1、 - 1 - 益阳市 2017年上学期高二 3 月月考 理科数学试题 （考试时间 120分钟 满分 150分） 第 I卷 （选择题 共 50分） 一、选择题（ 本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 . 在每小题列出的的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项） 1.因指数函数 xay? 是增函数（ 大前提 ） ,而 xy )31(? 是指数函数（ 小前提 ），所以 xy )31(? 是增函数（ 结论 ）”，上 面推理的错误是 （ ） A 大前提错导致结论错 B 小前提错导致结论错 C 推理形式错导致结论错 D 大前提和小前提都错导致结论错 2.对“ a、 b、 c至少有一个是正数”的反设是
2、 （ ） A a、 b、 c至少有一个是负数 B. a、 b、 c至少有一个是非正数 C a、 b、 c都是非正数 D. a、 b、 c都 是正数 3.已知复数 Z=2)1( 24 ii?(i为虚数单位 )在复平面内对应的点在直线 x-2y+m=0上， 则 m= ( ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 4 用数学归纳法证明等式 ( 3 ) ( 4 )1 2 3 ( 3 ) ( )2nnnn ? ? ? ? ? ? ? N时，第一步验证 1n? 时，左边应取的项是 （ ） A 1 B 12? C 1 2 3? D 1 2 3 4? ? ? 5.若 1010991010 )1()1()1( ?
3、 xaxaxaax ?，则 ?9a （ ） A 9 B 10 C 9? D 10? 6. 已知变量 x， y满足约束条件?07102yxxyx ，则 y 2x的取值范围是 （ ） A 1 21 ， 4 B 1 21 ， 1 C 11， 4 D 1 1， 1 7. 已知椭圆 myx 225 ? 1的离心率 e 510 ，则 m （ ） A 3 B 3或 325 C 5 D 15 或 3155 8. 下列命题中， 假命 题 是 （ ） A若 a， b R 且 a b 1，则 a b 41 B若 a， b R，则 2 22 ba ? 22 ? ?ba ab 恒成立 - 2 - C1322 ?xx(x
4、 R) 的最小值是 2 2 D x0， y0 R， x02 y02 x0y00 9已知等差数列 ?na 的前 n项和为 1 5 6, 1 1, 4nS a a a? ? ? ? ?, nS 取最小值时 n的值为 ( ) A 6 B. 7 C 8 D 9 10. 某同学在研究函数 ()fx 2 1x 2 10xx 6 的性质时，受到两点间距离公式的启发，将 ()fx 变形为 ()fx 22( 0) (0 1)x 22( 3) (0 1)x ，则 ()fx 表示PA PB? （如图）， ()fx的图象是中心对称图形； ()fx的图象是轴对称图形； 函数 ()fx的值域为 1 13 ，）； 方程 (
5、 ( ) 1 10f f x ? 有两个解上述关 于函数 ()fx的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 第 II卷 （非选择题 共 100分） 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11.在 251(2 )x x? 的二项展开式中， 第 4项 的系数为 12.一物体在力5 , 0 2 ,() 3 4 , 2xFx xx? ? ?(单位：N)的作用下沿与力 F相同的方向 , 从0?处运动到4x(单位：m)处 ,则力()Fx做的功为 焦 . 13. 某外商计划在四个候选城市投资 3个不同的项目 ,且在同一个城市投资的项目 不超过 2个 ,则该外商不同的投资方案有 (用数
6、字作答 ) 14已知函数 f(x)=x3 3x 1，若直线 y=m 与 y=f(x)的图像有三个不同的交点，则 m 的取值范围是 . 15如下图所示，对大于或等于 2的自然数 M的 n次幂进行如下方式的“分裂”： 依次类推， 20143“ 分裂”中最大的数是 . 三、解答题 （ 本大题 共 6小题，共 75分 . 解答 应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ） - 3 - (第 17 题图 ) FEOD CA BP16.（本小题满分 12分） 在 ABC 中，已知 AC 3，三个内 角 A， B， C成等差数列 . （ 1）若 cosC 36 ，求 AB； （ 2）求 ABC 的面积的最大值 .
7、 17.（本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 是等腰梯形，/ ,AB CD ,AC BD? O,AC BD与 交 于 , 2 , 2 2 2 ,P O A B C D P O A B C D? ? ? ?底 面EF、 分别是 AB AP、 的中点 . （） 求证： AC EF? ； （）求二面角 F OE A?的余弦值 . 18.（本小题满分 12分） 已知 二次函数 122)( 2 ? aaxxxf ，若对任意的 1,1?x 都有1)( ?xf 恒成立，求的范围 1。 1学 - 4 - 19.(本题满分 12分 )数列 ?na 中， 321 ?a，其前 n项
8、和 ns 满足211 ? ?nn ss )2( ?n， (1)计算 4321 , ssss ； (2)猜想 ns 的表达式并用数学归纳法证明。 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆的一个顶点为 (0, 1)A ? ,焦点在轴上 .若右焦点到直线2 2 0xy? ? ? 的距离为 3. () 求椭圆的方程 ; () 设椭圆与直线 ( 0)y kx m k? ? ? 相交于不同的两点 MN、 .当 | | | |AM AN? 时 ,求 m 的取值范围 . 21. （本小题满分 14 分） 已知函数 1 ln ( 1 )( ) ( 0 )xf x xx? （）函数 ()fx在区间 (0, )?
9、上是增函数还是减函数？证明你的结论； （）当 0x? 时， () 1kfx x? ? 恒成立，求整数的最大值； （）试证明： 23( 1 1 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 ( 1 ) ) nn n e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x N M y O - 5 - 理科数学答案 一、选择题 (本大题共 10 小题每小题 5分，共 50分 ) ACADD ABDAC 二、 填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25 分） 11. -40 12. 36 13. 60 14（ 3,1） 15 4058209 三、解答题 (本大题共六道题，共 7
10、5分） 16 （本小题满分 12分 ) 解： （ 1） A ， B， C成等差数列， 2B A C，又 A B C ? ， B 3? ， 由 cosC 36 ，求得 sinC 33 ，由正弦定理得： sinBACsinCAB ? ， AB 2. （ 2）设角 A， B， C的对边为 a， b， c，由余弦定理得： cosBaccab ? 2222 ， acca ? 922 2 ac， ac9 ， ABCS? 21 ac sinB 439 ， ABC 面积的最大值为 439 . 17 （本小题满分 12分） （） EF、 分别是 AB AP、 的中点 . / / ,EF PB? 由已知可知 ,P
11、 O A B C D P O A C? ? ? ,AC BD? OBDPO ? ,AC POB?面 又 PB POB?面 AC PB? .AC EF? （）以 ,OB OC OP 所在直线为 x轴， y轴， z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题设， 2 , 1O A O B O C O D? ? ? ?， 得 ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , ( 0 , 0 , 2 )A B C D P? FEOD CA BPFEOD CA BPy z - 6 - (1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1
12、 , 1 ) ,O E O F? ? ? ? 设平面 OEF 的法向量为 ( , , )m x y z? 00m OEm OF? ? 可 (1,1,1)m? ， 平面 OAE 的法向量为 (0,0,1)n? 33.,c o s ?nmnmnm 由图形可知，二面角 F OE A?的余弦值为 33 18、 （本小题满分 12分） 解： 法一：根据题意，得 1 1 1 1( 1 ) 1 ( ) 1 (1 ) 1a a af f a f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 或解得 1 0 1aa? ? ?或 。 0 ).a? ? ?的 范 围 为 ， 法二：若对
13、任意的有 1)( ?xf 恒成立，则 2)1(2 xxa ? 对任意的恒成立，当 1?x 时，Ra? ，当 1?x 时 12 2? xxa 恒成立，令 1)( 2? x xxgy ， 1,1(?x ，令 1?xt 得：2,0(,2)1( ? ttty ，易知 0max?y ，故 02?a ， 0 ).a? ? ?的 范 围 为 ， 19.（本小题满分 12分） 3 4 5,4 5 6? ? ? ? ? ?2 3 4解 ： （ 1 ） S S S- 7 - kk+ 1*1( 2)21n k S = ,21 1 2S12322n11nN2knnkkkkSkkknn? ? ? ? ? ?nn猜 测
14、S =- 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ：（ ） n=1 时 显 然 成 立（ ） 假 设 时 成 立 ， 即 - 那 么 当 n=k+1 时-即 时 命 题 成 立综 合 （ ） （ ） S =- 对 一 切 成 立20.解析： () 依题意可设椭圆方程为 2 22 1x ya ?,右焦点 22( ,0), 1F c c a?, 由题设 | 2 2 | 32c? ?,得 2c? ,故 2213ac? ? ? ;故椭圆的方程为 2 2 13x y?5 分 () 如右图所示 ,设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y,MN 的中点为 00( , )Px y ,
15、则由 | | | |AM AN? 可知 AP MN? , 即0 1 2 1 2 1 201 1 ( 2 ) ( ) 0 , 0y k k y y x x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 可化为 2 12( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) 0k x x k m? ? ? ? ?,且 120xx? ?8 分 又由22,3 3,y kx mxy? ? 得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 ( 1 ) 0k x km x m? ? ? ? ? 则 2 2 2 23 6 1 2 ( 3 1 ) ( 1 ) 0k m k m? ? ? ? ? ?得 2231mk? 且12 26
16、 031kmxx k? ? ? ?,得 0m? ?10 分 式代入 式得 , 226( 1 ) 2 ( 1 ) 031kmk k mk? ? ? ?, 化简得 22 3 1mk?1? ,得 12m? ,又代入 式得 , 2 2mm? ,解得 02m?, 综上可得 1 22 m?,即为所求 .?13 分 21. （本小题满分 14 分） A x N M y P O - 8 - 解：（）由题21 l n ( 1 ) 10 , ( ) 0 ,xxx f x x? ? ? ? 故 ()fx在区间 (0, )? 上是减函数 （）当 0x? 时， () 1kfx x? ? 恒成立，即 1 1 ln( 1)xkxx? ? ?在 (0, )? 上恒成立，取 1( ) 1 ln ( 1)xh x xx? ? ?，则21 ln( 1)() xxhx x? ? ?， 再取 ( ) 1 ln ( 1),g x x x? ? ? ?则 1( ) 1 0 ,11xgx xx? ? ? ? ? 故 ()gx在 (0, )? 上单调递增， 而 ( 1 ) l n 2 0 , ( 2 ) 1 l n 3 0 , ( 3 ) 2 2 l n 2 0g g g? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 ( ) 0gx? 在 (0, )? 上存在唯一实数根 ( 2 , 3 ), 1 ln ( 1)
