1、 广东省东莞市 2019-2020 学年 高一上学期期末考试试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分. 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1.已知全集 1,2,3,4,5U ，集合 1,3A ， 3,5B ，则 () U CAB （ ） A. 1,2,4,5 B. 1,3,5 C. 2,4 D. 1,5 【答案】C 【解析】由 1,3A ， 3,5B ， 所以 1,3,5AB
2、 ，又 1,2,3,4,5U ， 所以 ()2,4 U CAB ， 故选：C 2.直线 :3310lxy 的倾斜角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】A 【解析】 3310 xy ， 31 33 yx ， 3 3 k ， 由 3 tan 3 k ， 30 ， 故选：A 3.下列函数中，与函数 ( )1f xx (xR)的值域不相同的是（ ） A. ()yx xR B. 3( )yxxR C. ln (0)yx x D. e () x yxR 【答案】D 【解析】函数 ( )1f xx (xR)的值域为R. 对于 A，()yx xR值域为R； 对于 B， 3( )y
3、xxR值域为R； 对于 C， ln (0)yx x 值域为R； 对于 D，() x yexR值域为 0, ； 故选：D 4.已知 lg0.3a ， 0.2 2b ， 0.6 0.8c ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） A. acb B. cba C. b ac D. abc 【答案】A 【解析】由 lg0.3lg10a ， 0.20 221b ， 0.60 0.8.8100c ， acb ，故选：A 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 4- 3 B. 8- 3 C. 2 8- 3 D. 4 3 【答案】C 【解析】由几何体的三视图可知： 几何体是以2为
4、边长为正方体挖去一个底边半径为 1r ，高为 2h 的圆锥， 所以 32 12 28 33 Vrh. 故选：C. 6.东莞某中学高一（1）班组织研学活动，分别是 11 月 16 日参观“大国重器”散裂中子源中 心和 11 月 17 日参观科技强企华为松山湖总部，两个活动各有 30 个参加名额的限制. 为公 平起见，老师组织全班 50 名上报名，经过同学们激烈抢报，活动所有名额都被抢完，且有 12 名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额，则有（ ）名学生遗憾地未能抢到任何一 个活动的参加名额. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】作出韦恩图如下： 由图可知 5018 12
5、182 ，故选：B 7.已知直线 1: 20laxy 与直线 2:( 1)10laxya 垂直，则a（ ） A. 2 或1 B. 2 C. 1 D. 2 3 【答案】A 【解析】由直线 1: 20laxy 与直线 2:( 1)10laxya 垂直， 所以 120a a ，解得 2a 或1. 故选：A. 8.设 ,m n 表示不同的直线， , 表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 /m，/n，则/mn B. 若 /m， ，则m C. 若 /m，m ，则 / / D. 若m n ，m ，n ，则 【答案】D 【解析】对于 A，若 /m，/n，则 ,m n 平行、相交、异面均有可能，故
6、 A 不对； 对于 B，若 /m， ，则 ,m 可能垂直、平行，也可能m在面内，故 B 不对； 对于 C，若 /m，m ，则 , 平行、相交，故 C 不对； 对于 D，若m n ，m ，n ，由面面垂直的判定定理，则 ，故 D 对； 故选：D 9.方程 1 1 e20 1 x x 的根所在区间为（ ） A. (0 1)， B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【答案】B 【解析】令 1 1 e2 1 x fx x ， 由 0 1 11 0e230 01e f ， 1 1 13 1e20 22 f ， 2 1 11 2e2e20 33 f ， 120ff ，且函数单调递增， f
7、x 零点所在的区间为(1,2)， 故方程 1 1 e20 1 x x 的根所在区间为(1,2). 故选：B 10.小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm、20cm、5cm 的长方体.为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎.如图所示，彩绳以 A 为起 点，现沿着AB BCCDDEEFFGGHHA 环绕礼盒进行捆扎，其 中A、B、E、F分别为下底面各棱的中点，C D GH、 、 、 分别为上底面各棱上一点， 则所用包装彩绳的最短长度为（ ） A. (40+15 2)cm B. (40+30 2)cm C. (40+15 5)cm D. (40+30 5)cm
8、【答案】B 【解析】由图根据对称性FG GH HABCCDDE ， 用绳最短即FG GHHA 最小，且FG HA ，使 2GHHA 最小 如图，过H作HO垂直于点A所在的边于点O， 长方体的长、宽、高为20cm、20cm、5cm， 设 010OAxx ， 则 2 22 22252 102252 10GHHAf xxxxx ， 1 2 2 2 12 2252212 2 25 x fxxx x ， 令 0fx ，则 2 2 20 25 x x ，解得 5x ， 令 0fx ，则 2 2 20 25 x x ，解得 5x 令 0fx ，则 2 2 20 25 x x ，解得 5x ， 故 f x 在
9、 0,5 单调递减，在 5,10 单调递增， 所以 min 52 505 215 2f xf . 又 40ABEF ，所以用绳最短为 40+30 2 cm. 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分. 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.请把正请把正 确选项在答题卡中的相应位置涂黑确选项在答题卡中的相应位置涂黑 11.函数 m f xx x （其中m
10、R）的图象不可能 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ,0 ,0 m xx m x f xx mx xx x ， 则当 0m 时，函数 f x 在 0, 为增函数，在 ,m 为减函数，在 ,0m 为 增函数，即选项 D 满足题意； 当 0m 时，函数 f x 在 0, 为增函数，在 ,0 为减函数，即选项 A 满足题意； 当 0m 时，函数 f x 在 ,0 为减函数，在 0,m 为减函数，在 ,m 为增 函数，即选项 B 满足题意， 即函数 m f xx x （其中m R ）的图像不可能是选项 C， 故选：C. 12.如图， 在长方体 1111 ABCDABC D 中，
11、 1 4AAAB ， 2BC ，M，N分别为棱 11 C D ， 1 CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A. A MNB、 、 、 四点共面 B. 平面ADM 平面 11 CDDC C. 直线BN与 1 B M 所成角的为60 D. /BN 平面ADM 【答案】BC 【解析】对于 A，由图显然AM、BN是异面直线，故A M NB、 、 、 四点不共面，故 A 错误； 对于 B，由题意AD 平面 11 CDDC ，故平面ADM 平面 11 CDDC ，故 B 正确； 对于 C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知三角形BON为等边三角形，故 C 正确； 对于 D， /BN 平面 11 AA
12、D D ，显然BN与平面ADM不平行，故 D 错误； 故选：BC. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13.函数 1 5 1 yx x 的定义域是_.（结果写成集合或区间） 【答案】 5x x 且 1x 【解析】使函数 1 5 1 yx x 有意义，即 50 10 x x ， 解得 5x 且 1x ，故函数的定义域为 5x x 且 1x . 故答案为： 5x x 且 1x . 14.已知直线 1: 10lxay 与 2:2 10lxy 平行，则 1 l 与 2 l
13、之间的距离为_ 【答案】 3 5 5 【解析】由直线 1: 10lxay 与 2:2 10lxy 平行， 则 1 2 a ，即 1 2 a ，故直线 1 1 :10 2 lxy ，化为2 20 xy ， 又 2:2 10lxy ，故 1 l 与 2 l 之间的距离为 22 2 133 5 55 21 ， 故答案为： 3 5 5 15.我国古代数学名著九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳 马”，现有一“阳马”如图所示，PA 平面ABCD， 4PA ， 3AB ， 1AD ，则该“阳 马”外接球的表面积为_. 【答案】20 【解析】由题意，以 4PA ， 3AB ， 1AD
14、为棱作长方体， 长方体的对角线即为外接球的直径， 设外接球的半径为R，则 2 22 431 5 2 R 故 2 420SR.故答案为：20. 16.已知点 (0,0),(4,0),(0,4)OAB . 若从点 (1,0)P 射出的光线经直线AB反射后过点 ( 2,0)Q ，则反射光线所在直线的方程为_；若从点 ( ,0),(0,4)M mm 射出 的光线经直线AB反射， 再经直线OB反射后回到点M， 则光线所经过的路程是_ （结果用m表示）. 【解析】设点 (1,0)P 关于直线AB的对称点为 00 ,P x y ，直线AB： 40 xy ， 所以 0 0 00 0 11 1 10 40 22
15、 y x xy 解得 0 4x ， 0 3y ，故 4,3 P ，由 ( 2,0)Q P Q ： 3 0 02 42 yx ，即 220 xy-+= . 点 ( ,0),(0,4)M mm 关于 y 轴对称点 ,0Pm ，设关于直线AB对称点 11 ,Px y ， 由 1 1 11 0 11 0 40 22 y xm xmy 解得 1 4x ， 1 4ym ，故 4,4Pm . 故 2 22 23244P Pmmm 故答案为： 220 xy-+= ； 2 232m 四、解答题四、解答题: 本大题共本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各
16、12 分，共分，共 70 分分. 解解 答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域 内，超出指定区域的答案无效内，超出指定区域的答案无效 17.已知集合 2 |log1Axx ， |13Bx axa . （1）当 1a 时，求A B； （2）若A BA ，求实数a的取值范围. 【解】 （1）由题意可知， |2Ax x 当 1|04aBxx时， |24ABxx （2） ABAQU ， BA ， 12a ， 3a . 18.已知 ABC 的三个顶点是 (0,3)A ， (2,1
17、)B ， ( 1,)Cm . （1）求边AB的垂直平分线方程； （2）若 ABC 的面积为8，求实数m的值. 【解】 （1） (0,3)(2,1)AB， ，线段AB的中点坐标为 1,2（） 记边AB的垂直平分线为l，则 1 ABl kk ， 3 1 1 02 l k ，得 1 l k = ， 线段AB的垂直平分线l的方程为 21 (1)yx ， 即 10 xy . （2） 22 (20)(3 1)2 2AB 直线 :11 (2) AB lyx ，即 30 xy 设点C到直线l的距离为d，则 22 134 2 11 mm d ， 411 2 28 222 m SAB d ， |4| 8m ， 1
18、2m 或 4 . 19.如图，在三棱柱 111 ABCABC 中，侧棱 1 CC 底面ABC，AB AC ，D，E，F分 别为棱 1 AA ， 1 BB ，BC的中点 （1）求证： 1 BC AF； （2）若 2AB ， 1 2 2BCCC ，求三棱锥D AEF 的体积； （3）判断直线CD与平面AEF的位置关系，并说明理由. 【解】证明： （1） 1 CC 平面ABC，AF 平面ABC， 1 CCAF ， ABAC ，F点为BC的中点， AFBC 又 1 CCBCC ， 1, CC BC 面 11 BCC B AF平面 11 BCC B 又 1 BC 平面 11 BCC B 1 AFBC ，
19、即 1 BCAF （2） 2,2 2ABACBC ，故 222 ABACBC ， ABAC 三棱柱 111 ABCABC 中，侧棱 1 CC 底面ABC， 1 AA 平面ABC AC 平面ABC, 1 AAAC 又 1 AAABAAC 平面 11 ABB A 即AC为三棱锥C ADE 的高 111 223 D AEFFADEC ADEADE VVVSAC 1112 (22) 2 2323 （3） / /CD 平面AEF，证明如下： 连接 ,DE DB ，记DB与AE相交于点G ,连接FG DE、 分别为 1 AA 和 1 BB 的中点， 故 ,/ /DABE DABE 四边形ABED为平行四边
20、形，G 为BD中点， 又 F为BC中点，/CDFG， CD 又 平面AEF，FG 平面AEF， /CD 平面AEF 20.已知函数 2 ( )1 e1 x f x . （1）判断 ( )f x 单调性，并说明理由； （2）判断 ( )f x 的奇偶性，并用定义证明； （3）若不等式 (2)(34 )0 xx fmf 对任意xR恒成立，求实数m的取值范围. 【解】 （1） ( )f x 是定义域 R 上的增函数. 设任意的 12 xxR， ，且 12 xx ，则 12 1221 12 222(ee ) ()()1(1) e1e1(e1)(e1) xx xxxx f xf x ， 因为 12 xx
21、 ,所以 12 ee0 xx ，又 21 e10e10 xx ， 所以 12 ( )0(f xf x ，即 12 ( )()f xf x ， 所以 ( )f x 是定义域 R 上的增函数. （2） ( )f x 是奇函数. 证明：因为 2e1 ( )1 e1e1 x xx f x ，定义域 R 关于原点对称， 所以对任意xR，都有 e11e ()( ) e1e1 xx xx fxf x ， 所以 ( )f x 是奇函数. （3）由（2）知 ( )f x 为R上的奇函数， 所以不等式 (2)(34 )0 xx fmf 对任意xR恒成立， 等价于 (2)(3 4 )(43) xxx fmff 对任
22、意xR恒成立. 又由（1）知， ( )f x 在定义域R上单调递增， 得2 43 xx m 对任意xR恒成立即 423 xx m 对任意xR恒成立. 设 ( )423 xx g x ,则 2 113 ( )423(2) 24 xxx g x ， 故 ( )g x 在R上的最大值为 13 4 ， 所以实数m的取值范围为 13 (,) 4 . 21.对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是 在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离， 这种距离即“曼哈顿距离”， 也叫“出 租车距离”.对于平面直角坐标系中的点 111 ( ,)P x y 和 222 (,)
23、P xy ，两点间的“曼哈顿距离” 121212 ( ,) |d P Pxxyy . （1） 如图， 若O为坐标原点，A，B两点坐标分别为(2,3)和(4,1)， 求 ( , )dOA ， ( ,)d O B ， ( , )d A B ； （2） 若点P满足 ( , )5d O P ， 试在图中画出点P的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； （3）已知函数 4 ( ),1,2f xx x ，试在 ( )f x 图象上找一点M，使得 ( ,)d O M 最小，并 求出此时点M的坐标. 【解】 （1）由题得 ( , ) |02|03| 5d O A ， ( , ) |04|0 1| 5d O B ，
24、 ( , ) |24|3 1| 4d A B . （2）设P点坐标为( , ) x y ，因为点P满足 ( , )5d O P ， 则| | 5xy ，P点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由） 该正方形所围成图形的面积 1 5 5 450 2 S . （3）设点M坐标为 4 ( , )x x ，则由题 4 ( ,) |d O Mx x ， 因为 1,2x ， 4 ( ,)d O Mx x . 设 ( )g x 4 x x ，任取 12 ,1,2x x ，且 12 xx ， 则 1212 12 44 ()()()()g xg xxx xx 12 12 44 ()()xx x
25、x 21 12 12 4() () xx xx x x 12 12 12 (4) () x x xx x x ， 12 ,1,2x x ，且 12 xx ， 121212 0,40,0 xxx xx x ， 12 ( )()0g xg x ， ( )g x 在1,2上是减函数， 当2x ，即点M的坐标为(2,2)时， min ( )(2)4g xg ，即 ( ,)d O M 最小为 4. 22.已知函数 ( )|1| 33f xx xx . （1）求函数 ( )f x 的零点； （2） 若关于x的方程 2( ) ( )0fxmf xn (mnR、)恰有5个不同的实数解， 求实数m 的取值范围.
26、 【解】 （1）由题得 2 2 23,(1) ( )133 43,(1) xxx f xx xx xxx 当 1x 时，令 ( )0f x ，得 3x 或 1x （舍） ； 当 1x 时，令 ( )0f x ，得 1x 或 3x ， 函数 ( )f x 的零点是 3 ，1，3. （2）作出函数 2 2 23,(1) ( )133 43,(1) xxx f xx xx xxx 的大致图象，如图： 令 ( )tf x ，若关于x的方程 2( ) ( )0fxmf xn 恰有 5 个不同的实数解 解法一：解法一：则函数 2 ( )g ttmtn 的零点分布情况如下： 当 1 1t ， 2 ( 1,4
27、)t 时，则 ( 1)0 (4)0 14 2 g g b a ，得 10 1640 14 2 mn mn m ，故 ( 2,3)m ； 当 1 4t ， 2 ( 1,4)t 时，则 (4)0 ( 1)0 14 2 g g b a ，得 1640 10 14 2 mn mn m ，故 (3,8)m . 综上所述，实数m的取值范围为 ( 2,3)(3,8)m . 解法二：解法二：则方程 2 0tmtn 的根的情况如下： 当 1 1t ， 2 ( 1,4)t 时，由 1 1t 得1 0mn ， 则方程 2 (1)0tmtm ，即( 1)(1)0ttm ， 故 2 1( 1,4)tm ，所以 ( 2,3)m ； 当 1 4t ， 2 ( 1,4)t 时，由 1 4t 得16 4 0m n ， 则方程 2 4(4)0tmtm ，即( 4)(4)0ttm ， 故 2 4( 1,4)tm ，所以 (3,8)m . 综上所述，实数m的取值范围为 ( 2,3)(3,8)m .
