1、? 埃及的大金字塔修成一千多年后， 没有人能准确地测出它的高度古希腊数学家、 天文学家泰勒斯来到埃及， 巧妙 地测出了金字塔的高度泰勒斯来到金字塔前， 阳光把他的影子投在地面上， 每过一会儿， 他就让人测量他影子的长度， 当测量值与他的身高完全吻合时， 他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号， 然后再丈量金字塔底到投影尖顶的 距离这样， 他就报出了金字塔确切的高度， 也就是应用了今天所说的相似三角形定理 二 次 函 数 二次函数的图象与性质 内容清单能力要求 二次函数的意义 掌握二次函数的定义， 能利用定义判 断二次函数 确定二次函数的表达式（ 通过具体情境的分析） 能利用顶点式、 交点式、
2、 三点式确定 二次函数的解析式 二次函数的图象和性质 会利用描点法画二次函数的图象并 能说明其性质 确定二次函数图象的顶点、 开口方向和对称轴 能利用二次函数解析式中系数确定 函数的对称轴、 顶点坐标、 开口方向 与坐标轴的交点坐标等 一、选择题 （ 四川德阳） 在同一平面直角坐标系内， 将函数狔狓 狓 的图象沿狓轴方向向右平移个单位长度后再沿 狔轴向下平移个单位长度， 得到图象的顶点坐标是（） （ ，） （， ） （， ）（， ） （ 第题） （ 山东日照） 二次函数狔犪 狓 犫 狓犮（犪） 的图象如图所示， 给出下 列结论： 犫 犪 犮 ；犪犫 ；犪 犫 犮 ；犪犫犮 其中正确的是（） （
3、 山东烟台） 已知二次函数狔（狓） 下列说 法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线狓 ； 其图象顶点坐标为（， ） ；当狓 时，狔随狓的增大而 减小其中说法正确的有（） 个 个 个 个 （ 广东广州） 将二次函数狔狓 的图象向下平移个单 位， 则平移后的二次函数的解析式为（） 狔狓 狔狓 狔（狓 ） 狔（狓 ） （ 江苏扬州） 将抛物线狔狓 先向左平移个单位， 再向下平移个单位， 那么所得抛物线的函数关系式是 （） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） （ 浙江杭州） 已知抛物线狔犽（狓 ） （狓 犽 ） 与狓轴交 于点犃、 犅， 与狔轴交于点犆， 则能使犃 犅 犆为等腰三角形的
4、 抛物线的条数是（） （ 浙江衢州） 已知二次函数狔 狓 狓 ， 若自 变量狓分别取狓， 狓，狓， 且 狓狓狓， 则对应的函数值 狔，狔，狔的大小关系正确的是（） 狔狔狔 狔狔狔 狔狔狔狔狔狔 （ 甘肃兰州） 抛物线狔 狓 的对称轴是（ ） 直线狓 直线狓 狔轴直线狓 （ 安徽） 如图， 点犃在半径为的犗上， 过线段犗 犃上 的一点犘作直线犾， 与犗过点犃的切线交于点犅， 且犃 犘 犅 ， 设犗 犘狓， 则犘 犃 犅的面积狔关于狓的函数图象大致 是（） （ 第题） ? 普通研究的对象， 一般都具有整数的维数比如， 零维的点、 一维的线、 二维的面、 三维的立体， 乃至四维的时空在 世纪 年代末
5、 年代初， 产生了新兴的分形几何学， 空间具有不一定是整数的维， 而存在一个分数维数法国数学 家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物， 在 ， 和 年先后用法文和英文出版了三本书， 特别是 分形： 形、 机遇和维数 以及 自然界中的分形几何学 ， 开创了新的数学分支： 分形几何学 （ 台湾） 判断下列哪一组的犪，犫，犮， 可使二次函数狔 犪 狓 犫 狓犮狓 狓在坐标平面上的图形有最低点 （） 犪 ，犫 ，犮 犪 ，犫 ，犮 犪 ，犫 ，犮 犪 ，犫 ，犮 （ 山东菏泽） 如图为抛物线狔犪 狓 犫 狓犮的图象， 犃、犅、犆为抛物线与坐标轴的交点， 且犗 犃犗 犆， 则下列 关系中正确的是（） 犪犫
6、 犪犫 犫 犪犪 犮 （ 第 题） （ 第 题） （ 山东威海） 二次函数狔狓 狓的图象如图所 示当狔 时， 自变量狓的取值范围是（） 狓 狓 狓 狓 或狓 （ 山东德州） 已知函数狔（狓犪） （狓犫） （ 其中犪犫） 的图象如图所示， 则函数狔犪 狓犫的图象可能正确的是 （） （ 第 题） （ 第 题） （ 甘肃兰州） 如图所示的二次函数狔犪 狓 犫 狓犮的 图象中， 刘星同学观察得出了下面四条信息： （ ）犫 犪 犮 ； （）犮 ； （）犪犫 ； （）犪犫犮 你认 为其中错误的有（） 个 个 个 个 （ 广西桂林） 在平面直角坐标系中， 将抛物线狔狓 狓 绕着它与狔轴的交点旋转 ， 所得抛
7、物线的解析式 是（） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） （ 安徽） 如图所示，犘是菱形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆上一 动点， 过犘垂直于犃 犆的直线交菱形犃 犅 犆 犇的边于犕、犖两 点， 设犃 犆 ， 犅 犇，犃 犘狓， 则犃犕犖的面积为狔， 则狔 关于狓的函数图象的大致形状是（） （ 第 题） （ 安徽） 若二次函数狔狓 犫 狓 配方后为狔（狓 ） 犽， 则犫，犽的值分别为（） ， ， ， ， （ 第 题） （ 安徽芜湖） 二次函数狔犪 狓 犫 狓 犮的图象如图所示， 反比例函数狔犪 狓 与正比例函数狔（ 犫犮）狓在同一坐标系 中的大致图象可能是（） ? 数学家陈景润完全用
8、笔计算， 写出了长达二百多页的证明论文； 祖冲之求圆周率的范围要算到圆内接 边形， 至少反复进行 次以上的加、 减、 乘、 除、 乘方和开方的运算； 德国数学家卢道尔夫， 花费了毕生精力把圆周 率算到了小数点后面 位； 在解决三体（ 太阳， 地球、 月亮） 问题上， 彼得堡科学院院士列奥纳尔得埃列尔， 花了四 十年的时间， 全部计算占用了四百九十页的篇幅计算机的发明和使用终于将数学家从繁琐的计算中解放出来 二、填空题 （ 上海） 将抛物线狔狓 狓向下平移个单位， 所得 抛物线的表达式是 （ 第 题） （ 湖北孝感） 二次函数狔 犪 狓 犫 狓 犮（犪） 的图象 的对称轴是直线狓 ， 其图象 的
9、一部分如图所示下列说法 正确的是（ 填正确结 论的序号） 犪 犫 犮 ；犪犫犮 ； 犪 犮 ；当狓时，狔 （ 山东滨州） 抛物线狔 狓 狓 与坐标轴的交点 个数是 （ 四川德阳） 设二次函数狔狓 犫 狓犮， 当狓时， 总有狔 ； 当 狓 时， 总有狔， 那么犮的取值范围是 （ 浙江嘉兴） 已知二次函数狔狓 犫 狓犮的图象经过 点（ ， ） ， （， ） ， 当狔随狓的增大而增大时，狓的取值范 围是 （ 河南） 点犃（，狔） 、犅（，狔） 是二次函数狔狓 狓 的图象上两点， 则狔与狔的大小关系为狔狔 （ 填“” “” 或“” ） （ 山东日照） 如图， 是二次函数狔犪 狓 犫 狓犮（犪） 的图象
10、的一部分， 给出下列命题：犪犫犮 ；犫 犪； 犪 狓 犫 狓犮 的两根分别为 和；犪 犫犮 其中 正确的命题是（ 只要求填写正确命题的序号） （ 第 题） （ 第 题） （ 山东枣庄） 抛物线狔犪 狓 犫 狓犮上部分点的横坐 标狓与纵坐标狔的对应值如下表： 狓 狔 从上表可知， 下列说法中正确的是（ 填写序号） 抛物线与狓轴的一个交点为（，） ； 函数狔犪 狓 犫 狓犮的最大值为； 抛物线的对称轴是直线狓 ； 在对称轴左侧，狔随狓增大而增大 三、解答题 （ 山东临沂） 如图， 点犃在狓轴上，犗 犃， 将线段犗 犃 绕点犗顺时针旋转 至犗 犅的位置 （ ） 求点犅的坐标； （ ） 求经过点犃、犗
11、、犅的抛物线的解析式； （ ） 在此抛物线的对称轴上， 是否存在点犘， 使得以点犘、犗、 犅为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求点犘的坐 标； 若不存在， 说明理由 （ 第 题） （ 安徽） 如图， 排球运动员站在点犗处练习发球， 将球 从犗点正上方的犃处发出， 把球看成点， 其运行的高度 狔（） 与运行的水平距离狓（） 满足关系式狔犪（狓） 犺已知球网与点犗的水平距离为， 高度为 ， 球场 的边界距点犗的水平距离为 （ ） 当犺 时， 求狔与狓的关系式（ 不要求写出自变量狓 的取值范围） ； （ ） 当犺 时， 球能否越过球网？球会不会出界？请说明 理由 （ ） 若球一定能越过球网， 又
12、不出边界， 求犺的取值范围 （ 第 题） ? “ 电脑算命” 看起来挺玄乎， 只要你报出自己出生的年、 月、 日和性别， 一按按键， 屏幕上就会出现所谓性格、 命运的句子， 据说这就是你的“ 命”我们用数学上的抽屈原理很容易说明它的荒谬所谓“ 电脑算命” 不过是把人 为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里， 谁要算命， 即根据出生的年、 月、 日、 性别的 不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“ 柜子” 里取出所谓命运的句子电脑算命是对科学的亵渎 （ 浙江义乌） 已知二次函数的图象经过犃（，） 、 犆（， ） 两点， 且对称轴为直线狓 设顶点为点犘， 与狓 轴的另一交点
13、为点犅 （ ） 求二次函数的解析式及顶点犘的坐标 （ ） 如图（） ， 在直线狔狓上是否存在点犇， 使四边形 犗 犘 犅 犇为等腰梯形？若存在， 求出点犇的坐标； 若不存 在， 请说明理由 （ ） 如图（） ， 点犕是线段犗 犘上的一个动点（犗、犘两点除 外） ， 以每秒槡 个单位长度的速度由点犘向点犗运动， 过 点犕作直线犕犖狓轴， 交犘 犅于点犖将犘犕犖沿直 线犕犖对折， 得到犘犕犖在动点犕的运动过程中， 设犘犕犖与梯形犗犕犖 犅的重叠部分的面积为犛， 运动 时间为狋秒求犛关于狋的函数关系式 （） （） （ 第 题） （ 安徽芜湖） 用长度为 的金属材料制成如图所示 的金属框， 下部为矩形
14、， 上部为等腰直角三角形， 其斜边长为 狓当该金属框围成的图形面积最大时， 图形中矩形的相 邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积 （ 第 题） 趋势总揽 通过实践与探索， 让学生参与知识发现和形成的过程， 进一 步体会数学学习中“ 问题情境建立模型解释应用回顾拓 展” 的过程进行数学思想方法的渗透、 学习， 能借助函数的有关 知识， 进行一系列以函数及其图象为主的研究性学习活动， 是新 课标的基本要求中考将以下几点进行考查： 能根据函数的性质研究二次函数的最值问题， 能从多角 度思考解决一类以二次函数为基础的综合型考题 经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程， 体会 二次函数
15、是刻画现实世界的一个有效的数学模型， 能应用二次 函数的相关知识解决简单的实际问题 高分锦囊 结合具体情境体会二次函数的意义， 了解二次函数的有 关概念 会用描点法画出二次函数的图象， 能通过图象认识二次 函数的性质， 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解， 会 在同一直角坐标系下， 正确研究两种函数图象的分布情况 会求二次函数图象的顶点坐标、 对称轴方程及其与狓轴 的交点坐标； 会借助平移理论知识来研究二次函数图象及其解 析式的变化规律， 并会根据函数的性质研究一次函数、 二次函数 的最值问题 二次函数的解析式的确定及相关性质（） 可求三点坐 标利用三点坐标求二次函数的解析式， 一般是用
16、待定系数法列 方程组来解决（ ） 二次函数顶点坐标和对称轴方程的求法可 用公式法也可用配方法（ ） 一般是结合图形列出方程或方程组 来解决 ? 一只用黑白皮子缝制的足球， 黑皮子是正五边形， 白皮子是正六边形， 每块黑皮子周边缝了块白皮子已知整个 足球面上有 块黑皮子， 那么有几块白皮子呢？解析： 每块黑皮子周边缝了块白皮子， 白皮子共有 块， 每块白皮 子旁边都有块黑皮子， 所以被重复计算了次， 白子共有 块， 因此， 足球表面有黑白皮子共 块若是给出有 块白皮子， 则黑皮子的个数呢？（ 答案： 黑皮子共有 块） 常考点清单 一、二次函数的概念 二次函数的定义 形如狔（ 犪，犫，犮是常数，犪
17、） 的函数叫做关于狓 的二次函数， 如： 狔 狓 狓 等 二次函数的一般形式 任何二次函数的解析式都可以化成狔（ 犪，犫，犮为 常数， 犪 ） 的形式， 因此把狔（犪，犫，犮是常数，犪 ） 叫 做二次函数的一般形式 二、二次函数的图象与性质 图象的形状 二次函数的图象是一条， 抛物线与的交 点是抛物线的顶点 图象的变化规律 狔犪 狓 （ 犪 ） 的图象 沿狓 轴翻折 狔（犪 ） 的图象 当犺 时， 向右平移犺 个单位长度 当犺 时， 向左平移犺 个单位长度 狔的图象 当犽 时， 向下平移犽 个单位长度 当犽 时， 向上平移犽 个单位长度 狔的图象 写成一般形式 狔犪 狓 犫 狓犮的图象 二次函
18、数狔犪 狓 犫 狓犮（犪 ） 的图象与性质 狔犪 狓 犫 狓犮犪 犪 图象 开口方向向上向下 顶点坐标 ， 犪 犮犫 （） 犪 犫 犪， （） 对称轴直线直线 狔犪 狓 犫 狓犮犪 犪 增减性 当狓犫 犪时， 狔 随狓的增大而减 小； 当狓 犫 犪 时， 狔随狓的增大 而增大 当狓犫 犪时， 狔 随狓的 增 大 而 ； 当狓 犫 犪时， 狔随狓的 增大而 最值 当狓犫 犪时， 犪 犮犫 犪 当狓犫 犪时， 犪 犮犫 犪 易混点剖析 方程与函数有着不可分割的联系， 若函数值狔 ， 函数即转 化为一元二次方程犪 狓 犫 狓犮 ， 方程是否有解即为抛物线与狓 轴是否有交点， 方程的解即为抛物线与狓轴
19、交点的横坐标 函数和不等式的联系： 若狔（狔） ， 即得到一元二次 不等式犪 狓 犫 狓犮 （犪 狓 犫 狓犮）此时确定不等式的解 集就转化为抛物线相应点横坐标的取值集合 易错题警示 【 例】（ 江苏连云港） 如图， 抛物线狔狓 犫 狓犮 与狓轴交于犃、 犅两点， 与狔轴交于点犆， 点犗为坐标原点， 点犇 为抛物线的顶点， 点犈在抛物线上， 点犉在狓轴上， 四边形 犗 犆 犈 犉为矩形， 且犗 犉 ，犈 犉 （ ） 求抛物线所对应的函数解析式； （ ） 求犃 犅 犇的面积； （ ） 将犃 犗 犆绕点犆逆时针旋转 ， 点犃对应点为点犌， 问 点犌是否在该抛物线上？请说明理由 【 解析】 这道函数
20、题综合了图形的旋转、 面积的求法等知识 （ ） 在矩形犗 犆 犈 犉中， 已知犗 犉、犈 犉的长， 先表示出犆、犈的 坐标， 然后利用待定系数法确定该函数的解析式 （ ） 根据（） 的函数解析式求出犃、犅、犇三点的坐标， 以犃 犅 为底、 点犇纵坐标的绝对值为高， 可求出犃 犅 犇的面积 （ ） 首先根据旋转条件求出点犌的坐标， 然后将点犌的坐标 代入抛物线的解析式中直接进行判定即可 【 答案】（ ）四边形犗 犆 犈 犉为矩形，犗 犉 ，犈 犉 ， 点犆的坐标为（ ，） ， 点犈的坐标为（，） 把两败俱伤点坐标分别代入狔狓 犫 狓犮中， 得 犮 ， 犫犮 ， 解得 犫 ， 犮 抛物线所对应的函
21、数解析式为狔 狓 狓 （ ）狔狓 狓 （狓 ） ， 抛物线的顶点坐标为犇（ ，） 犃 犅 犇中边犃 犅的高为 令狔 ， 得狓 狓 解得狓 ，狓 犃 犅 （ ） 犃 犅 犇的面积 （ ）犃 犗 犆绕点犆逆时针旋转 ，犆 犗落在犆 犈所在的直线 上， 由（ ） ， 可知犗 犃 ， 点犃对应点犌的坐标为（ ，） 当狓 时， 狔 ， 点犌不在该抛物线上 ? 你知道钟表在三点和四点之间， 时钟的分针和时针在什么时候重合吗？我们一起来解答： 假设两针在点狓分钟 时重合， 则这时分针旋转了狓分格， 时针旋转了（狓 ） 分格， 因为分针旋转的速度是每分钟分格， 旋转狓分格需要狓 分钟， 时针旋转的速度是每分钟
22、 分钟， 旋转（ 狓 ） 分格要（狓 ） 分钟， 而这两个时间应相等， 解得狓 看来方程的思想多么重要！ 一、选择题 （ 浙江金华一模） 抛物线狔狓 先向右平移个单位， 再向上平移个单位， 得到新的抛物线解析式是（） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） （ 江苏海安县质量与反馈） 将狔狓 的函数图象向左 平移个单位长度后， 得到的函数解析式是（） 狔 狓 狔 狓 狔（狓 ） 狔 （狓 ） （ 江苏沭阳银河学校质检题） 下列函数中， 是二次函数 的是（） 狔狓 狓 狔 狓 狓 狔狓 狔 狔狓 （ 第题） （ 安徽马鞍山六中中考一模） 二 次函数狔犪 狓 犫 狓犮的图象如图所 示， 反
23、比例函数狔犪 狓 与正比例函数狔 （犫犮）狓在同一坐标系中的大致图 象可能是（） （ 黑龙江哈尔滨南岗区升学调研） 抛物线狔狓 与狔轴的交点坐标是（） （ ，） （， ） （， ）（ ，） （ 安徽淮南市第四次质量检测） 二次函数狔犪 狓 犫 狓 犮的图象如图所示， 则下列关系式中错误 獉獉 的是（） （ 第题） 犪 犮 犫 犪 犮 犪犫犮 （ 广西贵港模拟） 对于每个非零自然数狀， 抛物线狔狓 狀 狀（狀 ） 狓 狀（狀 ） 与狓轴交于犃狀、犅狀两点， 以犃 狀 犅 狀表 示这两点间的距离， 则犃犅犃犅犃 犅 的值是 （） （ 浙江金华市模拟） 将抛物线狔狓 向下平移个单 位， 得到抛物线解
24、析式是（） 狔 狓 狔 （狓 ） 狔 狓 狔 狓 （ 黑龙江哈尔滨模拟） 若二次函数狔狓 犺 狓配方 后为狔（ 狓 ） 犽， 则犺，犽的值分别为（） ， ， ， ， （ 江苏靖江外国语学校） 已知二次函数狔犪 狓 犫 狓 犮的图象如图所示， 有以下结论：犪犫犮 ；犪犫犮 ；犪 犫 犮 ； 犪 犫犮 ；犮犪 ， 其中所有正确结论 的序号是（） （ 第 题） （ 河南安阳模拟） 若犫 ， 则一次函数狔犪 狓犫与二 次函数狔犪 狓 犫 狓犮在同一坐标系内的图象可能是 （） ? 任取一个数， 如 ， 数出这数中的偶数个数、 奇数个数及所有数字的个数， 就可得到（个偶数） 、（个奇 数） 、（ 总共五位
25、数） ， 用这个数组成下一个数字串 对 重复上述程序， 就会得到、， 将数串 再重复进 行， 仍得 又如： ， 在这个数中偶数、 奇数及全部数字的个数分别为 、 ， 将这个数 合起来得到 ， 对 这个数串重复这个程序得到 ， 再重复这个程序得到 ， 于是便进入“ 黑洞” 了 （ 浙江泰顺七中模拟） 将二次函数狔狓 的图象向右 平移个单位， 再向上平移个单位后， 所得图象的函数表 达式是（） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 二、填空题 （ 上海金山区中考模拟） 二次函数狔（狓） 图象的顶点坐标是 （ 河南省信阳市二中模拟）抛物线狔 狓 狓犿与 狓轴只有一个公共点， 则犿值为 （
26、北京市延庆县一诊考试） 用配方法把狔狓 狓 化为狔犪（ 狓犺） 犽的形式为 （ 江苏宿迁模拟） 抛物线狔狓 犫 狓的对称轴是 直线狓 ， 则犫的值为 （ 江苏南京市综合体一模） 已知二次函数狔犪 狓 犫 狓 犮中， 函数狔与自变量狓的部分对应值如下表： 狓 狔 则狓 时， 狔的取值范围是 （ 江苏常州模拟） 若把函数狔狓 狓 化为狔（狓 犿） 犽的形式， 则犿犽 （ 北京西城区模拟） 对于每个正整数狀， 抛物线狔狓 狀 狀（狀 ） 狓 狀（狀 ） 与狓轴交于犃狀、犅狀两点， 若犃狀犅狀表 示这两点间的距离， 则犃狀犅狀（ 用含狀的代数式表 示） ； 犃犅犃犅犃 犅 的值为 （ 北京海淀区） 将
27、抛物线狔狓 向左平移个单位， 再 向下平移个单位后， 所得抛物线的解析式为 三、解答题 （ 广东二模） 如图， 已知二次函数狔狓 犫 狓犮的 图象经过犃（ ， ） 、 犅（，） 两点 （ ） 求该抛物线的解析式及对称轴； （ ） 当狓为何值时，狔 ？ （ ） 在狓轴上方作平行于狓轴的直线犾， 与抛物线交于犆、犇 两点（ 点犆在对称轴的左侧） ， 过点犆、犇作狓轴的垂线， 垂足分别为犉、 犈当矩形犆 犇 犈 犉为正方形时， 求点犆点 的坐标 （ 第 题） （ 广东模拟） 已知关于狓的二次函数狔狓 犿 狓 犿 与狔狓 犿 狓犿 ， 这两个二次函数图象中只有 一个图象与狓轴交于犃、 犅两个不同的点
28、（ ） 试判断哪个二次函数的图象经过犃、犅两点； （ ） 若点犃坐标为（ ，） ， 试求该二次函数的对称轴 （ 陕西省模拟） 如图， 已知抛物线狔狓 狓交狓 轴于犃、 犅两点， 交狔轴于点犆， 抛物线的对称轴交狓轴于点 犈， 点犅的坐标为（ ，） （ ） 求抛物线的对称轴及点犃的坐标 （ ） 在平面直角坐标系狓 犗 狔中是否存在点犘， 与犃、犅、犆三 点构成一个平行四边形？若存在， 请直接写出点犘的坐 标； 若不存在， 请说明理由 （ ） 连结犆 犃与抛物线的对称轴交于点犇， 在抛物线上是否 存在点犕， 使得直线犈犕把四边形犇 犈 犗 犆分成面积相等 的两部分？若存在， 请求出直线犈犕的解析式
29、； 若不存 在， 请说明理由 （ 第 题） （ 河南安阳模拟） 如图， 已知抛物线狔狓 犫 狓犮 经过点犃（ ， ） 和犆（，） （ ） 求这条抛物线的解析式； （ ） 直线狔狓 与抛物线相交于犃、犇两点， 点犘是抛物 线上一个动点， 点犘的横坐标是犿， 且犿， 设 犃 犇 犘的面积为犛， 求犛的最大值及对应的犿值； （ ） 点犕是直线犃 犇上一动点， 直接写出使犃 犆 犕为等腰 三角形的点犕的坐标 （ 第 题） 将二次函数狔狓 的图象向右平移个单位， 再向上平移 个单位后， 所得图象的函数表达式是（） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 若二次函数狔（犿 ）狓 犿 犿 的图象经过
30、原点， 则 犿的值必为（） 或 或 如图， 直线犾过犃（，） 、犅（，） 两点， 它与二次函数狔犪 狓 的图象在第一象限内相交于点犘， 且犃 犗 犘的面积为 ， 求 该二次函数的关系式 （ 第题） 某果园有 棵梨树， 每一棵树平均结 个梨， 现准备多种 一些梨树以提高产量， 但是如果多种树， 那么树之间的距离和 每棵树所接受的阳光就会减少， 根据经验估计， 每多种一棵 树， 平均每棵树就会少结个梨 （ ） 多种多少棵梨树， 可以使该果园梨的总产量最多？ （ ） 多种多少棵梨树， 可以使该果园梨的总产量在 个 以上？ 如图， 在一张长 、 宽 的矩形硬纸板的四周各剪去一 个同样大小的正方形， 再
31、折合成一个无盖的长方体盒子（ 纸 板的厚度忽略不计） （ 第题） （ ） 如果要使长方体盒子的底面积为 ， 那么剪去的正方 形的边长为多少？ （ ） 你感觉折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有最大的 情况？如果有， 请你求出最大的值和此时剪去的正方形的 边长； 如果没有， 请你说明理由 二 次 函 数 二次函数的图象与性质 年考题探究 解析狔 狓 狓 （狓 狓） （狓 ） （狓 ） ， 原抛物线的顶点坐标为（ ， ） 将二次函数狔 （ 狓 ） 的图象沿狓轴方向向右 平移个单位长度后再沿狔轴向下平移个单位长度， 狔 （狓 ） （ 狓 ） 故得到图象的顶点坐标是（， ） 解析 函数与狓轴由两个交点
32、， 所以犫 犪 犮 ； 又 犫 犪 ， 犪犫犮， 解得犫犪，犮犪， 所以犪犫 犮 解析 ， 图象的开口向上， 故本小题错误； 图象的对称轴为直线狓 ， 故本小题错误； 其图象顶点坐标为（，） ， 故本小题错误； 当狓 时，狔随狓的增大而减小， 正确 综上所述， 说法正确的只有 个 解析 二次函数狔狓 的图象向下平移个单位得 狔狓 解析 将抛物线狔狓 先向左平移个单位所得 抛物线的函数关系式是狔（狓 ） ； 再将抛物线狔（狓 ） 向下平移个单位所得抛物 线的函数关系式是： 狔（狓） ， 即狔（ 狓） 解析 根据抛物线的解析式可得犆（ ，） ， 再表示出抛 物线与狓轴的两个交点的横坐标， 再根据犃
33、 犅 犆是等腰三 角形分三种情况讨论， 求得犽的值， 即可求出答案 解析二次函数狔 狓 狓 ， 此函数的对称轴为狓 犫 犪 （） 狓狓狓， 三点都在对称轴右侧， 犪 ， 对称轴右侧狔随狓的增大而减小 狔狔狔 解析抛物线狔 狓 的顶点坐标为（ ，） ， 对称轴是直线狓 （ 狔轴） 解析犃 犅与犗相切， 犅 犃 犘 ， 犗 犘狓，犃 犘 狓 犅 犘 犃 ， 犃 犅槡 （ 狓） 犃 犘 犅的面积狔 槡 （ 狓） （ 狓 ）故选 解析狔犪 狓 犫 狓犮 狓 狓（犪）狓 （ 犫 ）狓（犮 ） 若此二次函数图形有最低点犽， 则图形的开口向上故狓 项系数为正数所以犪 ， 犪 故选 解析犗 犃知点犃坐标为（，
34、 ） ， 把狓， 狔 代入二次函数关系式得犪犫犮， 又犗 犆， 知 犮 ， 犪犫 解析 由图知当 狓 时， 图象在狓轴下方， 此 时狔 解析 由二次函数图象知一根为， 另一根小于 ， 则犪犫 ， 犪 犫 ， 又因为犪犫 所以犪为正， 犫为负， 且犫 犪 所以只有符合要求 解析 抛物线与狔轴交点在（ ，） 下， 所以犮， 其 余则均正确 解析 抛物线狔狓 狓， 顶点坐标为（，） ， 与狔轴交点为（，） ， 则顶点绕（，） 旋转 后的另一 顶点为（，） ， 方向相反， 所以待求抛物线为狔（狓 ） 解析 当点犘没有过犃 犆中点时， 狔 狓 ， 当点犘过了犃 犆中点时， 狔 狓 狓 显然只有图象符合要
35、求 解析 先将狔（狓） 犽转化成一般形式， 再与 狔狓 犫 狓 的系数进行比较即可得出犫， 犽的值 解析 由二次函数的图象可以得到： 犪，犫，犮 所以犫犮 ， 则反比例函数在第一、 三象限， 正比例 函数在第二、 四象限 狔狓 狓 解析 由抛物线狔狓狓向下平移个 单位， 得抛物线的解析式为狔狓狓 解析 由图象知犪 ，犮 ， 又因为犫 犪 ， 犫 犪 犪 犫 犮 当狓 时狔 ， 犪犫犮 ， 再把犫 犪代入得 犪犮 个 解析 抛物线解析式为狔 狓 狓 ， 令狓 ， 解得狔 抛物线与狔轴的交点为（ ，） 令狔 ， 得到 狓狓 ， 即狓狓 分解因式得（狓 ） （狓 ） 解得狓 ，狓 抛物线与狓轴的交点
36、分别为 ， （） ， （，） 综上， 抛物线与坐标轴的交点个数为个 犮 解析当狓 时， 总有狔 ； 当 狓 时， 总有狔 ， 函数图象过（ ，） 点， 即 犫犮 当 狓 时， 总有狔 ， 当狓 时，狔 犫犮 联立解得犮 狓 解析 依 据 题意， 得 犫犮， 犫犮 ， 解得 犫 ， 犮 所以狔狓狓 其对称轴为直线狓犫 犪 ， 所以当狓 时， 狔随狓的增大而增大 狔狔 解析 可以把狓，狓分别代入比较狔与 狔的大小 解析 当狓 时， 函数值为， 犪犫犮 二次函数与狓轴一个交点（，） ， 对称轴为直线狓 ， 所以二次函数与狓轴另一个交点为（ ，） ， 犪 狓 犫 狓 犮 的两根分别为 和 解析 可以根
37、据（狓，狔） 点确定该二次函数的解 析式为狔狓狓 ， 其最大值为 （） 如图， 过点犅作犅 犆狓轴， 垂足为犆， 则犅 犆 犗 犃 犗 犅 ， 犅 犗 犆 又犗 犃犗 犅 ， 犗 犆 犗 犅 ， 犅 犆犗 犅 槡 槡 点犅的坐标为（ ， 槡 ） （）抛物线过原点犗和点犃、犅， 可设抛物线解析式为狔犪 狓 犫 狓 将犃（，） 、犅（ ， 槡 ） 代入， 得 犪 犫 ， 犪 犫槡 ， 解得 犪槡 ， 犫 槡 烅 烄 烆 此抛物线的解析式为狔 槡 狓 槡 狓 （） 存在 如图， 抛物线的对称轴是狓 ， 直线狓与狓轴的交点 为犇， 设点犘的坐标为（， 狔） 若犗 犅犗 犘， 则 狔 解得狔 槡 当狔
38、槡 时， 在 犘 犗 犇中，犘 犇 犗 ， 犘 犗 犇 犘 犇 犗 犘 槡 ， 犘 犗 犇 犘 犗 犅犘 犗 犇犃 犗 犅 ， 即犘、犗、犅三点在同一直线上 狔槡 不符合题意， 舍去 点犘的坐标为（ ，槡 ） 若犗 犅犘 犅， 则 狔槡 ， 解得狔 槡 故点犘的坐标为（， 槡 ） 若犗 犘犅 犘， 则 狔 狔槡 ， 解得狔 槡 故点犘的坐标为（， 槡 ） 综上所述， 符合条件的点犘只有一个， 其坐标为（ ，槡 ） （ 第 题） （） 把狓 ，狔 ， 及犺 代入到狔犪（狓 ） 犺， 即 犪（ ） 犪 狔 （ 狓 ） （）狓 时， 狔 （ ） ， 球能越过网 狓 时，狔 （ ） ， 球会出界 （）
39、狓 ， 狔 ， 代入到狔犪（狓 ） 犺， 得犪 犺 ； 狓 时，狔 犺 （ ） 犺 犺 ， 狓 时，狔 犺 （ ） 犺 犺 （ 第 题（） ） 由得犺 （） 设二次函数的解析式为狔犪 狓 犫 狓犮 由题意， 得 犫 犪 ， 犮 ， 犪 犫犮 烅 烄 烆 ， 解得 犪 ， 犫 ， 犮 烅 烄 烆 二次函数的解析式为狔狓 狓 点犘的坐标为（， ） （） 存在点犇， 使四边形犗 犘 犅 犇为等腰梯形理由如下： （ 第 题（） ） 当狔 时，狓 狓 狓 ，狓 点犅的坐标为（ ，） 设直线犅 犘的解析式为狔犽 狓犿 则 犽犿 ， 犽犿 ， 解得 犽 ， 犿 直线犅 犘的解析式为狔 狓 ， 直线犗 犇犅
40、犘 顶点坐标犘（ ， ） ， 犗 犘槡 设犇（狓，狓） ， 则犅 犇（狓） （ 狓） 当犅 犇犗 犘时， （狓） （ 狓） 解得狓 ，狓 当狓 时，犗 犇犅 犘 槡， 四边形犗 犘 犅 犇为平行四边 形， 舍去 当狓 时四边形犗 犘 犅 犇为等腰梯形 当犇 ， （） 时， 四边形犗 犘 犅 犇为等腰梯形 （ 第 题（） ） （）当 狋 时， 运动速度为每秒 槡 个单位长 度， 运动时间为狋秒， 则犕犘 槡 狋 犘犎狋，犕犎狋， 犎犖 狋 犕犖 狋 犛 狋狋 狋 当狋时，犘犌狋， 犘犎狋 犕犖犗 犅， 犘犈 犉犘犕犖 犛犘 犈 犉 犛犘 犕 犖 犘犌 犘 （） 犎 犛犘 犈 犉 狋 狋 （） 狋
41、 犛犘犈 犉 狋 狋 犛 狋 （ 狋 狋 ） 狋 狋 当 狋 时，犛 狋 当 狋 时，犛 狋 狋 根据题意， 可得等腰直角三角形的直角边长为槡 狓， 矩 形的一边长为狓 其相邻边长为 （ 槡 ）狓 （槡 ）狓 所以该金属框围成的面积 犛 狓 （槡 ）狓 槡 狓槡 狓 （槡 ）狓 狓（ 狓槡 ） 当狓 槡 槡 时， 金属框围成的面积最大， 此 时矩形的一边长狓 槡 （） ， 相邻边长为 （ 槡 ） （槡 ）（槡 ） （） 犛最大 （槡 ）（槡 ） （ ） 年模拟提优 解析 平移后函数顶点坐标为（ ，） 解析 函数图象向左平移个单位长度后顶点坐标变 为（ ，） 解析 根据二次函数的定义判断 解析
42、由二次函数图象知犪 ，犫 ，犮 解析 令狓 ， 得狔 解析 观察图象知当狓 时， 函数值小于零 解析 令狔， 得狓 狀 ，狓 狀 ， 所以犃犅 犃犅犃 犅 （） （） （） 解析 平移后顶点由（ ，） 变为（， ） 解析狔狓 犺 狓 与狔狓 狓 犽相对应， 知犺 ， 犽 解析 当狓 时， 函数值小于， 即犪犫犮 当狓 时， 函数值大于， 即犪犫犮 犪 ，犮 ，犫 犪 ， 得犪 犫 犮 ； 当狓 时， 函数值大于， 即犪 犫犮 犮 ，犪 ，犮犪 综上所述有正确 解析 一次函数根据截距小于判断， 二次函数根据 开口方向及对称轴在轴左边（ 或右边） 判断 解析 平移图象即平移函数的顶点坐标， 狔狓
43、顶点 （，） 经过平移后顶点变为（，） ， 所以表达式变为狔 （狓 ） （，） 解析 由顶点坐标公式直接得出 解析 由 可求出犿 狔（狓 ） 解析 狔狓 狓 狓 狓 （狓 ） 解析 由狓犫 犪 ， 得犫 狔 解析 先根据点的坐标求出二次函数解析式， 再求出其对称轴 解析狔狓 狓狓 狓（狓） ， 知犿 ，犽 狀（狀 ） 解 析 犃狀犅狀 狀 狀（狀 ） 狀（狀 槡 ） 狀 （ 狀 ）槡 狀（狀 ） 求犃犅犃犅犃 犅 ， 只要把， ， 代入犃狀犅狀中即可求出 狔（狓 ） 解析 平移顶点坐标即可 （） 把犃（ ， ） 、犅（，） 两点的坐标代入狔狓 犫 狓犮， 得 犫犮 ， 犮 ， 解得 犫 ， 犮 所以该抛物线的解析式为狔狓 狓 又狔狓 狓 （狓 ） ，
