1、 1 江西省赣州市南康区 2016-2017学年高二数学下学期第一次月考（ 3 月）试题 理 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 不等式 2 01xx? ? 的解集为（ ） A ? ?| 0 2xx? B ? ?| 1 2xx? ? ? C ? ?|1xx? D R 2用数学归纳法证明 2 1 21 2 2 2 2 1 ( )nn nN? ? ? ? ? ? ? ? ?的过程中，在验证 1n? 时，左端计算所得的项为（ ） A 1 B 1+2 C 1+2+22 D 1+2+22+23 3 抛物线 24y
2、x? 焦点坐标为（ ） A、（ 1,0） B、 (0， 1) C、 (161 , 0) D、 (0， 161 ) 4 在等比数列 ?na 中，若 4 5 6 27aaa ? ，则 19aa? （ ） A 3 B 6 C.27 D 9 5 正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 ( ) A. 23 B. 33 C.23 D. 63 6已知双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )xyM a bab? ? ? ?的一个焦点到一条渐近线的距离为 23c（ c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率 e为（ ） A 73B 372C 377D 37 7如图，设
3、D是图中边长分别为 1和 2的矩形区域， E是 D内位于函数 1 ( 0)yxx?图象 下方的阴影部分区域，则阴影部分 E 的面积为（ ） A ln2 B 1 ln2 C 2 ln2 D 1+ln2 2 8若1 1( 2 ) 3 ln 2a x dxx? ? ? ，则 a 的值是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 9曲线 ln(2 1)yx?上的点到直线 2 3 0xy? ? ? 的最短距离是（ ） A 5 B 25 C 35 D 0 10函数 ( ) ( 3) xf x x e? 的单调递减区间是（ ） A ( ,2)? B (0,3) C (1,4) D (2, )? 11某地区为了绿
4、化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域? ?( , ) | 0, 0x y x y?内植树，第 1 棵树在点 1(0,1)A 处，第 2 棵树在点1(1,1)B 处，第 3 棵树在点 1(1,0)C 处，第 4 棵树在点 2(2,0)C 处，接着按图中箭头方向每隔 1 个单位种 1 棵树第 n 棵树所在点的坐标是(46,0) ，则 n? （ ） A 1936 B 2116 C 2017 D 2208 12 已知 ()fx为定义在 (0, )? 上的可导函数，且 ( ) ( )f x xf x? ，则不等式 2 1( ) ( ) 0x f f xx ?的解集为（ ） A (0,4) B (0
5、,3) C (0,2) D (0,1) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 2 220 1 ( 1) x x dx? ? ? ? 14曲线 53xye? ? 在点 (0, 2)? 处的切线方程 为 15命题 “ 存在 2, 2 1 0x R x ax? ? ? ?” 为假命题，则 a 的取值范围是 16设函数 32( ) 2 3 3f x x ax bx? ? ?在 1x? 及 2x? 时取得极值， 则 b 的值 为 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17 设命题 :p 实数 a 满足不等式 39a? ，命题 ? ?2: 3 3 9 0q x a x? ?
6、 ? ?的解集为 R . 3 已知“ pq? ” 为真命题，并记为条件 r ，且条件 :t 实数 a 满足 am? 或 12am?. （ 1）求条件 r 的等价条件（用 a 的取值 范围表示）； （ 2）若 r 是 t? 的必要不充分条件，求正整数 m 的值 . 18 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , )22f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一个周期的图像如图所示 . （ 1）求函数 ()fx的表达式； （ 2）若 24( ) ( )3 2 5ff ? ? ?，且 ? 为 ABC? 的 一个内角，求 sin cos? 的值 . 19 已知函数 (
7、 ) ln 1.f x x kx? ? ? （ 1）当 2k? 时，求函数的单调增区间； （ 2）若 ( ) 0fx? 恒成立，试确定实数 k 的取值范围 yx12?6?1O4 OFECBA20 如图，在四棱锥 A EFCB? 中， AEF 为等边三角形，平面 AEF? 平面 EFCB ， EF BC ，4BC? ， 2EF a? ， 60EBC FCB? ? ? ? ?， O 为 EF 的中点 (1) 求证： AO BE? ； (2) 求二面角 F AE B?的余弦值； 21已知函数 21( ) l n ( 1 ) ( ) .2f x x a x a x a R? ? ? ? ? （ I）
8、1a? 时，求函数 ()y f x? 的 零点个数； （ ）当 0a? 时，若函数 ()y f x? 在区间 1,e 上的最小值为 2? ，求 a 的值 22已知椭圆 C 的中心为坐标原点，其离心率为 22，椭圆 C 的一个焦点和抛物线 2 4xy? 的焦点重合 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过点 1( ,0)3S? 的动直线 l 交椭圆 C于 A、 B两点，试问：在平面上是否存在一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T，若存在，说出点 T 的坐标，若不存在，说明理由 5 数学（理科） 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题每小题 5分，共 60分在每小题
9、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卷内） 1 5： BCDDD 6 10： CDDAA 11 12： BD 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 832? 14 5x+y+2=0 15 1， 1 16 4 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17 解：（ 1）由 39a? ， 得 2a? ， 即 :2pa? 由 ? ?29 3 4 9 0a? ? ? ? ? ?， 解得 15a?，即:1 5qa? “ pq? ” 为 真命题， 2 1215a aa? ? ? ? ? ? 5分 （ 2 ）又 :t a m? 或 12am
10、?， 从而 1: 2t m a m? ? ? ? r 是 t? 的 必要不充分条件，即 t? 是 r 的 充分不必要条件， 11 22mm? ?， 解得 31 , , 12m m N m? ? ? ? ? ? 10分 18解：（ 1）从图知 max( ) 1fx ? ，则 1A? 函数 ()fx的周期为 4 ( )12 6T ? ? ? ? ? 2? 又 6x ? 时 0y? s in 2 ( ) 06? ? ? ? ? ?而 22? ? ? ，则 3? ?函数 ()fx的表达式为 ( ) sin(2 )3f x x ? 6分 （ 2）由 24( ) ( ) 2 s i n 2 c o s3
11、3 2 5ff ? ? ? ? ? ? 得 242 sin c o s 025? 又 (0, )? sin 0, cos 0? ? ? 222 4 7( s i n c o s ) 1 ( )2 5 5? ? ? ? ? 而 sin cos 0? 7sin cos 5? ? ? ? 12 分 19解：函数 y=f（ x）的定义域为（ 0， + ） 6 （ 1） 当 k=2时， f（ x） =lnx 2x+1，则 由 ，所以函数的单调增区间为 ? 6分 （ 2）由 f（ x） 0得 kx lnx+1，即 在（ 0， + ）上恒成立 令 ， 问题 ?max()k g x? 由 g（ x） 0得 0
12、 x 1，由 g（ x） 0得 x 1 g（ x）在（ 0， 1）为增区间，在（ 1， + ）为减区间， 当 x=1时， g（ x） max=g（ 1） =1故 k 1为所求 ? 12 分 20 解： (1)由于 平面 AEF? 平面 EFCB ， AEF 为等边三角形， O 为 EF 的中点， 则 AO EF? ，根据面面垂直性质定理， 所以 AO? 平面 EFCB，又 BE? 平面 EFCB ，则 AO BE? .? 6分 (2)取 CB的中点 D，连接 OD,以 O为原点，分别以 、 、OE OD OA 为 、 、xyz轴建立空间直角坐标系， (0,0 3 )Aa，( , 0 , 0 )
13、 , ( 2 , 2 3 3 , 0 ) , ( , 0 , 3 )E a B a A E a a? ? ?， ( 2 , 2 3 3 , 0 )E B a a? ? ?，由于平面AEF 与 y 轴垂直，则设平面 AEF 的法向量为 1 (0,1,0)n ? ，设平面 AEB 的法向量 2 ( , ,1)n x y? ，2 , - 3 0 , 3n A E a x a x? ? ?， 2n EB? ， ( 2 ) ( 2 3 3 ) 0a x a y? ? ? ?， 1y ? ，则 2n? ( 3, 1,1)? ，二面角 F AE B?的余弦值 12121215c o s , 55nnnnnn
14、? ? ? ? ? ? ?，由二面角 F AE B?为钝二面角，所以二面角 F AE B?的余弦值为 55? .? 12分 21解：（ 1） a=1时，函数 f（ x） =lnx+ x2 2x，（ x 0） 则 f （ x） = +x 2= = 0恒成立， 故函数 f（ x）在（ 0， + ）为增函数， f（ 1） = 0， f（ 4） =ln4 0， 故函数 y=f（ x）有且只有一个零点； ? 6分 7 （ 2） f（ x） =lnx+ x2（ a+1） x（ a 0）， f （ x） = +ax（ a+1） = ( 1)( 1)x axx?， 令 f （ x） =0，则 x=1，或 x=
15、 ， 当 1，即 a 1 时， f （ x） 0 在区间 1， e上恒成立，函数 y=f（ x）为增函数，此时当 x=1时，函数 取最小值 （ a+1） = 2，解得： a=2； 当 1 e，即 a 1 时， f （ x） 0在区间 1， 上恒成立，函数 y=f（ x）为减函数， f （ x） 0在区间 ， e上恒成立，函数 y=f（ x）为增函数， 此时当 x= 时，函数取最小值 lna+ = 2， 由 1l n 1 1 , 2y x y x e? ? ?与 在 上 无 交 点 知此时 不存在满足条件的 a值； 当 e，即 0 a 时， f （ x） 0 在区间 1， e上恒成立，函数 y=
16、f（ x）为减函数，此时当x=e时，函数取最小值 1+ e2 e（ a+1） = 2， 解得： a= 0（舍去）； 综上可得： a=2 ? ? 12 分 22 解：（ 1）抛物线焦点的坐标为（ 0， 1），则椭圆 C 的焦点在 y轴上 设椭圆方程为 由题意可得 c=1， ， ， 椭圆方程为 ? 6分 （ 2）若直线 l与 x轴重合，则以 AB为直径的圆是 x2+y2=1， 若直线 l 垂直于 x轴，则以 AB为直径的圆是 8 由 即两圆相切于点（ 1， 0） ? 因此所求的点 T如果存在，只能是（ 1， 0），事实上，点 T（ 1， 0）就是所求的点 ? 证明：当直线 l垂直于 x轴时，以 A
17、B 为直径的圆过点 T（ 1， 0），若直线 l不垂直于 x轴， 可设直线 l： 设点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 由 ， ? 又 =（ x1 1， y1）， =（ x2 1， y2）， =（ x1 1， y1） ?（ x2 1， y2） = = = =0 即： TA TB，故以 AB为直径的圆恒过点 T（ 1， 0） 综上可知：在坐标 平面上存在一个定点 T（ 1， 0）满足条件 ? 12 分 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库 】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！ 9
