1、 0 修远中学 2017-2018 学年度第二学期第二次阶段测试 高二数学 (理科 )试题 本试卷满分分，考试时间分钟。 一、 填空题 （本题包括 14 小题，每小题 5分，共 70 分。答案写在答题卡相应位置） 1、 复数 2i1iz? ?（ i为虚数单位 ） 的实部是 。 2、 点 P 的极坐标为 (2, )3? ，以极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系 ， 且在两种坐标系中取相同的长度单位 ， 则 P 点的直角坐标为 。 3、 46C + 56C 的值为 。 4、 6 人排成一排，则甲不站 在 排头的排法有 种 。 5、 ? 101 k= 011A k?，则 A
2、= 。 6、 随机变量 X 的概率分布如下 : X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 p 0.3 则 ()EX? 。 7、若一个口袋中装有 5个白球和 3个黑球，从中任取两个球，至少有一个白球的概率 是 。 8、 8)1( xx? 的展开式中，常数项为 。 （用数字作答） 9、 .椭圆 14 )2y(x 22 ? 在矩阵 1001?作用下变换所得的图形对应的曲线方程 为 。 10、 已知 46nnCC? ， 设 20 1 2( 3 4 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn nx a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 12 na a a? ? ? ? 。 1
3、1、 若 0nC + 12nC + 24nC + ? 2nnnC 729? ，则 1 2 3 nn n n nC C C C? ? ? ? ? 。 12、 从 2 2 21 1 , 2 3 4 3 , 3 4 5 6 7 5? ? ? ? ? ? ? ? ?中归纳出的一般结论为： 。 1 13、 数学与文学 之间存在着许多奇妙的联系 . 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如： 88， 454， 7337， 43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称
4、这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！ 二位的回文数有 11， 22， 33， 44， 55， 66， 77， 88， 99，共 9个； 三位的回文数有 101， 111， 121， 131，? ， 969， 979， 989， 999，共 90个； 四位的回文数有 1001， 1111， 1221，?， 9669， 9779， 9889， 9999，共 90个； 由此推测： 10位的回文数总共有 _ 个。 14、甲、乙两队进行一场排球比赛根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.5，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束设各局比赛相互之间没有影响用 ? 表示本场比赛的局数，
5、则 ? 的数学期望为 。 二、解答题 （本大题共 11小题 .请在答题纸指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、 （本题 14分） 已知复数 3 ( )z bi b R? ? ? ，且 (1 3)iz? 为纯虚数 （ 1）求复数 z ； （ 2）若 2zw i? ? ，求复数 w 的模 w 16、 （本题 14分） 已知直线 l 的参数方程为 12xtyt? ?， 曲线 C 的极坐标方程为 2cos? （ 1）将直线 l 的参数方程化为普通方程 ； 以极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系， 且在两种坐标系中取相同的长度单位 ， 将曲线 C 的
6、极坐标方程化为直 角坐标方程 ； （ 2）若 P 为直线 l 上任一点， Q 是曲线 C 上任一点，求 PQ 的最小值 2 17、 （本题 14分） 已知矩阵 M= 3212?，向量 ? = 93?； （ 1） 求 M 的逆矩阵 1M? ； （ 2） 求 5M? ； 18、（本题满分 16分） 在一次运动会上，某单位派出了有 6名主力队员和 5名替补队员组成的代表队参加比赛 。 （ 1）如果随机抽派 5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为 X，求随机变量 X的数学期望； （ 2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小，也不 宜同
7、时上场；那么为了场上参加比赛的 5名队员中至少有 3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 3 19、 （本题满分 16分） 如图，在 底面为正方形的 四棱锥 P ABCD? 中 ， 侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC? ， 点E 是 线段 PC 的中点 。 （ 1）求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小； （ 2） 若点 F 在线段 PB 上，使得 二面角 F DE B?的正弦值 为 33 ，求 PFPB 的值 20、随机变量 X 的分布列 ： ( ) ( 0 1 1 , 2 , )i i iP X x p p i n? ? ? ? ?，随机变量 X 的数学期望： ?1()niiiE
8、 X x p?， X 方差： 2 2 211( ) ( ) nni i i iiiV X x p x p? ? ? ?随机变量 X 的分布列为： ( ) (1 )k k n knP X k C p p ? ? ?（ 0 1, 0 ,1 , 2 , ,p k n? ? ? ） 求证：（ 1） 11 (1 , ,kknnk C n C k n k n N? ? ? ? 且 00 1)C? ； （ 2）随机变量 X 的数学期望 ()E X np? ； （ 3）随机变量 X 的方差 ( ) (1 )V X np p?。 修远中学 2017-2018学年度第二学期第二次阶段测试 高二数学（理）试题答案
9、本试卷满分分，考试时间分钟。 二、 填空题 （本题包括 小题，每小题分，共分。 答案写在答题卡相应位置 ） 1、 1? ； 2、 (1, 3) ； 3、 21 ； 4、 600 ； 5、 0110?； 6、 2.6 ； 7、 2528 ； A B C D F P E （第 19 题） 4 8、 70 ； 9、 22 ( 2) 14yx ?； 10、 1023 ； 11、 63 ； 12、 2( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 1 ) nn n n n N ? ? ? ? ? ? ? ? ； 13、 9000； 14、 125.4 （或 833 ） ； 二、解答题（本大题共 11小题 .请在答题
10、纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、 （本题 14分） 解：（ 1） (1 3 ) ( 3 ) ( 3 3 ) ( 9 )i b i b b i? ? ? ? ? ? ? ? 4分 (1 3)iz?是纯虚数 3 3 0b? ? ? ，且 90b? ? 6分 1b?， 3zi? ? ? ? 7分 （ 2） 3 ( 3 ) 2 7 7 12 2 2 5 5 5i i i iwii i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）（ ） （ ） ? 12分 2271( ) ( ) 255w? ? ? ? 14分（注：第二小问直接利用模的性质也行） 16、 （
11、本题 14分） 解：（ 1） 3xy? ? 4分 由 2cos? 得 2 2 cos? ? ? 222,x y x? ? ? 2220x y x? ? ? ? 8分 即 2211xy? ? ?() （ 2）圆心 (1,0)C 到直线 l 的距离为 1 0 3 22? 12分 ? PQ 的最小值 21? ? 14 分 5 17、（本题 14分） （ 1） 111 22 13 44M ? 4分 （ 2）由 f( )= 3212? ?= 2? -5 +4=0,解得 1=1， 2=4，? 6分 代入特征方程组求出相应的的特征向量分别为 1= 11?, 2= 21?.? 10 分 由 =m 1+n 2，
12、解得 m=1,n=4；? 12分 所以 5M = 13551211 2 8 1 9 3141 1 4 0 9 51214 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14分 18、 （本题满分 16分） 解：（ 1）随机变量 X的概率分布如下表： ? 5分 E（ X） =0 0565511CCC 1 1465511CCC 2 2365511CCC 3 3265511CCC 4 4165511CCC 5 5065511CCC=630231 ? 8分 （ 2） 上场队员有 3名主力，方案有：（ 3164CC? ）（ 2252CC? ） =1
13、44（种） ?10分 X 0 1 2 3 4 5 P 0565511CCC1465511CCC 2365511CCC 3265511CCC 4165511CCC 5065511CCC 6 上场队员有 4名主力，方案有：（ 4264CC? ） 15C =45（种） ?12分 上场队员有 5名主力，方案有：（ 5364CC? ） 05C = 4142CC=2（种） ? ?14分 教 练 员 组 队 方 案 共 有 144 45 2=191种 ? 16 分 19、（本题满分 16分） 解： （ 1） 在四棱锥 P ABCD中 ，底面 ABCD为正方形， 侧棱 PD 底面 ABCD， 所以 DA、 D
14、C、 DP两两垂直，故以 DA ， DC ， DP 为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz 因为 PD DC， 所以 DA DC DP，不妨设 DA DC DP 2， 则 D(0， 0， 0)， A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， B(2， 2， 0) 因为 E是 PC 的中点， 所以 E(0， 1， 1) 所以 AP ( 2， 0， 2)， BE ( 2， 1， 1)， 所以 cos AP BE|AP | |BE | 32 ， 从而 6 因此 异面直线 AP 与 BE所成角 的大小为 6 ? ? 6分 （ 2）由（ 1）可知， DE (0， 1， 1)，
15、 DB (2， 2， 0)， PB (2， 2， 2) 设 PF PB ， 则 PF (2 ， 2 ， 2 )，从而 DF DP PF (2 ， 2 ， 2 2 ) 设 m (x1， y1， z1)为平面 DEF的一个法向量， 则?m DF 0，m DE 0，即 ? x1 y1 (1 )z1 0，y1 z1 0，取 z1 ，则 y1 ， x1 2 1 x y z A B C D F P E （第 19 题） 7 所以 m (2 1， ， )为平面 DEF的一个法向量 ? 10分 设 n (x2， y2， z2)为平面 DEB的一个法向量， 则?n DB 0，n DE 0，即 ?2x2 2y2 0，y2 z2 0，取 x2 1，则 y2 1， z2 1 所以 n (1， 1， 1)为平面 BDE的一个法向量 ? 12分 因为 二面角 F DE B的正弦值 为 33 ，所以 二面角 F DE B的 余弦的绝对 值 为 63 ， 即 |cos| 63 ， 所以 |m n | m| | n | 63 ， |4 1|3 (2 1)2 2 2 63 ， 化简得， 4 2 1，因为点 F在线段 PB 上，所以 0 1， 所以 12， 即 PFPB 12 ? 16分 20、 （本题满分 16分）
