1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 11：几何三大变换之旋转探讨：几何三大变换之旋转探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、 面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、 旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后 图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、 后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度 360 /n(n 为大于 1 的正整数)后，与初始的图
2、形重合， 这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果 它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心， 这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转 180 度后能与自身重 合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换： （1）中心对称和中心对称图形； （2） 构造旋转图形； （3）有关点的旋转； （4
3、）有关直线（线段）的旋转； （5）有关等腰（边）三角形的旋转； （6）有关直角三角形的旋转； （7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转； （8）有关正方形的旋转； （9） 有关其它图形的旋转。 一、一、中心对称和中心对称图形中心对称和中心对称图形： 典型例题：典型例题： 例例 1. （天津（天津市市 3 分）分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】中心对称图形。 【分析】【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D 都不
4、符合中心对称的定 义。故选 B。 （D） （C） （B） （A） 2 例例 2. （上海市上海市 4 分）分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】 A 等腰梯形 B 平行四边形 C 正五边形 D 等腰三角形 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】中心对称图形。 【分析】【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，等 腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形故选 B。 例例 3. （广（广东深圳东深圳 3 分）分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】中心对称
5、和轴对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图 形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此， A既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。 故选 A。 例例 4. （福建（福建宁德宁德 4 分）分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】中心对称图形。 【分析】【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180
6、 度后与原图重合。因此，符 合条件的只有 A。故选 A。 例例 5. （湖北随州（湖北随州 4 分）分）下列图形：等腰梯形，菱形，函数 1 y= x 的图象，函数 y=kx+b(k0)的图 象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】 3 A B. C. D. 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】轴对称图形和中心对称图形。 【分析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图 形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此， 等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误； 菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；
7、 函数 1 y= x 图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确； 函数 y=kx+b（k0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有。故选 D。 例例 6. （山东德州（山东德州 4 分）分）在四边形 ABCD 中，AB=CD，要使四边形 ABCD 是中心对称图形，只需添加一 个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况） 【答案】【答案】AD=BC（答案不唯一） 。 【考点】【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。 【分析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出
8、 此四边形是中心对称图形： AB=CD，当 AD=BC 时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 当 ABCD 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 当B+C=180 或A+D=180 时，四边形 ABCD 是平行四边形。 故此时是中心对称图形。 故答案为：AD=BC 或 ABCD 或B+C=180 或A+D=180 等（答案不唯一） 。 例例 7. （四川宜宾（四川宜宾 3 分）分）如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点 P 旋转 180 得到DEF，则点 P 的坐 标为 【答案】【答案】 （1，1） 。 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。 4 【分析
9、】【分析】将ABC 绕点 P 旋转 180 得到DEF， ABC 和DEF 关于点 P 中心对称。 连接 AD，CF，二者交点即为点 P。 由图知，P（1，1） 。 或由 A（0，1） ，D（2，3） ，根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点 P 的坐标为 （ 021 3 22 ，） ，即（1，1） 。 练习题：练习题： 1. （重庆市重庆市 4 分）分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】 A B C D 2.（广东珠海（广东珠海 3 分）分）下列图形中不是中心对称图形的是【 】 A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形 3. （江苏盐城（江苏盐城 3 分）分）下列图形中，既是轴对称
10、图形又是中心对称图形的是【 】 4.（四川（四川达州达州 3 分）分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】 5.（河南省河南省 3 分）分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 【 】 A B C D 6.（黑龙江大庆（黑龙江大庆 3 分）分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】 5 A.y2x B. 2 y x C2yx2 D.y2x 7.（云南曲靖（云南曲靖 3 分）分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校 2 公里，那么他们两 家相距 公里； 二、构造旋转图形：二、构造旋转图形： 典型例题：典型例题： 例例 1. （
11、浙江丽水、金华（浙江丽水、金华 3 分）分）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影 部分构成中心对称图形该小正方形的序号是【 】 A B C D 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】中心对称图形。 【分析】【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度 后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑时，所形成的图形关于点 A 中心 对称。故选 B。 例例 2. （福建三明（福建三明 8 分）分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，1） ，B（3，3） ， C（1，3）. 画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标；
12、（4 分） 画出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2，并写出点 A2的坐标.（4 分） 【答案】【答案】解：如图所示，A1（2，1） 。 如图所示，A2（2，1） 。 6 【考点】【考点】轴对称和中心对称作图。 【分析】【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A2的坐标。 例例 3.（海南省（海南省 8 分）分）如图，在正方形网络中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为 （2，4） 、 （2，0） 、 （4，1） ，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1. （2）平移ABC，使点 A 移动到点 A2（0，
13、2） ，画出平移后的A2B2C2并写出点 B2、C2的坐标. （3） 在ABC、 A1B1C1、 A2B2C2中， A2B2C2与 成中心对称， 其对称中心的坐标为 . 【答案】【答案】解： （1）ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1如图所示： （2）平移后的A2B2C2如图所示： 7 点 B2、C2的坐标分别为（0，2） ， （2，1） 。 （3）A1B1C1； （1，1） 。 【考点】【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换） ，中心对称和平移 的性质。 【分析】【分析】 （1）根据中心对称的性质，作出 A、B、C 三点关于原点的对称 点 A1、B1、C1，连接即可。 （2）根据
14、平移的性质，点 A（2，4）A2（0，2） ，横坐标加 2，纵坐标减 2，所以将 B（2，0） 、C（4，1）横坐标加 2，纵坐标减 2 得到 B2（0，2） 、C2（2，1） ，连接即可。 （3）如图所示。 例例 4. （江苏泰州（江苏泰州 10 分）分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点 A、B、 C 在小正方形的顶点上，将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A1B1C1，然后将 A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 得到A1B2C2 （1）在网格中画出A1B1C1和A1B2C2； （2）计算线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过
15、区域的面积（重叠部分不重复计算） 【答案】【答案】解： （1）如图所示： 8 （2） 图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网 格， 22 AC 222 2。 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是 以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：4 2=8。 再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底， 以 2 为高的平行四边形的面积：4 2=6。 当A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 到A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以 A1为圆心以 以2 2为半径， 圆心角为 90 的扇形的面积， 重叠部分是以 A1为圆心， 以2 2为半径， 圆心角为 45 的
16、扇形的面积，去掉重叠部分，面积为： 2 452 2 = 360 线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积=86=14+。 【考点】【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面 积的计算。 【分析】【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。 （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例例 5.（江苏常州（江苏常州 6 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、B （3，0） 、C（2，1） 、D（4，3） 、E（6，5） 、F（4，7）
17、 。按下列要求画图：以点 O 为位似中心，将ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A1B1C1，并解决下列问题： （1）顶点 A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ； （2）请你利用旋转、平移两种变换，使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2，且A2B2C2恰与DEF 拼接 成一个平行四边形（非正方形） 。写出符合要求的变换过程。 9 【答案】【答案】解：作图如下： （1） （2，0） ， （6，0） ， （4，2） 。 （2）符合要求的变换有两种情况： 情况 1：如图 1，变换过程如下： 将A2B2C2向右平移 12 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 B
18、1为中心顺时针旋转 900。 情况 2：如图 2，变换过程如下： 将A2B2C2向右平移 8 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 A1为中心顺时针旋转 900。 【考点】【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。 10 【分析】【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：先确定图形的位似中心；利用 相似图形的比例关系作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意有两种情况，图 形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。 （2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移 的方向和距离，先确定一组对应点；
19、确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中 所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。 作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。 例例 6. （福建漳州（福建漳州 8 分）分）利用对称性可设计出美丽的图案在边长为 1 的方格纸中,有如图所示的四边 形(顶点都在格点上) (1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕 O 点按顺时针方 向旋转 90o后的图形； (2)完成上述设计后，整个 图案的面积等于_ 【答案】【答案】解： （1）作图如图所示： 先作出关于直线 l 的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕 O
20、点按顺时针方向 旋转 90 后的图形。 （2）20。 【考点】【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。 【分析】【分析】 （1）根据图形对称的性质先作出关于直线 l 的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕 0 点 11 按顺时针方向旋转 90 后的图形即可。 （2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形 与原图形全等即可得出结论。 边长为 1 的方格纸中一个方格的面积是 1，原图形的面积为 5。 整个图案的面积=4 5=20。 例例 7. （福建福州（福建福州 7 分）分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为 1 个单位长度的正方形 画出将 R
21、tABC 向右平移 5 个单位长度后的 RtA1B1C1； 再将 RtA1B1C1绕点 C1顺时针旋转 90 ，画出旋转后的 RtA2B2C1，并求出旋转过程中线段 A1C1所扫过的面积(结果保留 ) 【答案】【答案】解： 如图所示； 如图所示； 在旋转过程中，线段 A1C1所扫过的面积等于904 2 360 4。 【考点】【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。 【分析】【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段 A1C1所扫过的面积等于以 点 C1为圆心，以 A1C1为半径，圆心角为 90 度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。 例例 8. （
22、四川（四川南充南充 3 分）分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2.则 AC 长是 cm. 【答案】【答案】43。 【考点】【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。 12 【分析】【分析】如图，将ADC 旋转至ABE 处，则AEC 的面积和四边形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，, 这时三角形AEC 为等腰直角三角形，作边 EC 上的高 AF，则 AF= 1 2 EC=FC, SAEC= 1 2 AF EC=AF2=24 。AF2=24。 AC2=2AF2=48 AC=43。 练习题：练习题： 1. （湖南
23、张家界（湖南张家界 6 分）分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操 作：先将格点ABC 向右平移 4 个单位得到A1B1C1，再将A1B1C1绕点 C1点旋转 180 得到A2B2C2 2.（贵州六盘水（贵州六盘水 10 分）分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点均 在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（1，1） （1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形 RtA1B1C1，并写出 A1的坐标； 13 （2）将
24、 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 后得到 RtA2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算 RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 3. （吉林省（吉林省 6 分）分） 如图所示， 在 7 6 的正方形网格中， 选取 14 个格点， 以其中三个格点为顶点一画出ABC, 请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1） 图中所画的三角形与ABC 组成的图形是轴对称图形。 （2） 图中所画的三角形与ABC 组成的图形是中心对称图形。 （3） 图中所画的三角形与ABC 的面积相等，但不全等。 C BA C BA C BA C BA 4.（浙江绍兴
25、（浙江绍兴 8 分）分）分别按下列要求解答： （1）在图 1 中作出O 关于直线 l 成轴对称的图形； （2）在图 2 中作出ABC 关于点 P 成中心对称的图形 5.（辽宁抚顺（辽宁抚顺 10 分）分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 与DEF 关于点 O 成中心对称，ABC 与DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题 图 图 图 14 (1)在图中画出点 O 的位置 (2)将ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到A1B1C1，请画出A1B1C1； (3)在网格中画出格点 M，使 A1M 平分B1A1C1. 6.（辽宁阜新（辽宁
26、阜新 10 分）分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格，直角梯形 ABEF 的顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： （1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形 ABEF 构成一个等腰梯形 ABCD； （2）将等腰梯形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 ，画出相应的图形 A1B1CD1； （3）求点 A 旋转到点 A1时，点 A 所经过的路线长 （结果保留 ） 7. （黑龙江省黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西鸡西 6 分）分）如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度 的小正方形 （1）将ABC 向右平移 3 个单位长度，画出平移后
27、的A1B1C1 （2）将ABC 绕点 O 旋转 180 ，画出旋转后的A2B2C2 （3）画出一条直线将AC1A2的面积分成相等的两部分 15 8.（广东台山（广东台山 10 分）分）如图，在 5 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下 列要求画出图形。 （1） 从点 A 出发的一条线段 AB， 使它的另一个端点落在格点 （即小方形的顶点） 上， 且长度为22； （2）以（1）中的 AB 为边的一个等腰三角形 ABC，使点 C 在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）以（1）中的 AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点 上，各边长
28、都是无理数。 9.（湖北孝感（湖北孝感 8 分分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你认真观察图（1）中的三个网格 中阴影部分构成的图案，解答下列问题： 图（1） 图（2） （1）这三个图案都具有以下共同特征：都是_对称图形，都不是_对称图形. （4 分） （2）请在图（2）中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所 给出的图案相同. （4 分） 10. （四川四川巴中巴中 8 分）分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是 l，ABC 与ABC成中心对 称。 16 (1)画出对称中心 O； (2)画出将ABC沿直线 MN 向上平移 5 格得
29、到的ABC： (3)要使ABC与CCC重合，则ABC绕点C沿顺时针方向旋转，至少旋转多少度?(直接写出 答案) 11.（山东烟台（山东烟台 4 分）分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则 阴影部分的面积是 . 三、有关点的旋转：三、有关点的旋转： 典型例题：典型例题： 例例 1. （广东梅州（广东梅州 7 分）分）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2） 、B（1，3） AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 后得到A1OB1 （直接填写答案） （1）点 A 关于点 O 中心对称的点的坐
30、标为 ； （2）点 A1的坐标为 ； （3）在旋转过程中，点 B 经过的路径为弧 BB1，那么弧 BB1的长为 【答案】【答案】解：（1）（3，2）。 17 （2） （2，3）。 （3） 10 2 。 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。 【分析】【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。 （2）根据平面直角坐标系写出即可。 （3）先利用勾股定理求出 OB 的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解： 根据勾股定理，得 22 OB1 +3 = 10，弧 BB1的长= 90010 = 1802 。 例例 2.
31、 （黑龙江大庆（黑龙江大庆 9 分）分）在直角坐标系中，C(2，3)，C(4，3)， C(2,1)，D(4，1)，A(0，a)，B(a， O)( a0). （1）结合坐标系用坐标填空 点 C 与 C关于点 对称; 点 C 与 C关于点 对称; 点 C 与 D 关于点 对称 （2）设点 C 关于点(4，2)的对称点是点 P，若PAB 的面积等于 5，求a值 18 例例 3. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）如图，A(3，1)，B(1，3)将AOB 绕点 O 旋转 l500得到AOB， ，则 此时点 A 的对应点 A的坐标为【 】 A(3，l) B(2，0) C(l，3)或（2，0) D(
32、3，1)或(2，0) 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。 【分析】【分析】如图，过点 A 作 AC轴于点 C, 过点 B 作 BD轴于点 D。 由锐角三角函数定义， AC3 tan AOC OC3 , 0 AOC30。 同理， 0 BOD30。 0 AOB30。 若将AOB 绕点 O 顺时针旋转 l500，则点 A与点 B 关于坐标原点对称， A(l，3)。 若将AOB 绕点 O 逆时针旋转 l500，则点 A在轴反方向上， A(2，0)。 19 综 上 所 述 ， 点 A 的 对 应 点 A 的 坐 标 为 (
33、 l ， 3) 或 ( 2 ， 0) 。 故 选 C 。 练习题：练习题： 1. （河南省河南省 3 分）分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点 O 旋 转 180 到乙位置，再将它向下平移 2 个单位长到丙位置，则小花顶点 A 在丙位置中的对应点 A的坐标为 【 】 A、 （3，1） B、 （1，3） C、 （3，1） D、 （1，1） 2. （山东泰安（山东泰安 3 分）分） 若点 A 的坐标为 （6， 3） O 为坐标原点， 将 OA 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 得到 OA， 则点 A的坐标是【 】 A、 （3，6） B、 （3，6） C、 （3
34、，6） D、 （3，6） 3. （辽宁盘锦（辽宁盘锦 10 分）分）如图，风车的支杆 OE 垂直于桌面，风车中心 O 到桌面的距离 OE 为 25cm，小小风 20 车在风吹动下绕着中心 O 不停地转动，转动过程中，叶片端点 A、B、C、D 在同一圆 O 上，已知O 的 半径为 10cm. (1)风车在转动过程中，当AOE45 时，求点 A 到桌面的距离(结果保留根号) (2)在风车转动一周的过程中，求点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm 所经过的路径长(结果保留 ) 备用图 1 备用图 2 4.（四川眉山（四川眉山 11 分）分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1） ，B（4，4）
35、 ，将点 B 绕点 A 顺时针方向 旋转 90 得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； （2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明 d2=d11； （3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小 值 5.（辽宁葫芦岛（辽宁葫芦岛 10 分）分）如图，有一直径 MN4 的半圆形纸片，其圆心为点 P，从初始位置开始，在无 滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置，其中，位置中的 MN 平行于数轴，且半P 与数轴相切于原点 O；位置和位置中的 M
36、N 垂直于数轴；位置中的 MN 在数轴上；位置中的点 N 到数轴的距离为 3， 且半P 与数轴相切于点 A. 解答下列问题： (1)位置中的 MN 与数轴之间的距离为_； 位置中的半P 与数轴的位置关系是_； (2)求位置中的圆心 P 在数轴上表示的数； (3)纸片半P 从位置翻滚到位置时，求点 N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； (4)求 OA 的长 (2)，(3)，(4)中的结果保留 21 四、有关直线（线段）的旋转：四、有关直线（线段）的旋转： 典型例题：典型例题： 例例 1. （安徽省（安徽省 8 分）分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（
37、顶点 是网格线的交点）和点 A1. （1）画出一个格点A1B1C1，并使它与ABC 全等且 A 与 A1是对应点； （2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的. 【答案】【答案】解： （1）答案不唯一，如图，平移即可： (2)作图如上， AB=10，AD=10，BD=2 5，AB2+AD2=BD2。 22 ABD 是直角三角形。 AD 可以看作由 AB 绕 A 点逆时针旋转 90 得到的。 【考点】【考点】作图（平移变换、轴对称变换） ，全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。 【分析】【分析】 （1）利用ABC 三
38、边长度，画出以 A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出 A1B1C1。 （2）利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D，得出 D 点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与 AB 的位置关系。 例例 2.（湖北武汉湖北武汉 7 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1，点 A 的对应点为 A1，点 B1的坐标为(0，2)，在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90 得到线段 A2B2，点 A1的对应点为点 A2 (1)画出线段 A1B1、A2B2； (2)直接写出在这两次变换过程
39、中，点 A 经过 A1到达 A2的路径长 【答案】【答案】解： （1）画出线段 A1B1、A2B2如图： （2）在这两次变换过程中，点 A 经过 A1到达 A2的路径长为 5 17+ 2 。 【考点】【考点】网格问题，图形的平移和旋转变换，勾股定理，扇形弧长公式。 23 【分析】【分析】 （1）根据图形的平移和旋转变换性质作出图形。 （2）如图，点 A 到点 A1的平移变换中， 2222 11 A AA C +A C4 +1 17， 点 A2到点 A3的平移变换中， 22 1 OA3 +45， 1 12 90OA9055 A A 1808 1 02 。 在这两次变换过程中，点 A 经过 A1到
40、达 A2的路径长为 5 17+ 2 。 例例 3. （四川（四川泸州泸州 2 分）分）将如图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是【 】 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】点、线、面的关系，旋转的性质。 【分析】【分析】将如图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周得到圆台。故选 D。 【注：本题已不是平面内的旋转，是空间内的旋转】 例例 4. （黑龙江大庆（黑龙江大庆 3 分）分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(3，1)，将 OA 绕原点按 逆时针方向旋转 30 得 OB，则点 B 的坐标为【 】 A.(1，3) B.( 1，3) C.(0，2) D.(2，0
41、) 【答案】【答案】 A。 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】如图，作 ACx 轴于 C 点，BDy 轴于 D 点， 点 A 的坐标为（3，1） ，AC=1，OC=3。 OA= 2 2 3+1 =2。AOC=30 。 OA 绕原点按逆时针方向旋转 30 得 OB， AOB=30 ，OA=OB。BOD=30 。 RtOACRtOBD（AAS） 。 24 DB=AC=1，OD=OC=3。B 点坐标为（1，3） 。故选 A。 例例 5. （陕西省（陕西省 3 分）分）请从以下两个小题中任选一个 作答，若多选，则按所选的第一题
42、计分 A在平面内，将长度为 4 的线段 AB 绕它的中点 M，按逆时针方向旋转 30 ，则线段 AB 扫过的面积为 B用科学计算器计算：7sin69 （精确到 0.01） 【答案】【答案】 2 3 ；2.47。 【考点】【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。 【分析】【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可： 由题意可得，AM=MB= 1 2 AB=2。 线段 AB 扫过的面积为扇形 MCB 和扇形 MAB 的面积和， 线段 AB 扫过的面积= 2 302 2 2 3603 。 B、用计算器计算即可：7sin692.47。 例例 6. （江苏（江苏镇江镇江 6 分）分）在平面直角坐标
43、系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，2） ，直线 OP 经过原点，且位于一、 三象限，AOP=450（如图 1） 。设点 A 关于直线 OP 的对称点为 B。 （1）写出点 B 的坐标 ； （2）过原点 O 的直线 l 从直线 OP 的位置开始，绕原点 O 顺时针旋转。 当直线 l 顺时针旋转 100到直线 l1的位置时（如图 1） ，点 A 关于直线 l1的对称点为 C，则BOC 的 度数是 ，线段 OC 的长为 ； 当直线 l 顺时针旋转 550到直线 l2的位置时（如图 2） ，点 A 关于直线 l2的对称点为 D，则BOD 的度数是 ； 直线 l 顺时针旋转 n0（0n900） ，在
44、这个运动过程中，点 A 关于直线 l 的对称点所经过的路径长为 （用含 n 的代数式表示） 。 25 【答案】【答案】解： （1） （2，0） 。 （2）200，2；1100； n 45 。 例例 7. （四川（四川泸州泸州 7 分）分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮 的示意图，其半径是 20m，它匀速旋转一周需要 24 分钟，最底部点 B 离地面 1m。小明乘坐的车厢经过点 B 时开始计时。 26 (1)计时 4 分钟后小明离地面的高度是多少？ (2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m 以上的空中？ 【答案】【答案】解： （1）设
45、 4 分钟后小明到达点 C，过点 C 作 CDOB 于点 D，DA 即 为小明离地的高度， COD= 0 0 360 4=60 24 ，OD= 1 2 OC= 1 2 20=10。 DA=20101=11（m） 。 答：计时 4 分钟后小明离地面的高度是 11m。 （2）设当旋转到 E 处时，小明离地面高度为31m。 作弦 EFAO 交 AO 的延长线于点 H，连接 OE，OF，此时 EF 离地面高度为 HA。 HA=31，OH=31120=10。OH= 1 2 OE。HOE=60 。FOE=120 。 每分钟旋转的角度为： 0 0 360 =15 24 ， 由点 E 旋转到 F 所用的时间为
46、： 0 0 120 =8 15 （分钟） 。 答：在旋转一周的过程中，小明将有 8 分钟的时间连续保持在离地面 31m 以上的空中。 【考点】【考点】圆的综合题，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】（1） 设 4 分钟后小明到达点 C， 过点 C 作 CDOB 于点 D， 根据旋转的时间可以求得旋转角COD， 利用三角函数即可求得 OD 的长，从而求解。 （2）设当旋转到 E 处时，小明离地面高度为31m。作弦 EFAO 交 AO 的延长线于点 H，连接 OE， OF，此时 EF 离地面高度为 HA，在直角OEH 中，利用三角函数求得HOE 的度数，则EOF 的度
47、数即 可求得，则旋转的时间即可求得。 例例 8. （辽宁营口辽宁营口 14 分）分）在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy 2 经过点 A3(，0)、B(0，3)、 C（1，0）三点 (1) 求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； (2) 如图 1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点 D 顺时针旋转 60,与直线xy交于点 N在直线 DN 上是否存在点 M，使得MON= 75若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； 27 (3) 点 P、Q 分别是抛物线cbxaxy 2 和直线xy上的点，当四边形 OBPQ 是直角梯形时， 求出点 Q 的坐标 【答案】【答案】解： （1）由题意把 A(3，0)、B(0，
