1、 1 江苏省南京市 2016-2017学年高二数学 5 月月考试题 理 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分） 1.已知全集1, 2,3, 4,5,6,7U ?，集合2,4,5A?，1,3 5,7B， 则()UC A B?. 2.函数 f（ x） = 的定义域是 _ 3.分别从集合 M1， 2， 3和集合 N=4， 5， 6中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为 _ 4 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第 3个数是 _ 5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示： 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 男性青年 观众 40 10 女性青年观众 4
2、0 60 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n个人做进一步的调研，若在 “ 不喜欢戏剧的男性青年观众 ” 的人中抽取了 8人，则 n的值为 _ 6.函数 f（ x） =2x2-lnx的单调递减区间是 _ 7. 在一个容量为 5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1未被污损，即 9， 10， 11， 1 ，那么这组数据的方差2s可能的最大值是 _ 8.已知 p： -x2+8x+200 ， q： x2-2x+1-m20 （ m 0） ， 若 p是 q充分不必要条件， 则 实数 m的取值范围是 _ 9. 已知函数 f（ x） =-
3、x3+ax2-x-1在（ - ， + ）上是单调函数，则实数 a的取值范围是 _ 10. 已知定义在 R上的偶函数 f（ x）满足 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且当 x 0， 2时函数 f（ x）单调递减，给出下列四个命题中正确的是 _ f（ 2） =0； x=-4为函数 f（ x）的一条对称轴； 函数 f（ x）在 8， 10上单调递增； 若方程 f（ x） =m在区间 -6， -2上 的两根为 x1， x2，则 x1+x2=-8 11.已知函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数，且当 x0 时， f（ x） =-x2-3x，则不等式 f（ x-1） -x+4的解集是 _ 1
4、2.若对任意的 x D，均有 f1（ x） f（ x） f2（ x）成立，则称函数 f（ x）为函数 f1（ x）到函数 f2（ x）在区间 D上的 “ 折中函数 ” 已知函数 f（ x） =（ k-1） x-1， g（ x） =0， h（ x） =（ x+1） lnx，且 f（ x）是g（ x）到 h（ x）在区间 1， 2e上的 “ 折中函数 ” ，则实数 k的值构成的集合是 _ 2 13.已知 y=f（ x）是 R上的偶函数，对于任意的 x R，均有 f（ x） =f（ 2-x），当 x 0， 1时， f（ x） =（ x-1） 2，则函数 g（ x） =f（ x） -log2017|x
5、-1|的所有零点之和为 _ 14.已知函数 f（ x） = +alnx，若对任意两个不等的正实数 x1， x2都有 2恒成立，则实数 a的取值范围是 _ 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90分请把答案填写在答题卡相应位置上） 15、 (本小题满分 14 分 ) 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos?. （ 1）求出圆 的直角坐标方程； （ 2）已知圆 与x轴相交于A，B两点，若直线l：m2x2y ?上存在点P使得90APB?，求实数m的最大值 . 16、 (本小题满分 14 分 ) 设 a， b R若直线 l： ax+y-7
6、=0在矩阵 A= 对应的变换作用下，得到的直线为 l ： 9x+y-91=0 （ 1） 求实数 a， b的值 ； （ 2）求出 矩阵 A的特征值及对应一个的特征向量 17、 (本小题满分 14 分 )某乐队参加一户外音乐节，准备从 3首原创新曲和 5首经典歌曲中随机选择 4首进行演唱 （ 1）求该乐队至少演 唱 1首原创新曲的概率； （ 2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 a（ a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为 2a，求观众与乐队的互动指数之和 X的概率分布及数学期望 18、 (本小题满分 16 分 ) 已知(1 3)nx?的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
7、121，求展开式中系数最小的项 19、 (本小题满分 16 分 )已知二次函数 h（ x） =ax2+bx+c（ c 4），其导函数 y=h（ x）的图象如图所示，函数 f（ x） =8lnx+h（ x） （ 1）求 a， b的值； 3 （ 2）若函数 f（ x） 在区间（ m， m+ ）上是单调增函数，求实数 m的取值范围； （ 3）若对任意 k -1， 1， x （ 0， 8，不等式（ k+1） x f（ x）恒成立，求实数 c的取值范围 20、 (本小题满分 16 分 ) 已知函数 f （ x） =ex-ax-1，其中 e为自然对数的底数， a R （ 1）若 a=e，函数 g （ x）
8、 =（ 2-e） x 求函数 h（ x） =f （ x） -g （ x）的单调区间； 若函数 F（ x） = 的值域为 R，求实数 m的取值范围； （ 2）若存在实数 x1， x2 0， 2，使得 f（ x1） =f（ x2），且 |x1-x2|1 ，求证： e-1 a e2-e 【 参考 答案】 填空题 1、1,3,7； 2、 -2， 2 ； 3、49；4、 30 ； 5、 30； 6、 ； 7、 32.8； 8、 m9 ； 9、 ； 10、 ； 11、 （ 4， + ） ； 12、 2； 13、 4032； 14、 1， + ） 解答题 15、 【答案】 解：（ 1）由4cos?得2 4
9、cos? ? ?，即2240x y x? ? ?， 即圆C的标准方程为? ?2 224xy? ?. （ 2）l：的方程为y x m?，而AB为圆C的直径， 故直线 上存在点P使得90APB?的充要条件是直 线l与圆C有公共点， 故425m? ?，于是，实数m的最大值为52?. 4 16、（ 1） （ 2）1 1 2 210 03 , ; 13 ,11ee? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?特征向量答案不唯一 17、 【答案】 解：（ 1）设 “ 该乐队至少演唱 1首原创新曲 ” 的事件为 A，则 P（ A） =1-P =1- = （ 2）由题意可得： X=5a， 6a， 7a，
10、8a P（ X=5a） = = = ， P（ X=6a） = = = ， P（ X=7a） = = = ， P（ X=8a） = = = 所以 X的分布列为： X 5a 6a 7a 8a P E（ X） =5a +6a +7a +8a = a 18、 【答案】 5 n 15或 n -16(舍 ) 考虑? ?13nx?的展开式中系数取到最大的项再判断其正负 设 的展开式中第 r 1项为 令1115 151115 1533r r r rr r r rCC? ? ?则可解得 11 12r?，又因为rN?当 r取 12 或者 11时，? ?nx?的系数取到最大 ，而(1 3)nx?的系数为 1 15(
11、 3)rrrTC? ?，故当 r取 11时系数最小，即11 1112 15 ( 3 )T C x19、 【答案】 解：（ 1）二次函数 h（ x） =ax2+bx+c 的导数为： y=h （ x） =2ax+b，由导函数 y=h （ x）的图象可知， 导函数 y=h （ x）过点（ 5， 0）和（ 0， -10）， 代入 h （ x） =2ax+b得： b=-10， a=1； （ 2）由（ 1）得： h（ x） =x2-10x+c， h （ x） =2x-10， f（ x） =8lnx+h（ x） =8lnx+x2-10x+c， f （ x） = +2x-10= ， 当 x变化时 （ 0， 1
12、） 1 （ 1， 4） 4 （ 4， + ） f（ x） + 0 - 0 + f（ x） 所以函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， 1）和（ 4， + ） 单调递减区间为（ 1， 4）， 若函数在（ m， m+ ）上是单调递增函数 ，则有 或者 m4 ，解得 0 m 或 m4 ； 故 m的范围是： 0， 4， + ） （ 3）若对任意 k -1， 1， x （ 0， 8，不等式（ k+1） x f（ x）恒成立， 即对 k=-1时， x （ 0， 8，不等式 c -x2-8lnx+10x恒成立， 设 g（ x） =-x2-8lnx+10x， x （ 0， 8， 则 g （ x） = ， x
13、 （ 0， 8， 令 g （ x） 0，解得： 1 x 4，令 g （ x） 0，解得： 4 x8 或 0 x 1， 故 g（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， 4）递增，在（ 4， 8递减， 6 故 g（ x）的最小值是 g（ 1）或 g（ 8）， 而 g（ 1） =9， g（ 8） =16-24ln3 4 9， c 4， 故 c g（ x） min=g（ 8） =16-24ln3， 即 c的取值范围是（ - ， 16-24ln3 20、 【答案】 解：（ 1） a=e时， f（ x） =ex-ex-1， h（ x） =f（ x） -g（ x） =ex-2x-1， h （ x） =ex-
14、2， 由 h （ x） 0，得 x ln2，由 h （ x） 0，解得： x ln2， 故函数 h（ x）在（ ln2， + ）递增，在（ - ， ln2）递减； f （ x） =ex-e， x 1时， f （ x） 0， f（ x）在（ - ， 1）递减， x 1时， f （ x） 0， f（ x）在（ 1， + ）递增， m1 时， f（ x）在（ - ， m递减，值域是 em-em-1， + ）， g（ x） =（ 2-e） x在（ m， + ）递减，值域是（ - ，（ 2-e） m）， F（ x）的值域是 R，故 em-em-1 （ 2-e） m， 即 em-2m-10 ，（ *），
15、由 可知 m 0时， h（ x） =em-2m-1 h（ 0） =0，故（ *）不成立， h（ m）在（ 0， ln2）递减，在（ ln2， 1）递增，且 h（ 0） =0， h（ 1） =e-3 0， 0 m1 时， h（ m） 0 恒成立，故 0 m1 ； m 1时， f（ x）在（ - ， 1）递减，在（ 1， m递增， 故函数 f（ x） =ex-ex-1在（ - ， m上的值域是 f（ 1）， + ），即 -1， + ）， g（ x） =（ 2-e） x在（ m， + ）上递减，值域是（ - ，（ 2-e） m）， F（ x）的值域是 R， -1 （ 2-e） m，即 1 m ， 综
16、上， m的范围是 0， ； （ 2）证明： f （ x） =ex-a， 若 a0 ，则 f （ x） 0，此时 f（ x）在 R递增， 由 f（ x1） =f（ x2），可得 x1=x2，与 |x1-x2|1 矛盾， a 0 且 f（ x）在（ - ， lna递减，在 lna， + ）递增， 若 x1， x2 （ - ， lna，则由 f（ x1） =f（ x2）可得 x1=x2，与 |x1-x2|1 矛盾， 同样不能有 x1， x2 lna， + ）， 不妨设 0 x1 x22 ，则有 0 x1 lna x22 ， f（ x）在（ x1， lna）递减，在（ lna， x2）递增，且 f（ x1） =f（ x2）， x1 x x2时， f（ x） f（ x1） =f（ x2）， 由 0 x1 x22 且 |x1-x2|1 ，得 1 x1， x2， 故 f（ 1） f（ x1） =f（ x2），
