1、 1 河北省衡水中学滁州分校 2017-2018学年 下学期开学 考 试 高二（理科）数学 注意事项： 1 你现在拿到的这份试卷是满分 150分，作答时间为 120分钟 2 答题前 请在答题卷上 填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 ) 1.已知 m 为正数，则 “ 1m? ” 是 “ 11lg 1mm? ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条 件 2. 由命题 “ 存在 ，使 ” 是假命题，得 的取值范围是 ，则
2、实数的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 如图，空间四边形 OABC 中，点 ,MN分别在 ,OABC 上， 2OM MA? ， BN CN? ，则 MN? ( ) A. 1 2 12 3 2OA OB OC? B. 2 1 13 2 2O A O B O C? ? ? C. 1 1 12 2 2OA OB OC? D. 2 2 13 3 2OA OB OC? 4. 设点 P 为双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）上一点， 12,FF分别是左右焦点， I是 12PFF? 的内心，若 1IPF? ， 2IPF? ， 12IFF? 的面积 1 2 3,S S S 满足
3、? ?1 2 32 S S S?，2 则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 5.如图，面 ACD ? ,B 为 AC的中点， 2 , 6 0 ,A C C B D P ? ? ? 为 内 的 动 点， 且 P到直线 BD 的距离为 3 则 APC? 的最大值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6.如图，在长方体 ABCD A B C D? ? ? ?中，点 ,PQ分别是棱 ,BCCD 上的动点， 4 , 3 , 2 3B C C D C C ? ? ?,直线 CC? 与平面 PQC 所成的角为 030 ，则 PQC? ? 的面积的最小值是（
4、） A. 1855 B. 8 C. 1633 D. 10 7.如图， 60 的二面角的棱上有 ,AB两点，直线 ,ACBD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB 已知 4 , 6 , 8AB AC BD? ? ?，则 CD 的长为（ ） 3 A. 17 B. 7 C. 217 D. 9 8.已知 , , ,ABCD 是同一球面上的四个点，其中 ABC? 是正三角形， AD? 平面 ABC ， 26AD AB?，则该球的表面积为（ ） A. 48? B. 32 3? C. 24? D. 16? 9.若直线 ? ?2y k x?与曲线 21yx?有交点，则（ ） A. k 有最大值 3
5、3 ，最小值 33? B. k 有最大值 12 ，最小值 12? C. k 有最大值 0 ，最小值 33? D. k 有最大值 0 ，最小值 12? 10.在四面体 ABCD 中， ,EG分别是 ,CDBE 的中点，若 A G x A B y A D z A C? ? ?，则x y z? ? ? （ ） A. 13 B. 12 C. 1 D. 2 11.若直线 ? ?2 2 0 , 0a x b y a b? ? ? ?始终平分圆 22 4 2 8 0x y x y? ? ? ? ?的周长，则4 12ab? 的最小值为 A. 1 B. 5 C. 42 D. 3 2 2? 12.如图，在长方体
6、1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AB? ， 3BC? ，点 M 在棱 1CC 上，且1MD MA? ，则当 1MAD? 的面积最小时，棱 1CC 的长为 A. 322 B. 102 C. 2 D. 2 第 II 卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分。 ) 13. 已知 是双曲线 的左焦点，若点 ，以线段 的长为直径的圆与双曲线左，右两支在 轴上方的交点分别为 ，则 _. 14. 如图所示，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为矩形， 3AB? ， 1CB CP?，且PC PA? ，记二面角 P AC B?的平面角为 ? ，
7、若 41cos ,92? ?， 则 PB 的取值范围是_ 5 15.设抛物线 2 2yx? 的焦点为 F ，过点 ? ?3,0M 的直线与抛物线相交于 ,AB两点，与抛物线的准线相交于点 C ， 2BF? ，则 BCF? 与 ACF? 的面积之 BCFACFSS? ?_ 16. 给出如下命題 : 命题 “ 在 ABC? 中，若 AB? ，则 sin sinAB? ” 的逆命題为真命题 ; 若动点 P 到两定点 ? ? ? ?124, 0 , 4, 0FF? 的距离之和为 8 ，则动点 P 的 轨迹为线段 12,FF; 若 pq? 为假命题，则 ,pq都是假命題 ; 设 xR? ，则 “ 2 3
8、0xx?” 是 “ 4x? ” 的必要不充分条件 若实数 1, ,9m 成等比数列，则圆锥曲线 2 2 1x ym?的离心率为 63 ; 其中所有正确命题的序号是 _. 三、解答题 (本大题 共 6个小题， 70分。 ) 17. (本题 10分 )如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PD? 平面 2A B C D P D D C B C? ? ?， , 2 , / /AB DC AB DC? , 90BCD?. (1)求证： PC BC? ； (2)求多面体 A PBC? 的体积 . 18. (本题 12 分 )已知抛物线 2: 2 ( 0 )C x py p? ? ?的焦点到准线的距离为
9、12 ，直线: ( 1)l y a a? ? 与抛物线 C 交于 ,AB两点，过这两点分别作抛物线 C 的切线，且这两条切线相交于点 D . （ 1）若 D 的坐标为 ? ?0,2 ，求 a 的值； （ 2）设线段 AB 的中点为 N ，点 D 的坐标为 ? ?0,a? ，过 ? ?0,2Ma的直线 l? 与线段 DN 为6 直径的圆相切，切点为 G ，且直线 l? 与抛物线 C 交于 ,PQ两点，求 PQMG的取值范围 . 19. (本题 12分 )在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC=3， BC=4， AB=5， AA1=4，点 D是 AB的中点， （ ）求证： A1C1 BC1；
10、（ ）求证： AC1 平面 CDB1 20. (本题 12 分 )如图 ,直线 l 与圆 224: 5O x y?且与椭圆 2 2x:14Cy?相交于 ,AB两点 . (1)若直线 l 恰好经过椭圆的左顶点 ,求弦长 AB， (2)设直线 ,OAOB 的斜率分别为 12kk ,判断 12kk? 是否为定值 ,并说明理由 (3)求 OAB? ，面积的最小值 . 21. (本题 12分 )如图 ,已知抛物线 2:4C x y? 的焦点为 F ， 过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 AB两点 ,过 ,AB作准线的垂线 ,垂足为 ,PQO 为原点 . (1)求证 : ,BOP 三点共线； 7 (2)
11、求 PFQ? 的大小 . 22. (本题 12 分 )如图，在四棱锥 P ABCD? 中， /AB CD ， AB AD? ， 2CD AB? ，平面 PAD? 底面 ABCD ， PA AD? .E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： （ ） PA? 底面 ABCD ； （ ） /BE 平面 PAD ； （ ）平面 BEF? 平面 PCD . 8 参 考 答案 解析 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B A B B C A C C A A 1.C 【解析】 设 ? ? 1 1 1l g l g ( 0 )f x x xx x x? ? ?
12、? ?， 则 ?fx在 ? ?0,? 上单调递减。 若 1m? ，则 ? ? ? ?1 lg 1 1f m m fm? ? ? ?， 即 11lg 1mm?； 若 11lg 1mm?， 即 ? ? ? ?1 lg 1 1f m m fm? ? ? ?， 则有 1m? 。 综上可得 “ 1m? ” 是 “ 11lg 1mm? ” 的充要条件。 选 C。 2. C 【解析】 命题 “ 存在 ，使 ” 是假命题， 对任意的 ，有 ，为真命题， ，又当 时， 取得最小值， 的取值范围是，故选 C. 3. B 【解析】 ? ?12, , 2 ,23B N C N O N O B O C O M M A
13、O M O A? ? ? ? ? ? ?， 1 1 22 2 3M N O N O M O B O C O A? ? ? ? ? ?， 故选 B. 4. A 9 【解析】 如图 ,设圆 I 与 12PFF? 的三边 12FF 、 1PF 、 2PF 分别相切于点 .E F G， ， ，连接IE IF IG、 、 ， 则 1 2 1 2,IE F F IF P F IG P F? ? ?， 它们分别是 12IFF? , 1IPF? , 2IPF? 的高， 1 1 11122S P F IF P F r? ? ?， 2 2 21122S P F IG P F r? ? ?， 3 1 2 1 211
14、22S F F IE F F r? ? ?， 其中 r是 12IFF? 的内切圆的半径。 ? ?1 2 32 S S S?， 1PFr ? 2PFr = 1212FF r， 两边约去 r得： 1 2 1 212PF PF F F?， 根据双曲线定义 ,得 1 2 1 22 , 2P F P F a F F c? ? ?， 2ac?离心率为 2ce a?. 故选： A. 5.B 【解析】 P 到直线 BD 的距离为 3 空间中到直线 BD 的距离为 3 的点构成一个圆柱面，它和面 ? 相交得一椭圆，即 点 P 在10 ? 内的轨迹为一个椭圆， B 为椭圆中心， 3b? ， 3 2sin60a?
15、，则 1c? AB， 为椭圆的焦点 椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 APC? 的最大值为 60? 故选 B 6.B 【解析】 以 C为原点，以 CD， CB， CC 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 C（ 0， 0， 0）， ? ? ? ?0,0,2 3 , 0, ,2 3 ,C PC a? ? 设 P（ 0， a， 0）， Q（ b， 0， 0），于是 0 a4 ， 0 b3 ? ? ? ? ? ?, 0 , 2 3 , 0 , , 2 3 , 0 , 0 , 2 3Q C b P C a C C? ? ? ? ? ? ? ? 设平面 PQC 的一个法向量为 ?
16、?,n x y z? 则 2 3 00 0 2 3 0a y zn P Cn Q C b x z? ? ? ? ? ? 令 z=1，得 222 3 2 3 1 2 1 2, , 1 2 3 , 2 3 , 1n n C C C C nb a b a? ? ? ? ? ? ? ? ?2222221 1 1 2 1 2 1c o s , 3241 2 1 2 1n C C a babba? ? ? ? ? ? ? ? ?a2b22ab ，解得 ab8 当 ab=8时， S PQC=4，棱锥 C -PQC的体积最小， 直线 CC 与 平面 PQC 所成的角为 30 ， C到平面 PQC 的距离 d=2 1332? VC -PQC=VC-PQC ， 114 2 3 3 833P Q C P Q CSS? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选 B 7.C 【解析】 7. CA AB? ， BD AB? ， 00C A AB D B AB? ? ? ?， ，CD CA AB BD? ? ?， 2 2 2 2 2 2 2C D C A A B B D C A A B C A B D A B B D? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 26 4 8 2 6 8 c o s 1 2 0 6 8? ? ? ? ? ? ? ?， 2 17CD? ， 故选 C. 8.A
