人教版九年级数学上册教案:21.2.3 公式法.doc

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资源描述

1、 1 2 21 1.2.3 .2.3 公式法公式法 教学内容教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程; 2公式法的概念; 3利用公式法解一元二次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程, 了解公式法的概念, 会熟练应用公式法解一元 二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入 ax2+bx+c=0(a0)的求根公 式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程 重难点关键重难点关键 1重点:求根公式的推导和公式法的应用 2难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 (学生活动)用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0

2、(2)4x2-3x=52 (老师点评) (1)移项,得:6x2-7x=-1 二次项系数化为 1,得:x2- 7 6 x=- 1 6 配方,得:x2- 7 6 x+( 7 12 )2=- 1 6 +( 7 12 )2 (x- 7 12 )2= 25 144 x- 7 12 = 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 = 1 6 (2)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评) (1)移项; (2)化二次项系数为 1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n 的形式;

3、 (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元 二次方程无解 二、探索新知二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0(a0) ,你能否用上面配方法的步骤求 出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题 问题问题:已知 ax2+bx+c=0(a0)且 b2-4ac0,试推导它的两个根 x1= 2 4 2 bbac a , 2 x2= 2 4 2 bbac a 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字, 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx=-c 二次项系数化为 1,得 x2+ b

4、a x=- c a 配方,得:x2+ b a x+( 2 b a )2=- c a +( 2 b a )2 即(x+ 2 b a )2= 2 2 4 4 bac a b2-4ac0 且 4a20 2 2 4 4 bac a 0 直接开平方,得:x+ 2 b a = 2 4 2 bac a 即 x= 2 4 2 bbac a x1= 2 4 2 bbac a ,x2= 2 4 2 bbac a 由上可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数 a、b、c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当 b-4ac0 时, 将 a、b、

5、c 代入式子 x= 2 4 2 bbac a 就得到方程的根 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 例例 1用公式法解下列方程 (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3) (x-2) (3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 解: (1)a=2,b=-4,c=-1 b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240 x= ( 4)2442 626 2 242 3 x1= 26 2 ,x2= 26 2 (2

6、)将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3,b=-5,c=-2 b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490 x= ( 5)4957 2 36 x1=2,x2=- 1 3 (3)将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 b2-4ac=(-11)2-439=130 x= ( 11)131113 2 36 x1= 1113 6 ,x2=11 13 6 (3)a=4,b=-3,c=1 b2-4ac=(-3)2-441=-70 因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P42 练习 1 (1) 、 (3) 、 (5) 四

7、、应用拓展四、应用拓展 例例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程(m+1) 2 2m x +(m-2)x-1=0 提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程 (2)若使方程为一元二次方程 m 是否存在?若存在,请求出 你能解决这个问题吗? 分析分析:能 (1)要使它为一元二次方程,必须满足 m2+1=2,同时还要满足(m+1)0 (2)要使它为一元一次方程,必须满足: 2 1 1 (1)(2)0 m mm 或 2 10 20 m m 或 10 20 m m 解:解: (1)存在根据题意,得:m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时,m+1=1

8、+1=20 当 m=-1 时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) 当 m=1 时,方程为 2x2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 4 b2-4ac=(-1)2-42(-1)=1+8=9 x= ( 1)91 3 2 24 x1=,x2=- 1 2 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根 x1=1,x2=- 1 2 (2)存在根据题意,得:m2+1=1,m2=0,m=0 因为当 m=0 时, (m+1)+(m-2)=2m-1=-10 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0,m 不存在 当 m+1=0,即 m=-1 时,m-2=-30 所以 m=-1 也满足题意 当 m=0 时,一

9、元一次方程是 x-2x-1=0, 解得:x=-1 当 m=-1 时,一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此,当 m=0 或-1 时,该方程是一元一次方程,并且当 m=0 时,其根为 x=-1; 当 m=-1 时,其一元一次方程的根为 x=- 1 3 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业六、布置作业 1教材复习巩固 4 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3,得到( ) Ax= 36 2 Bx=

10、36 2 Cx= 32 3 2 Dx= 32 3 2 2方程2x2+43x+62=0 的根是( ) Ax1=2,x2=3 Bx1=6,x2=2 5 Cx1=22,x2=2 Dx1=x2=-6 3 (m2-n2) (m2-n2-2)-8=0,则 m2-n2的值是( ) A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是_,条件是_ 2当 x=_时,代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0,则 m 的值是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1用公式法解

11、关于 x 的方程:x2-2ax-b2+a2=0 2 设 x1, x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的两根, (1) 试推导 x1+x2=- b a , x1 x2= c a ; (2)求代数式 a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值 3某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时,那么这户居 民这个月只交 10 元电费,如果超过 A 千瓦时,那么这个月除了交 10元用电费外超过部分 还要按每千瓦时 100 A 元收费 (1)若某户 2 月份用电 90 千瓦时,超过规定 A 千瓦时,则超过部分电费为多少元? (用 A 表示) (2)下

12、表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元) 3 80 25 4 45 10 根据上表数据,求电厂规定的 A 值为多少? 答案答案: 一、1D 2D 3C 二、1x= 2 4 2 bbac a ,b2-4ac0 24 3-3 三、1x= 222 2444 2 aaba =ab 2 (1)x1、x2是 ax2+bx+c=0(a0)的两根, x1= 2 4 2 bbac a ,x2= 2 4 2 bbac a x1+x2= 22 44 2 bbacbbac a =- b a , x1 x2= 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a = c a (2)x1,x2是 ax2+bx+c=0 的两根,ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0 6 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c) =0 3 (1)超过部分电费=(90-A) 100 A =- 1 100 A2+ 9 10 A (2)依题意,得: (80-A) 100 A =15,A1=30(舍去) ,A2=50

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