1、 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 1 22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 教学目标教学目标 1. 会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 3. 根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系 教学重点教学重点 1. 根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系 2. 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 课时安排课时安排 3 课时. 教师备课系统教师备课系统
2、多媒体教案多媒体教案 2 教案教案 A 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（1） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、 拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义从这 节课开始，我们就共同解决这几
3、个问题 二、新课教学二、新课教学 问题 1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最 高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时 间 t（单位：s） 然后让学生计算当 t1、t2、t3、t4、t5、t6 时，h 的值是多少？ 再让学生根据算出的数据，画出函数 h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第 49 页图） 根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高 度是多少？ 学生结合图象
4、回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是 这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题 当 t a b 2 )5(2 30 3 时，h 有最大值 a bac 4 4 2 )5(4 302 45 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 3 答：小球运动的时间是 3s 时，小球最高小球运动中的最大高度是 45m 问题 2 如何求出二次函数 yax2bxc 的最小（大）值？ 学生根据问题 1 归纳总结：当 a0（a0） ，抛物线 yax2bxc 的顶点是最低 （高） 点， 也就是说
5、， 当 x a b 2 时， 二次函数 yax2bxc 有最小 （大） 值 a bac 4 4 2 三、巩固练习三、巩固练习 探究 1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而 变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 教师引导学生参照问题 1 的解法，先找出两个变量，然后写出 S 关于 l 的函数解析 式，最后求出使 S 最大的 l 值 解：矩形场地的周长是 60 m，一边长为 l m，所以另一边长（ 2 60 l） m场地的 面积 Sl(30l)，即 Sl230l（0l30） 因此， 当 l a b 2 ) 1(2 30 15 时， S 有最大
6、值 a bac 4 4 2 ) 1(4 302 225 也 就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大 四、课堂小结四、课堂小结 利用二次函数解决实际问题的过程是什么？ 找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定 自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 1、4 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（2） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）
7、值等实际问题 3根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 教学重点教学重点 1根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 2求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教师备课系统教师备课系统多媒体教案多媒体教案 4 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映： 如调整价格， 每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元， 每星期可多卖出 20 件 已 知商品的进价为每
8、件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量在这个探究中，某商品调整，销量会 随之变化调整的价格包括涨价和降价两种情况 （1）我们先看涨价的情况 设每件涨价 x 元， 每星期则少卖 l0 x 件， 实际卖出(300l0 x)件， 销售额为(60 + x) (300 l0 x)元，买进商品需付 40(30010 x)元因此，所得利润 y(60+x)(300l0 x)一 40(300 l0 x)，即 yl0 x2+100 x+6 000 列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定 x 的取值范围呢？ 由 300l0 x0，得 x30再由 x0，得 0 x30 根据上面
9、的函数，可知： 当 x5 时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利 润最大，最大利润是 6250 元 （2）我们再看降价的情况 设每件降价x元， 每星期则多卖20 x件， 实际卖出(30020 x)件， 销售额为(60 x) (300 20 x)元，买进商品需付 40(30020 x)元因此，所得利润 y(60 x)(30020 x)40(30020 x)， 即 y20 x2100 x6 000 怎样确定 x 的取值范围呢？ 由降价后的定价(60 x)元，不高于现价 60 元，不低于进价 40 元可得 0 x20 当 x2.5 时，y 最大，也就是说，在降价
10、的情况下，降价 2.5 元，即定价 57.5 元时， 利润最大，最大利润是 6125 元 由（1） （2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 65 元 时，利润最大 三、巩固练习三、巩固练习 1某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试销发现，若按每件 20 元的价格销 售时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销 售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数，则 y 与 x 之间的关系式是 ， 销售所获得的利润为 w（元）与价格 x（元/件）的关系式
11、是 2某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50 元，根据市场调查，销售量与销售单 价满足如下关系：在一段时间内，单价是 13.50 元时，销售量为 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售出 200 件.设每件商品降价 x 元，总利润为 y 元，请你写出 y 与 x 的函 数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？ 参考答案：1y30 x96 0，w(x16)(30 x960) 2 y(13.5x2.5)(500200 x)200 x21 700 x550 0，顶点坐标为（4.25， 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 5 9112.
12、5） ，即当每件商品降价 4.25 元，即售价为 13.54.259.25 时，可取得最大利润 9112.5 元 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 8 题 第第 3 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（3） 教学目标教学目标 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2将实际问题转化成二次函数问题 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导
13、入新课一、导入新课 复习二次函数 yax2的性质和特点，导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4 m水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？ 教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的 二次函数为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐 标系 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式 教师备课系统教师备课系统多媒体教案多媒体教案 6 如上图，设这条抛物线表示的二次函数为 yax2由抛物线经
14、过点(2，2)，可得 2a22， a 2 1 这条抛物线表示的二次函数为 y 2 1 x2 当水面下降 1m 时，水面的纵坐标为3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐 标为6，6，据此可求出这时的水面宽度是 26 答：水面下降 1m，水面宽度增加 264m 三、巩固练习三、巩固练习 某公园要建造一个圆形的喷水池， 在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A 处 安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为 0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下，如左图所示 根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx22x4 5 （1
15、）喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水 池内? 教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求 函数 yx22x4 5最大值，问题（2）就是求右图 B 点的横坐标 学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 6、7 题 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 7 教案教案 B 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（1） 教
16、学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象 求一元二次方程的根对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模 型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究 二、新课教学二、新课教学 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）
17、与小球的运动时间 t （单位：s）之间的关系式是 h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最 高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时 间 t（单位：s） 然后画出函数 h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第 49 页图） 根据函数图象，可以观察到当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值也就是说， 当小球运动的时间是 3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是 45m 一般地，当 a0（a0） ，抛物线 yax2bxc 的顶点是最低（高）点，也就是 说，当 x a b 2 时，二次函数 yax2bxc 有
18、最小（大）值 a bac 4 4 2 探究 1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而 变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 教师引导学生参照问题 1 的解法，先找出两个变量，然后写出 S 关于 l 的函数解析 式，最后求出使 S 最大的 l 值具体步骤可见教材第 50 页 三、巩固练习三、巩固练习 1已知一个矩形的周长是 100 cm，设它的一边长为 x cm，则它的另一边长为 教师备课系统教师备课系统多媒体教案多媒体教案 8 _cm，若设面积为 s cm2，则 s 与 x 的函数关系式是_，自变量 x 的取值 范围是_当 x 等于_cm
19、时，s 最大，为_ cm2. 2 已知： 正方形 ABCD 的边长为 4， E 是 BC 上任意一点， 且 AE=AF，若 EC=x，请写出AEF 的面积 y 与 x 之间的函数 关系式，并求出 x 为何值时 y 最大 参考参考答案答案： 150 x，s=x(50 x)，0x50，25，625 2y 2 1 x24x，当 x4 时，y 有最大值 8 四、课堂小结四、课堂小结 今天学习了什么，有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 1、4 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（2） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大
20、）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 3根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 教学重点教学重点 1根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 2求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 1探究 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映： 如调整价格， 每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元， 每星期可多卖出
21、 20 件 已 知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式具体 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 9 步骤见教材第 50 页 2巩固练习 重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区 政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P 1 50 (x30) 210 万元，为了响应我 国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品， 而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前 5 年 中，必须
22、每年从专项资金中拿出 25 万元投资修通一条公路，且 5 年修通，公路修通后， 花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万 元可获利润 Q49 50(50 x) 2194 5 (50 x)308 万元 （1）若不进行开发，求 10 年所获利润最大值是多少? （2）若按此规划开发，求 10 年所获利润的最大值是多少? （3）根据（1） （2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法 教师引导学生先自主分析，小组进行讨论在学生分析、讨论过程中，对学生进行 学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数 的模型，借助二次函数的性质来解决
23、这类实际应用题 解： （1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由 P 1 50 (x30) 210 知道，只 需从 50 万元专款中拿出 30 万元投资，每年即可获最大利润 10 万元，则 10 年的最大利 润为 M110 10100 万元 （2）若对该产品开发，在前 5 年中，当 x25 时，每年最大利润是： P 1 50 (2530) 2109.5（万元） 则前 5 年的最大利润为 M29.5 547.5 万元 设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资，则由 Q49 50 (50 x) 194 5 (50 x) 308 知，将余下的(50 x)万元全部用于外地销售的投资才有可能获得最
24、大利润 则后 5 年的利润是 M3 1 50(x30) 210 5(49 50 x 2194 5 x308) 5 5(x20)23500 故当 x20 时，M3取得最大值为 3500 万元 10 年的最大利润为 MM2M33547.5 万元 （3）因为 3547.5100，所以该项目有极大的开发价值 三、课堂小结三、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 四、布置作业四、布置作业 习题 22.3 第 8 题 教师备课系统教师备课系统多媒体教案多媒体教案 10 第第 3 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（3） 教学目标教学目标 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2能够
25、从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2将实际问题转化成二次函数问题 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习二次函数 yax2的性质和特点，导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4 m水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？ 教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的 二次函数为
26、解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐 标系 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式 设这条抛物线表示的二次函数为 yax2由抛物线经过点(2，2)，可得这条抛物 线表示的二次函数为 y 2 1 x2 当水面下降 1m 时，水面宽度就增加 264 m 三、巩固练习三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽 AB1.6 m 时，涵 洞顶点与水面的距离为 2.4 m这时，离开水面 1.5 m 处，涵洞宽 ED 是多少？是否会超 人教版义务教育教材人教版义务教育教材数学九年级上册数学九年级上册 11 过 1 m？ 分析：根据
27、已知条件，要求 ED 的宽，只要求出 FD 的长 度在如右图的直角坐标系中，即只要求出 D 点的横坐标因 为点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点 D 的 纵坐标， 所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点 D 的 横坐标 2让学生完成解答，教师巡视指导 3教师分析存在的问题，书写解答过程 解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线 为 x 轴，建立直角坐标系 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下，所以可 设它的函数关系式为 yax2 (a0) 因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CBAB 2 0.8（m） ，又 OC2.4 m，所以点 B 的坐标是(0.8，2.4) 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人，得2.4a 0.82 所以 a15 4 因此，函数关系式是 y15 4 x2 OC2.4 m，FC1.5 m，OF2.41.50.9（m） 将 y0.9 代入式得 0.915 4 x2 解得 x1 5 6 ，x2 5 6 涵洞宽 ED2 5 6 0.981 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 6、7 题
