12、 x 3） 2+（ y+3） 2=4（ x2+y2）， 即（ x+1） 2+（ y 1） 2=8， z 点的轨迹是以 O1（ 1， 1）为圆心， 2 为半径的圆， 如图， 9 当 z点在 OO1的连线上时， |z|有最大值或最小值， |OO 1|= ， 半径 r=2 ， 当 z=1 i时 |z|有最小值且 |z|min= 18.解：（ 1） 12a? . （ 2） 22 2 25( ) l o g ( 5 6 ) l o g ( ) ,24aa aaf x x a x a x? ? ? ? ? ?由 2030xaxa? ?得 3,xa? 由题意知 3 3 ,aa? 故 32a? ，从而 53(
13、 3 ) ( 2 ) 022a a a? ? ? ? ?，故函数 225( ) ( )24ag x x a? ? ?在区间 3, 4aa?上单调递增 . 若 0 1,a?则 ()fx在区间 3, 4aa?上单调递减，所以 ()fx在区间 3, 4aa?上的最大值为 2( 3 ) lo g ( 2 9 9 ) 1af a a a? ? ? ? ?，即 22 9 9a a a? ? ? ，解得 5 7 5 722aa?或 ，又 01a?，所以 01a?. 若 31,2a? 则 ()fx在区间 3, 4aa?上单调递增，所以 ()fx在区间 3, 4aa?上的最大 值为 2( 4 ) l o g (
14、 2 1 2 1 6 ) 1af a a a? ? ? ? ?， 22 12 16a a a? ? ?， 解得 1 3 4 1 1 3 4 142a? ，与 31 2a? 联立无解 . 综上： 01a?. 19解： （ 1）由题意知， OF OP 10， MP 6.5，故 OM 3.5 (i)在 Rt ONF中， NF OFsin 10sin ， ON OFcos 10cos 10 在矩形 EFGH中， EF 2MF 20sin ， FG ON OM 10cos 3.5， 故 S EF FG 20sin (10cos 3.5) 10sin (20cos 7) 即所求函数关系是 S 10sin
15、(20cos 7)， 0 0，其中 cos 0 720 ? 4 分 (ii)因为 MN x， OM 3.5，所以 ON x 3.5 在 Rt ONF中， NF OF2 ON2 100 (x 3.5)2 3514 7x x2 在矩形 EFGH中， EF 2NF 351 28x 4x2， FG MN x， 故 S EF FG x 351 28x 4x2 即 所求函数关系是 S x 351 28x 4x2， 0 x 6.5 ? 8 分 （ 2） 方法一： 选择 (i)中的函数模型： 令 f( ) sin (20cos 7)， 则 f ( ) cos (20cos 7) sin ( 20sin ) 4
16、0cos2 7cos 20 ? 10分 由 f ( ) 40cos2 7cos 20 0，解得 cos 45，或 cos 58 因为 0 0，所以 cos cos 0，所以 cos 45 设 cos 45，且 为锐角， 则当 (0 ， )时， f ( ) 0 ， f( )是增函数；当 ( ， 0)时， f ( ) 0 ， f( )是减函数， 所以当 ，即 cos 45时， f( )取到最大值 ，此时 S有最大值 即 MN 10cos 3.5 4.5m时，通风窗的面积最大 ? 1 6分 方法二： 选择 (ii)中的函数模型： 因为 S x2(351 28x 4x2) ，令 f(x) x2(351 28x 4x2)， 则 f ( x) 2x(2x 9)(4x 39) ? 10 分 因为当 0 x 92时 ， f ( x) 0， f(x)单调递增，当 92 x 132时， f ( x) 0， f(x)单调递减， 所以当 x 92时， f(x)取到最大值，此时 S有最大值 即 MN x 4.5m时，通风窗的面积最大 ? 1 6分 20 解：（ 1） 22()f x x? ， 2( ) 2f x x? ， ?1 分
