1、 1 中考数学复习专题讲座四：探究型问题中考数学复习专题讲座四：探究型问题 一、一、中考中考专题诠释专题诠释 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论， 需要经过推断， 补充并加以证 明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探 究型等四类 二、解题策略与解法精讲二、解题策略与解法精讲 由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题 意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识 一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之 间的因果联系，选择合适的解题
2、途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特 等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特 殊到一般，从而得出规律 2反演推理法（反证法） ，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是 能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出 现的情况做到既不重复也不遗漏， 分门别类加以讨论求解， 将不同结论综合归纳得出正确结 果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或 解决方法，并加以严密的论证 以上所述
3、并不能全面概括此类命题的解题策略， 因而具体操作时， 应更注重数学思想方 法的综合运用 三、三、中考中考考点精讲考点精讲 考点一：动态探索型：考点一：动态探索型： 此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件 例例 1 （自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120 ，AEF 为正三角 形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合 （1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变 化？如果不变，求出这个定值；如果
4、变化，求出最大（或最小）值 考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 810360 分析： （1） 先求证 AB=AC， 进而求证ABC、 ACD 为等边三角形， 得4=60 ， AC=AB 进而求证ABEACF，即可求得 BE=CF； （2）根据ABEACF 可得 SABE=SACF，故根据 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时， 2 边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面 积会最小，又根据 SCEF=S四
5、边形AECFSAEF，则CEF 的面积就会最大 解答： （1）证明：连接 AC，如下图所示， 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120 ， 1+EAC=60 ，3+EAC=60 ， 1=3， BAD=120 ， ABC=60 ， ABC 和ACD 为等边三角形， 4=60 ，AC=AB， 在ABE 和ACF 中， ， ABEACF（ASA） BE=CF； （2）解：四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化 理由：由（1）得ABEACF， 则 SABE=SACF， 故 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值， 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2
6、， S四边形AECF=SABC= BCAH= BC=4， 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形AECFSAEF=4 2= 点评： 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证 ABEACF 是解题的关键，有一定难度 考点二：结论探究型：考点二：结论探究型： 此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目 例例
7、3 （盐城）如图所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点， 连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1 3 （1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1与 E 重合） ，试说明 DD1=AB； （2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE1、AB 之间 的数量关系，并说明理由； （3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量 关系 （不需要证明）
8、考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360 专题： 几何综合题。 分析： （1）由四边形 CADF、CBEG 是正方形，可得 AD=CA，DAC=ABC=90 ，又 由同角的余角相等，求得ADD1=CAB，然后利用 AAS 证得ADD1CAB，根据全 等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AB； （2） 首先过点 C 作 CHAB 于 H， 由 DD1AB， 可得DD1A=CHA=90 ， 由四边形 CADF 是正方形，可得 AD=CA，又由同角的余角相等，求得ADD1=CAH，然后利用 AAS 证 得ADD1CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AH，同理 EE
9、1=BH，则 可得 AB=DD1+EE1 （3）证明方法同（2） ，易得 AB=DD1EE1 解答： （1）证明：四边形 CADF、CBEG 是正方形， AD=CA，DAC=ABC=90 ， DAD1+CAB=90 ， DD1AB， DD1A=ABC=90 ， DAD1+ADD1=90 ， ADD1=CAB， 在ADD1和CAB 中， ， ADD1CAB（AAS） ， DD1=AB； （2）解：AB=DD1+EE1 证明：过点 C 作 CHAB 于 H， DD1AB， DD1A=CHA=90 ， DAD1+ADD1=90 ， 4 四边形 CADF 是正方形， AD=CA，DAC=90 ， DA
10、D1+CAH=90 ， ADD1=CAH， 在ADD1和CAH 中， ， ADD1CAH（AAS） ， DD1=AH； 同理：EE1=BH， AB=AH+BH=DD1+EE1； （3）解：AB=DD1EE1 证明：过点 C 作 CHAB 于 H， DD1AB， DD1A=CHA=90 ， DAD1+ADD1=90 ， 四边形 CADF 是正方形， AD=CA，DAC=90 ， DAD1+CAH=90 ， ADD1=CAH， 在ADD1和CAH 中， ， ADD1CAH（AAS） ， DD1=AH； 同理：EE1=BH， AB=AHBH=DD1EE1 点评： 此题考查了正方形的性质与全等三角形的
11、判定与性质 此题难度适中， 注意数形结 合思想的应用，注意掌握辅助线的作法 5 例例 4 （丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC （1）如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形； （2）如图 2，当点 A 的横坐标为时， 求点 B 的坐标； 将抛物线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=x2， 试判断抛物线 y=x2经过平 移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理 由 考点： 二次函数综合题。81
12、0360 专题： 代数几何综合题。 分析： （1）过点 A 作 ADx 轴于点 D，根据正方形的对角线平分一组对角可得 AOC=45 ，所以AOD=45 ，从而得到AOD 是等腰直角三角形，设点 A 坐标为（a， a） ，然后利用点 A 在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解； （2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE 的长度，然后证明AEO 和OFB 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系，然后利用点 B 在抛物线上，设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解； 过点 C 作 CGBF 于点 G
13、，可以证明AEO 和BGC 全等，根据全等三角形对应边相等 可得 CG=OE，BG=AE，然后求出点 C 的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线 的形状利用待定系数法求出过点 A、 B 的抛物线解析式， 把点 C 的坐标代入所求解析式进行 验证变换后的解析式是否经过点 C，如果经过点 C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式， 根据顶点坐标写出变换过程即可 解答： 解： （1）如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D， 矩形 AOBC 是正方形， AOC=45 ， AOD=90 45 =45 ， AOD 是等腰直角三角形， 设点 A 的坐标为（a，a） （a0） ， 则（a）2=a， 解得
14、a1=1，a2=0（舍去） ， 点 A 的坐标a=1， 故答案为：1； （2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F， 6 当 x= 时，y=（ ）2= ， 即 OE= ，AE= ， AOE+BOF=180 90 =90 ， AOE+EAO=90 ， EAO=BOF， 又AEO=BFO=90 ， AEOOFB， = = ， 设 OF=t，则 BF=2t， t2=2t， 解得：t1=0（舍去） ，t2=2， 点 B（2，4） ； 过点 C 作 CGBF 于点 G， AOE+EAO=90 ，FBO+CBG=90 ，AOE=FBO， EAO=CBG， 在AEO 和BGC
15、中， AEOBGC（AAS） ， CG=OE= ，BG=AE= xc=2 = ，yc=4+ =， 点 C（ ，） ， 设过A （ ， ） 、 B （2， 4） 两点的抛物线解析式为 y=x2+bx+c， 由题意得， 解得， 经过 A、B 两点的抛物线解析式为 y=x2+3x+2， 当 x= 时，y=（ ）2+3 +2=，所以点 C 也在此抛物线上， 故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 y=x2+3x+2=（x ）2+ 7 平移方案： 先将抛物线 y=x2向右平移 个单位，再向上平移个单位得到抛物线 y=（x ）2+ 点评： 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与
16、性质，全 等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用 点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一 考点三：规律探究型：考点三：规律探究型： 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来 探求一般性结论的问题， 解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、 细 致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理 的证明或加以运用. 例例 5 （青海） 如图 （*） ， 四边形 ABCD 是正方形， 点 E 是边 BC 的中点， AEF=90 ， 且 E
17、F 交正方形外角平分线 CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所 提出的问题 （1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现 AE=EF，这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三 角形全等，但ABE 和ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形） ，考虑 到点 E 是边 BC 的中点， 因此可以选取 AB 的中点 M， 连接 EM 后尝试着去证AEMEFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图 1，取 AB 的中点 M，连接 EM AEF=90 FEC+AEB=90 又EAM+AEB=90 EAM=FEC 点 E，M 分别为正方形的边 BC 和 AB
18、的中点 AM=EC 又可知BME 是等腰直角三角形 AME=135 又CF 是正方形外角的平分线 ECF=135 AEMEFC（ASA） AE=EF （2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论 8 （3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是 边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢？若成立请你完成 证明过程给小强看，若不成立请你说明理由 考点： 正方形的性质；全等三角
19、形的判定与性质。810360 专题： 阅读型。 分析： （2）在 AB 上截取 AM=EC，然后证明EAM=FEC，AME=ECF=135 ，再利 用“角边角”证明AEM 和EFC 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明； （3）延长 BA 到 M，使 AM=CE，然后证明BME=45 ，从而得到BME=ECF，再利用 两直线平行，内错角相等证明DAE=BEA，然后得到MAE=CEF，再利用“角边角” 证明MAE 和CEF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证 解答： （2）探究 2，证明：在 AB 上截取 AM=EC，连接 ME， 由（1）知EAM=FEC， AM=EC，AB=BC，
20、BM=BE， BME=45 ， AME=ECF=135 ， AEF=90 ， FEC+AEB=90 ， 又EAM+AEB=90 ， EAM=FEC， 在AEM 和EFC 中， AEMEFC（ASA） ， AE=EF； （3）探究 3：成立， 证明：延长 BA 到 M，使 AM=CE，连接 ME， 9 BM=BE， BME=45 ， BME=ECF， 又ADBE， DAE=BEA， 又MAD=AEF=90 ， DAE+MAD=BEA+AEF， 即MAE=CEF， 在MAE 和CEF 中， MAECEF（ASA） ， AE=EF 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理
21、清解题的关键 是取 AM=EC，然后构造出AEM 与EFC 全等是解题的关键 例例 6 （永州）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4， 3） ，l 为过点（0，2）且与 x 轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点， 过 P 作 PHl，H 为垂足 （1）求二次函数 y=ax2+bx1（a0）的解析式； （2）请直接写出使 y0 的对应的 x 的取值范围； （3）对应当 m=0，m=2 和 m=4 时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想 一个结论，证明对于任意实数 m，此结论成立； （4）试问是否存在实数 m
22、可使POH 为正三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请 说明理由 考点： 二次函数综合题。810360 专题： 压轴题。 10 分析： （1）根据二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3） ，待定 系数法求出 a 和 b 的值，抛物线的解析式即可求出； （2）令 y=ax2+bx1=0，解出 x 的值，进而求出使 y0 的对应的 x 的取值范围； （3）分别求出当 m=0，m=2 和 m=4 时，分别计算|PO|2和|PH|2的值然后观察其规律，再 进行证明； （4）由（3）知 OP=OH，只要 OH=OP 成立，POH 为正三角形，求出|OP|、|OH
23、|含有 m 和 n 的表达式，令两式相等，求出 m 和 n 的值 解答： 解： （1）二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3） ， ， 解得 a= ，b=0， 二次函数的解析式为 y= x21， （2）令 y= x21=0， 解得 x=2 或 x=2， 由图象可知当2x2 时 y0， （3）当 m=0 时，|PO|2=1，|PH|2=1； 当 m=2 时，P 点的坐标为（2，0） ，|PO|2=4，|PH|2=4， 当 m=4 时，P 点的坐标为（4，3） ，|PO|2=25，|PH|2=25， 由此发现|PO|2=|PH|2， 设 P 点坐标为（m，n）
24、，即 n= m21 |OP|=， |PH|2=n2+4n+4=n2+m2， 故对于任意实数 m，|PO|2=|PH|2； （4）由（3）知 OP=PH，只要 OH=OP 成立，POH 为正三角形， 设 P 点坐标为（m，n） ，|OP|=， |OH|=， |OP|=|OH|，即 n2=4，解得 n= 2， 当 n=2 时，n= m21 不符合条件， 故 n=2，m= 2时可使POH 为正三角形 11 点评： 本题主要考查二次函数的综合题， 解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征 和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般 考点四：存在探索型：考点四：存在探索型
25、： 此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目 例例 7 （黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别 与 x 轴、y 轴重合，ABOC，AOC=90 ，BCO=45 ，BC=6，点 C 的坐标为（9， 0） （1）求点 B 的坐标； （2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=2，OD=2BD，求直线 DE 的解析式； （3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的一个动点，是否存在点 P，使以 O、E、P 为顶点的三 角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 一次函数
26、综合题。810360 分析： （1）过点 B 作 BFx 轴于 F，在 RtBCF 中，已知BCO=45 ，BC=6，解直 角三角形求 CF，BF，确定 B 点坐标； （2） 过点 D 作 DGy 轴于点 G， 由平行线的性质得出ODGOBA， 利用相似比求 DG， OG，确定 D 点坐标，由已知得 E 点坐标，利用“两点法”求直线 DE 的解析式； （3）存在由已知的 OE=2，分别以 O、E 为圆心，2 为半径画弧，与直线 DE 相交，或作 线段 OE 的垂直平分线与直线 DE 相交，交点即为所求 解答： 解： （1）过点 B 作 BFx 轴于 F，（1 分） 在 RtBCF 中， BCO
27、=45 ，BC=6， CF=BF=6，（1 分） C 的坐标为（9，0） ， AB=OF=3， 12 点 B 的坐标为（3，6） ；（1 分） （2）过点 D 作 DGy 轴于点 G，（1 分） ABDG， ODGOBA， = ，AB=3，OA=6， DG=2，OG=4，（1 分） D（2，4） ，E（0，2） ， 设直线 DE 解析式为 y=kx+b（k0） ， ，（1 分） 直线 DE 解析式为 y=x+2； （1 分） （3）存在 P1（2，0） 、P2（1，1） 、P3（，2） 、P4（，2+）（3 分） （写对一个点得 1 分，写对两个点或三个点得 2 分） 点评： 本题考查了一次函
28、数的综合运用关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角 形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类 求 P 点坐标 例例 8 （北海）如图，在平面直角坐标系中有 RtABC，A=90 ，AB=AC，A（2，0） 、 B（0，1） 、C（d，2） （1）求 d 的值； （2）将ABC 沿 x 轴的正方向平移，在第一象限内 B、C 两点的对应点 B、C正好落在某 反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线 BC的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 BC 交 y 轴于点 G问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数 图象上的点 P，使得四边形 PGMC
29、是平行四边形？如果存在，请求出点 M 和点 P 的坐标； 如果不存在，请说明理由 13 考点： 反比例函数综合题。810360 专题： 计算题。 分析： （1）过 C 作 CN 垂直于 x 轴，交 x 轴于点 N，由 A、B 及 C 的坐标得出 OA，OB， CN 的长，由CAB=90 ，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形 ACN 中，根据两 锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且 AC=BC， 利用 AAS 得到三角形 ACN 与三角形 AOB 全等， 根据全等三角形的对应边相等可 得出 CN=0A，AN=0B，由 AN+OA 求出 ON 的长
30、，再由 C 在第二象限，可得出 d 的值； （2）由第一问求出的 C 与 B 的横坐标之差为 3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出 C（m，2） ，则 B（m+3，1） ，再设出反比例函数解析式，将 C与 B的坐标代入得到关于 k 与 m 的两方程， 消去 k 得到关于 m 的方程， 求出方程的解得到 m 的值， 即可确定出 k 的值， 得到反比例函数解析式，设直线 BC的解析式为 y=ax+b，将 C与 B的坐标代入，得到关于 a 与 b 的二元一次方程组， 求出方程组的解得到 a 与 b 的值， 即可确定出直线 BC的解析式； （3）存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图象上的点 P，
31、使得四边形 PGMC是平行四边形，理 由为： 设 Q 为 GC的中点， 令第二问求出的直线 BC的解析式中 x=0 求出 y 的值，确定出 G 的坐标，再由 C的坐标，利用线段中点坐标公式求出 Q 的坐标，过点 Q 作直线 l 与 x 轴交 于 M点，与 y= 的图象交于 P点，若四边形 PG MC是平行四边形，则有 PQ=Q M，易知 点 M的横坐标大于 ，点 P的横坐标小于 ，作 PHx 轴于点 H，QKy 轴于点 K，PH 与 QK 交于点 E，作 QFx 轴于点 F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相 等及 PQ=QM，利用 AAS 可得出PEQ 与QFM全等，根据全等三角
32、形的对应边相等， 设 EQ=FM=t，由 Q 的横坐标t 表示出 P的横坐标，代入反比例函数解析式确定出 P的纵 坐标，进而确定出 M的坐标，根据 PHEH=PHQF 表示出 PE 的长，又 PQ=QM，分别 放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于 t 的方程，求出方程的解得到 t 的值，进而确定 出 P与 M的坐标，此时点 P为所求的点 P，点 M为所求的点 M 解答： 解： （1）作 CNx 轴于点 N， A（2，0） 、B（0，1） 、C（d，2） ， OA=2，OB=1，CN=2， CAB=90 ，即CAN+BAO=90 ， 又CAN+ACN=90 ， BAO=ACN， 在 RtCNA
33、 和 RtAOB 中， 14 ， RtCNARtAOB（AAS） ， NC=OA=2，AN=BO=1， NO=NA+AO=3，又点 C 在第二象限， d=3； （2）设反比例函数为 y= （k0） ，点 C和 B在该比例函数图象上， 设 C（m，2） ，则 B（m+3，1） ， 把点 C和 B的坐标分别代入 y= ，得 k=2m；k=m+3， 2m=m+3， 解得：m=3， 则 k=6，反比例函数解析式为 y= ，点 C（3，2） ，B（6，1） ， 设直线 CB的解析式为 y=ax+b（a0） ， 把 C、B两点坐标代入得： ， 解得：； 直线 CB的解析式为 y= x+3； （3）存在 x
34、 轴上的点 M 和反比例函数图象上的点 P，使得四边形 PGMC是平行四边形，理 由为： 设 Q 是 G C的中点，令 y= x+3 中 x=0，得到 y=3， G（0，3） ，又 C（3，2） ， Q（ ， ） ， 15 过点 Q 作直线 l 与 x 轴交于 M点，与 y= 的图象交于 P点， 若四边形 PG MC是平行四边形，则有 PQ=Q M， 易知点 M的横坐标大于 ，点 P的横坐标小于 ， 作 PHx 轴于点 H，QKy 轴于点 K，PH 与 QK 交于点 E，作 QFx 轴于点 F， QFPE， MQF=QPE， 在PEQ 和QFM中， ， PEQQFM（AAS） ， EQ=FM，
35、PQ=QM， 设 EQ=FM=t， 点 P的横坐标 x= t，点 P的纵坐标 y= =，点 M的坐标是（ +t，0） ， PE=PHEH=PHQF= ， 又PQ=QM， 根据勾股定理得：PE2+EQ2=QF2+FM2， （ ）2+t2=（ ）2+t2， 整理得：=5， 解得：t=（经检验，它是分式方程的解） ， t= = ；=5； +t= += ， P（ ，5） ，M（ ，0） ， 则点 P为所求的点 P，点 M为所求的点 M 点评： 此题属于反比例函数综合题， 涉及的知识有： 全等三角形的判定与性质， 勾股定理， 坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题
36、， 要求学生掌握知识要全面 四、四、中考中考真题真题演练演练 1 （广东）如图，直线 y=2x6 与反比例函数 y=的图象交于点 A（4，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说 明理由 16 考点： 反比例函数综合题。810360 专题： 数形结合。 分析： （1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求 k，再把 y=0 代入一次函数解析 式可求 B 点坐标； （2）假设存在，然后设 C 点坐标是（a，0） ，然后利用两点之间的公式可得 =， 借此无理方程， 易得 a=
37、3 或 a=5， 其中 a=3 和 B 点重合，舍去，故 C 点坐标可求 解答： 解： （1）把（4，2）代入反比例函数 y= ，得 k=8， 把 y=0 代入 y=2x6 中，可得 x=3， 故 k=8；B 点坐标是（3，0） ； （2）假设存在，设 C 点坐标是（a，0） ，则 AB=AC， =， 即（4a）2+4=5， 解得 a=5 或 a=3（此点与 B 重合，舍去） 故点 C 的坐标是（5，0） 点评： 本题考查了反比函数的知识， 解题的关键是理解点与函数的关系， 并能灵活使用两 点之间的距离公式 2 （乐山）如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数（x0）的图
38、象交于点 M，过 M 作 MHx 轴于点 H，且 tanAHO=2 （1）求 k 的值； 17 （2）点 N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使得 PM+PN 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 反比例函数综合题。810360 分析： （1）根据直线解析式求 A 点坐标，得 OA 的长度；根据三角函数定义可求 OH 的 长度，得点 M 的横坐标；根据点 M 在直线上可求点 M 的坐标从而可求 K 的值； （2）根据反比例函数解析式可求 N 点坐标；作点 N 关于 x 轴的对称点 N1，连接 MN1 与 x 轴的交点就是满足条件的
39、P 点位置 解答： 解： （1）由 y=2x+2 可知 A（0，2） ，即 OA=2（1 分） tanAHO=2，OH=1（2 分） MHx 轴，点 M 的横坐标为 1 点 M 在直线 y=2x+2 上， 点 M 的纵坐标为 4即 M（1，4） （3 分） 点 M 在 y= 上， k=1 4=4（4 分） （2）存在 点 N（a，1）在反比例函数（x0）上， a=4即点 N 的坐标为（4，1） （5 分） 过点 N 作 N 关于 x 轴的对称点 N1，连接 MN1，交 x 轴于 P（如图所示） 此时 PM+PN 最小（6 分） N 与 N1关于 x 轴的对称，N 点坐标为（4，1） ， N1的
40、坐标为（4，1） （7 分） 设直线 MN1的解析式为 y=kx+b 18 由解得 k= ，b=（9 分） 直线 MN1的解析式为 令 y=0，得 x= P 点坐标为（，0） （10 分） 点评： 此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等 3 （莆田）如图，一次函数 y=k1x+b 的图象过点 A（0，3） ，且与反比例函数（xO） 的图象相交于 B、C 两点 （1）若 B（1，2） ，求 k1k2的值； （2）若 AB=BC，则 k1k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 考点： 反比例函数综合题。810360 专题： 综合题。 分析： （1） 分别利用待定
41、系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式， 然后代入 k1k2进行计算即可得解； （2）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于 x 的一元二次方程，根据 AB=BC 可知 点 C 的横坐标是点 B 的纵坐标的 2 倍，再利用根与系数的关系整理得到关于 k1、k2的关系 式，整理即可得解 解答： 解： （1）A（0，3） ，B（1，2）在一次函数 y=k1x+b 的图象图象上， ， 解得； B（1，2）在反比例函数图象上， =2， 解得 k2=2， 所以，k1k2=（1） 2=2； 19 （2）k1k2=2，是定值 理由如下： 一次函数的图象过点 A（0，3） ， 设一次函数解析
42、式为 y=k1x+3，反比例函数解析式为 y=， k1x+3=， 整理得 k1x2+3xk2=0， x1+x2=，x1x2= AB=BC， 点 C 的横坐标是点 B 的横坐标的 2 倍，不防设 x2=2x1， x1+x2=3x1=，x1x2=2x12=， =（）2， 整理得，k1k2=2，是定值 点评： 本题是对反比例函数的综合考查， 主要利用了待定系数法求函数解析式， 根与系数 的关系， （2）中根据 AB=BC，得到点 B、C 的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与 系数的关系是解题的关键 4 （长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A （2
43、，0） 、C（1，2） ，反比例函数 y= （k0）的图象经过点 B （1）求 k 的值 （2） 将平行四边形 OABC 沿 x 轴翻折， 点 C 落在点 C处， 判断点 C是否在反比例函数 y= （k0）的图象上，请通过计算说明理由 20 考点： 反比例函数综合题。810360 分析： （1）根据平行四边形的性质可得 AO=BC，再根据 A、C 点坐标可以算出 B 点坐 标，再把 B 点坐标代入反比例函数解析式中即可求出 k 的值； （2）根据翻折方法可知 C 与 C点关于 x 轴对称，故 C点坐标是（1，2） ，把 C点坐标 （1，2）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点 C是否在反比例
44、函数 y= 的图象 上 解答： 解： （1）四边形 OABC 是平行四边形， BC=AO， A（2，0） ， OA=2， BC=2， C（1，2） ， CD=1， BD=BCCD=21=1， B（1，2） ， 反比例函数 y= （k0）的图象经过点 B， k=1 2=2； （2）OABC 沿 x 轴翻折，点 C 落在点 C处， C点坐标是（1，2） ， k=2， 反比例函数解析式为 y= ， 把 C点坐标（1，2）代入函数解析式能使解析式左右相等， 故点 C在反比例函数 y= 的图象上 点评： 此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系， 以及平行四边形 的性质，关键是熟练把握凡
45、是反比例函数图象经过的点都能满足解析式 21 7 （宜宾）如图，抛物线 y=x22x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上 （1）求抛物线顶点 A 的坐标； （2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧） ，试判断ABD 的形状； （3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题。810360 专题： 压轴题；分类讨论。 分析： （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点 A 的横坐标，然后 代入直线 l 的解析式中即可求出
46、点 A 的坐标 （2）由 A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 B 的坐标则 AB、AD、BD 三边 的长可得，然后根据边长确定三角形的形状 （3）若以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分AB 为对角线、AD 为对 角线两种情况讨论，即ADPB、ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列 方程求出 P 点的坐标 解答： 解： （1）顶点 A 的横坐标为 x=1，且顶点 A 在 y=x5 上， 当 x=1 时，y=15=4， A（1，4） （2）ABD 是直角三角形 将 A（1，4）代入 y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3， y=x22x3，B（0，3） 当
47、 y=0 时，x22x3=0，x1=1，x2=3 C（1，0） ，D（3，0） ， BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20， BD2+AB2=AD2， ABD=90 ，即ABD 是直角三角形 （3）存在 由题意知：直线 y=x5 交 y 轴于点 A（0，5） ，交 x 轴于点 F（5，0） OE=OF=5，又OB=OD=3 22 OEF 与OBD 都是等腰直角三角形 BDl，即 PABD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图， 过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线并交于点 C 设 P（x1，x15） ，则 G
48、（1，x15） 则 PC=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1| PA=BD=3 由勾股定理得： （1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2 或 4 P（2，7） ，P（4，1） 存在点 P（2，7）或 P（4，1）使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形 点评： 题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综 合性较强； （3）题应注意分类讨论，以免漏解 8 （温州）如图，经过原点的抛物线 y=x2+2mx（m0）与 x 轴的另一个交点为 A过点 P（1，m）作直线 PMx 轴于点 M，交抛物线于点 B记点 B 关于抛物线对称轴的对称点 为 C（B、C 不重合） 连接 CB，CP （1）当 m=3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长； （2）当 m1 时，连接 CA，问 m 为何值时 CACP？ （3）过点 P 作 PEPC 且 PE=PC，问是否存在 m，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求出 所有满足要求的 m 的值，并定出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由 23 考点： 二次函数综合题。810360 分析： （1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令 y=0 解方程，得到的非 0 解即为和 x 轴交 点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出 BC 的长；
