1、 - 1 - 圆的有关概念与性质 课前热身课前热身 1.如图，AB 是O 的弦，ODAB 于 D 交O 于 E，则下列说法错误 的是（ ） AADBD BACBAOE CAE BE DODDE 2.如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD6cm，则直径 AB 的 长是（ ） A2 3cm B3 2cm C4 2cm D4 3cm 3如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半径为（ ） A5 B4 C3 D2 4如图，O 的半径为 5，弦 AB8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A2 B3 C
2、4 D5 5 5如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30,O 的半径为cm3，则弦 CD 的长为（ ） - 2 - A 3 cm 2 B3cm C2 3cm D9cm 【参考答案】【参考答案】 1.1. D D 2.2. D D 3.3. A A 4.4. A A 5.5. B B 考点聚焦考点聚焦 1圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一 2掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周 角定理及推论， 这也是本书的重点， 其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是 本节难点 3理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆
3、和三角形、四边形等结合的题型也是中 考热点 备考兵法备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径） 、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理” 来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者 之间的关系所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线 段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助 线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理 结合起来常以计算题出现. 考点链接考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2.
4、 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. - 3 - 3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一 组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90所对的弦是 . 典例精析典例精析 例例 1 1（山西太原）（山西太原）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，若以点 C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 A
5、C 的长等于（ ） A5 3 B5 C5 2 D6 【答案】A 【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD，C90，D 是 AB 中点，AB10，CD 1 2 AB5，BC5，根据勾股定理得 AC5 3，故选 A 例例 2 2（黑龙江哈尔滨）（黑龙江哈尔滨）如图，O 的直径 CD10，弦 AB8，ABCD，垂足为 M，则 DM 的长 为 【答案】8 【解析】主要利用垂径定理求解.连接 OA，根据垂径定理可知 AM4，又 OA5，则根据勾 股定理可得：OM3。又 OD5，则 DM8. 例例 3 3（贵州贵阳）（贵州贵阳）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上， 且 AB=13，BC=5
6、 （1）求 sinBAC 的值； B C D A - 4 - （2）如果 ODAC，垂足为点 D，求 AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积 （精确到 01） 【答案】解： （1）AB 是O 的直径， ACB=90 sinBAC= 5 13 BC AB （2）在 RtABC 中，AC= 2222 135ABBC =12 又ODAC 于点 D， AD= 1 2 AC=6 （3）S半圆= 1 2 （ 2 AB ） 2=1 2 169 4 =169 8 SABC= 1 2 ACBC= 1 2 125=30， S阴影=S半圆SABC =169 8 3036.3 点评 “直径所对的圆周角为 90”以及
7、“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形 有关知识结合起来因此对这部分知识应加以重视 迎考精迎考精练练 一、选择题一、选择题 1.（湖北湖北孝感）孝感）如图，O 是ABC 的外接圆，已知B60，则CAO 的度数是( ) A15 B30 C45 D60 2.（山东山东泰安）泰安）如图，O 的半径为 1，AB 是O 的一条弦，且 AB3，则弦 AB 所对圆 周角的度数为（ ） A.30 B.60 C.30或 150 D.60或 120 3.（浙江浙江嘉兴嘉兴）如图，P 内含于O，O 的弦 AB 切P 于点 C，且 ABOP - 5 - 若阴影部分的面积为9，则弦 AB 的长为（ ） A3 B4 C6
8、 D9 4.（天津市）（天津市）如图，ABC 内接于O，若OAB28，则C 的大小为（ ） A28 B56 C60 D62 5.（安徽）（安徽）如图，弦 CD 垂直于O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD2 2，BD3，则 AB 的 长为（ ） A2 B3 C4 D5 6.( (浙江浙江温州温州) )如图，AOB 是0 的圆心角，AOB80，则弧 AB 所对圆周角ACB 的度 数是( ) A40 B45 C50 D80 7.（四川四川遂宁）遂宁）如图，已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A70 o，C50o， 那么 sinAEB 的值为( ) A. 2 1 B. 3 3 C. 2 2
9、D. 2 3 - 6 - 8.（甘肃甘肃兰州）兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米， 拱的半径为 13 米，则拱高为( ) A5 米 B8 米 C7 米 D53米 9. （湖北十堰）（湖北十堰） 如图， ABC 内接于O， 连结 OA、 OB， 若ABO25， 则C 的度数为 （ ） A55 B60 C65 D70 10. （山东青岛）（山东青岛） 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示， 其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A0.4 米 B0.5 米 C0.8 米 D1 米 11.（山西太原）（山西太原）如图
10、，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿OAABBO的路径运 动一周 设OP为s， 运动时间为t， 则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是 （ ） 二、填空题二、填空题 1.（河南）（河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB 到点 P，使 BP 1 2 AB，PC 切半圆 O 于点 C， P A O B s t O s O t O s t O s t A B C D - 7 - 点 D 是AC上和点 C 不重合的一点，则D的度数为 . 2.( (广东广东梅州梅州) )如图，在O 中，ACB20，则AOB_度. 3.（山西省）（山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，
11、17040A ， ，则C 度 4.( (湖北湖北鄂州鄂州) )在O 中，已知O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为3，弦 AD 长为2则 DC 2 _ 5.（福建福建福州）福州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上 ，ODAC，若 BD1，则 BC 的长为 6.（广东广东中山）中山）已知O的直径8cmABC，为O上的一点，30BAC，则BC _ cm 7.( (山东山东济南济南) )如图，O的半径5cmOA，弦8cmAB，点P为弦AB上一动点，则点P 到圆心O的最短距离是 cm A B C D 1 - 8 - 8.（北京（北京市）市）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，E 为BC上
12、一点，若CEA28，则 ABD . D A B C E 9.( (福建福建宁德宁德) )如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，若ACO32，则COB 的度数等 于 三、解答题三、解答题 1.（广西广西柳州）柳州）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE 于 点 F （1）求证：CFBF； （2）若AD2，O 的半径为3，求 BC 的长 - 9 - 2.（广西钦州）（广西钦州）已知：如图，O1与坐标轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，点 O1的纵坐标 为5求O1的半径 A D C B E F 图 1 B A O 图 2 x y AB O 1 O
13、 3.（湖北宜昌）（湖北宜昌）已知：如图，O 的直径 AD2，BCCDDE，BAE90 (1)求CAD 的面积； (2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是多 少？ 4.( (湖北湖北黄冈黄冈) )如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，连结 BC，AC，过点 C 作直 线 CDAB 于点 D， 点 E 是 AB 上一点， 直线 CE 交O 于点 F， 连结 BF， 与直线 CD 交于点 G 求 证：BFBGBC 2 . - 10 - 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 1.1. B B 2.2. D D 3.3. C C
14、4.4. D D 5.5. B B 6.6. A A 7.7. D D 8.8. B B 9.9. C C 10.10. D D 11.11. C C 【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点 O 向点 A 运动，OP 逐渐增大， 当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地 刻画s与t之间关系的是 C 填空题填空题 1. 30 2. 40 3. 30 4. 3232或 5. 2 6. 4 7. 3 8. 28 - 11 - 9. 64 解答题解答题 1.1. 证明： （1） 连结 AC，如图。 C 是弧 BD
15、 的中点 BDCDBC 又BDCBAC 在三角形 ABC 中，ACB90，CEAB BCEBAC BCEDBC CFBF 因此，CFBF （2）证法一：作 CGAD 于点 G， C 是弧 BD 的中点 CAGBAC ， 即 AC 是BAD 的角平分线 CECG，AEAG 在 RtBCE 与 RtDCG 中，CECG ， CBCD RtBCERtDCG BEDG AEAB-BEAGAD+DG 即 6-BE2+DG 2BE4，即 BE2 - 12 - 又 BCEBAC 2 12BCBE AB 32BC（舍去负值） 32BC （2）证法二：AB 是O 的直径，CEAB BEF90ADB， 在RtAD
16、B与RtFEB中， FBEABD ADBFEB，则 BF AB EF AD 即 BFEF 62 ， EFBF3 又CFBF ， EFCF3 利用勾股定理得： EFEFBFBE22 22 又EBCECA 则 CE BE AE CE ，即则BEAECE 2 BEBEEFCF)6()( 2 即EFEFEFEF22)226()3( 2 2 2 EF 32 22 CEBEBC . 2.解：过点 O1作 O1CAB，垂足为 C， 则有 ACBC A D C B E F 图 1 B A O 图 2 x y AB O 1 O C 由 A（1，0） 、B（5，0） ，得 AB4，AC2 - 13 - 在 1 R
17、tAOC中，O1的纵坐标为5， O1C5 O1的半径 O1A 2222 1 ( 5)2OCAC3 3.3. 解： （1）AD 为O 的直径， ACDBAE90 BCCDDE， BACCADDAE BACCADDAE 30 在 RtACD 中，AD2，CD2sin301， AC2cos303 SACD 1 2 ACCD 3 2 (2) 连 BD，ABD90， BAD 60， BDABCA 30，BABC. 作 BFAC，垂足为 F， （5 分） AF 1 2 AC 3 2 ，BFAFtan30 1 2 ， SABC 1 2 ACBF 3 4 ， SABCD 33 4 SO ，P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 33 4 33 4 （2）解法 2：作 CMAD，垂足为 M BCACAD（证明过程见解法） ，BCAD 四边形 ABCD 为等腰梯形 - 14 - CMACsin30 3 2 ，SABCD 1 2 (BC+AD)CM 33 4 SO， P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 33 4 33 4 4. 证明：AB 是O 的直径， ACB90 又CDAB 于点 D， BCD90ABCAF BCD F，FBCCBG FBCCBG CB FB BG BC BFBGBC 2
