1、 - 1 - 2017-2018 学年高二（ 下 ）开学 考试 理科数学 满分： 150分；考试时间： 120分钟 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60 分） 1（ 5分）已知命题 p： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0，则下列叙述正确的是（ ） A p 为： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0 B p为： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0 C p 为： ? x （ ， 1， 2x 1 1 0 D p是假命题 2（ 5分）已知 P为抛物线 C： y2=8x准线上任意一点， A（ 1， 3）、 B（ 1， 3），则 PAB的面积为（ ） A 10
2、B 9 C 8 D 7 3（ 5 分）九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A 6 B 9 C 12 D 15 4（ 5分）若 A（ 1， 2）， B（ 2， 3）， C（ 2， 5），则 ABC的形状（ ） A锐角三角形 B直角角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 5（ 5 分）设 f（ x）是定义在正整数集上的函数，且 f（ x）满足 “ 当 f（ k） k2成立时，总可推出 f（ k+1） （ k+1） 2” 成立 ” 那么，下列命 题总成立的是（ ） A若 f（ 2） 4成立，则当 k 1时，均
3、有 f（ k） k2成立 B若 f（ 4） 16成立，则当 k 4时，均有 f（ k） k2成立 C若 f（ 6） 36成立，则当 k 7时，均有 f（ k） k2成立 D若 f（ 7） =50成立，则当 k 7时，均有 f（ k） k2成立 6（ 5分）设 O是 ABC的外接圆圆心，且 ，则 AOC=（ ） A B C D 7（ 5分）六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿 A 处向南偏东 30 前进 50 米到达点 B处，在 B处测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是（ ） A 15m B 3
4、0m C 25m D 50m 8（ 5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，它们的横坐标之和- 2 - 等于 3，则这样的直线（ ） A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 9（ 5分）函数 f（ x） = 在区间 m， m上的最大值与最小值之和为（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 10（ 5 分）抛物线 y2=16x的焦点到双曲线 =1 的渐近线的距离是 （ ） A 1 B C 2 D 2 11（ 5 分）给出以下三个命题： 已知 P（ m， 4）是椭圆 + =1（ a b 0）上的一点， F1、 F2是左、右两个焦点，若 PF1F2
5、的内切圆的半径为 ，则此椭圆的离心率 e= ； 过双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点 F作斜率为 的直线交 C于 A， B两点，若 =4 ，则该双曲线的离心率 e= ； 已知 F1（ 2， 0）、 F2（ 2， 0）， P 是直线 x= 1 上一动点，若以 F1、 F2为焦点且过点 P 的双曲线的离心率为 e，则 e的取值范围是 2， + ） 其中真命题的个 数为（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 12（ 5分）已知变量 x、 y满足约束条件 ，且 z=x+2y的最小值为 3，则 的概率是（ ） A B C D 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20 分）
6、13（ 5分）已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的一个焦点为 F，过点 F的直线与双曲线C 交于 M， N两点，若仅存在三组 |MN|的值，使得 |MN|=6a，则双曲线 C的渐近线方程为 14（ 5分） F1， F2是椭圆 + =1的两个焦点，点 P是椭圆上任意一点，从 F1引 F1PF2的外角平分线的垂线，交 F2P的延长线于 M，则点 M的轨迹是 15（ 5 分）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售今年 110 平方米套房的销售将以每月 10%的增长率增长； 90平方米套房的销售将每月递增 10 套已知该地区今年- 3 - 1 月份销售 110平方米套房和 90
7、平方米套房均为 20 套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为 套（参考数据： 1.111 2.9， 1.112 3.1， 1.113 3.5） 16（ 5 分）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N分别是 CD， CC1的中点，给出 下列命题： （ 1）直线 ND与直线 AB所成角的正切值为 ； （ 2）直线 A1M与直线 AB所成角的正切值为 2 ； （ 3）直线 ND与直线 A1M垂直，以上命题正确的是 三、解答题（共 6小题，满分 70 分） 17（ 10 分）已知 ， 是互相垂直的两个单位向量， = + ， = （ 1）求 与 的夹角； （ 2）若 （ + ）
8、，求 的值 18（ 12 分）设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， （ 1）若 ， ABC的面积为 ，求 c； - 4 - （ 2）若 ，求 2c a的取值范 围 19（ 12分）已知 a 0，命题 p： |a m| ，命题 q：椭圆 +y2=1的离心率 e 满足 e （ ，） （ 1）若 q是真命题，求实数 a取值范围； （ 2）若 p是 q的充分条件，且 p不是 q的必要条件，求实数 m的值 20（ 12 分）已知数列 an的前 n项和为 Sn=n2+n （ 1）求数列 an的通项公式； - 5 - （ 2）设 bn=an?3n（ n N*），求数列 bn的前 n
9、项和 Tn 21（ 12分）某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200千克，每千克饲料的价格为 1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03元，购买饲料每次支付运费 300元 （ 1）求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； （ 2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5吨时，其价格可享受八五折优惠（即为原价的 85%）问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少，该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由 22（ 12 分）已知椭圆 C： =1（ a b 0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b （ 1）求椭圆 C的离心率； （ 2） 若点 M
10、（ ， ）在椭圆 C上，直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，与直线 OM 相交于点- 6 - N，且 N 是线段 AB的中点，求 |AB|的最大值 - 7 - 2017-2018学年高二（ 下 ）开学 考试 理科数学 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60 分） 1（ 5分）已知命题 p： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0，则下列叙述正确的是（ ） A p 为： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0 B p为： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0 C p 为： ? x （ ， 1， 2x 1 1 0 D p是假 命题 【解答】
11、解： 命题 p： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0， 命题 p为： ? x （ 1， + ）， 2x 1 1 0； f（ x） =2x 1 1在（ 1， + ）为增函数， f（ x） f（ 1） =0 故 p是真命题，即 p 是假命题 故选： D 2（ 5分）已知 P为抛物线 C： y2=8x准线上任意一点， A（ 1， 3）、 B（ 1， 3），则 PAB的面积为（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 【解答】 解：由题意，抛物线 C： y2=8x准线 l： x= 2， AB l， |AB|=6， PAB的面积为 =9， 故选： B 3（ 5 分）九章算术有这样一个问题：今有女
12、子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A 6 B 9 C 12 D 15 【解答】 解：设此数列为 an，由题意可知为等差数列，公差为 d 则 S7=21， a2+a5+a8=15， 则 7a1+ d=21， 3a1+12d=15， - 8 - 解得 a1= 3， d=2 a10= 3+9 2=15 故选： D 4（ 5分）若 A（ 1， 2）， B（ 2， 3）， C（ 2， 5），则 ABC的形状（ ） A锐角三 角形 B直角角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【解答】 解： A（ 1， 2）， B（ 2， 3）， C（ 2，
13、 5）， ， ， ， 则 AC AB ABC是直角三角形 故选： B 5（ 5 分）设 f（ x）是定义在正整数集上的函数，且 f（ x）满足 “ 当 f（ k） k2成立时，总可推出 f（ k+1） （ k+1） 2” 成立 ” 那么，下列命题总成立的是（ ） A若 f（ 2） 4成立，则当 k 1时，均有 f（ k） k2成立 B若 f（ 4） 16成立，则当 k 4时，均有 f（ k） k2成立 C若 f（ 6） 36成立， 则当 k 7时，均有 f（ k） k2成立 D若 f（ 7） =50成立，则当 k 7时，均有 f（ k） k2成立 【解答】 解：对于 A，当 k=1时，不一定有
14、 f（ k） k2成立； A命题错误； 对于 B，只能得出：对于任意的 k 4，均有 f（ k） k2成立， 不能得出：任意的 k 3，均有 f（ k） k2成立； B命题错误； 对于 C，根据逆否命题的真假性相同，由 f（ 6） 36 成立，能推出当 k 6 时，均有 f（ k） k2成立； C命题错误； 对于 D，根据逆否命题的真假性相同，由 f（ 7） =50 49，能得出对于任意的 k 7，均有 f（ k） k2成立； D命题正确 故选： D 6（ 5分）设 O是 ABC的外接圆圆心，且 ，则 AOC=（ ） - 9 - A B C D 【解答】 解：设圆 O的半径为 r，则： 由 得
15、 ， ； ； ； 即 r2+4r2+4r2cos AOC=3r2； ； 故选： B 7（ 5分）六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿 A 处向南偏东 30 前进 50 米到达点 B处，在 B处测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是（ ） A 15m B 30m C 25m D 50m 【解答】 解：如图所示 设水柱 CD的高度为 h 在 Rt ACD中， DAC=45 ， AC=h 在 Rt BCD中， CBD=30 ， BC= h 在 ABC中， CAB=60 ，由余弦定理可得： BC2=AC2+AB2 2AC?ABcos60 3h2=h2+502 ， 化为 2h2+50h 2500=0，解得 h=25 故选 C， - 10 - 8（ 5 分）过抛物线 y2=4x
