1、医用高等数学医用高等数学第二章 微分学微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数从微观上研究函数)医用高等数学导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 费马费马 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 莱布尼兹莱布尼兹 英国数学家英国数学家 牛顿牛顿医用高等数学二、二、导数的定义及其几何意义导数的定义及其几何意义 三、函数的可导与连续的关系三、函数的可导与连续的关系 一、实例一、实例第一节 导数的概念医用高等数学1.1
2、.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度0t0,tt取一邻近于 的时刻,t运动时间tt0,tt当时取极限得取极限得一、实例一、实例设一质点沿直线做变速直线运动设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为其运动规律为()ss t求时刻求时刻 的瞬时速度的瞬时速度.0tsvt00()()s tts tt平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度0000()()limlimtts tts tvvt 医用高等数学2.细胞的增殖速度细胞的增殖速度 设增殖细胞在某一时刻设增殖细胞在某一时刻 的总数为的总数为 ,显然显然 是时间是时间 的函数的函数tNNt()NN t求细胞在时刻求细胞在时刻 的瞬时增长率的瞬时增
3、长率.0t从从 变化到变化到 这段时间内这段时间内,细胞的平均增长率为细胞的平均增长率为0t0tt00()()N ttN tNtt0,t 当时取极限得取极限得瞬时增长率瞬时增长率=0000()()limlimttN ttN tNtt 医用高等数学,)(,)(,)()(limlim);()(,)(,)(000000000000 xxxxyxxxfyxxfyxxfxxfxy xyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为的导数的导数处关于处关于在点在点函数函数并称这个极限为并称这个极限为处可导处可导在点在点则称函数则称函数存在存在之比的极限之比的极限与与如果如果有增量有增量相应地函数相应地函数时时
4、仍在该邻域内仍在该邻域内点点处有增量处有增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义2-12-100(),.x xx xdydf xdxdx0(),f x二、导数的定义及导数的几何意义二、导数的定义及导数的几何意义医用高等数学xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即注意注意 若极限不存在若极限不存在,就称函数就称函数 在点在点 处不可导处不可导;()f x0 x由导数定义由导数定义变速直线运动的质点在时刻变速直线运动的质点在时刻 的瞬时速度为的瞬时速度为0()vs t0t细胞在时刻细胞在时刻 的瞬时增殖速度为的瞬时增殖速度为0t
5、0()N t若不可导若不可导,且极限为无穷大且极限为无穷大,为方便起见为方便起见,记为记为 .也也0()fx 0 x()f x称函数称函数 在点在点 处的导数为无穷大处的导数为无穷大.医用高等数学单侧导数单侧导数左导数左导数00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 右导数右导数00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 注意注意 函数在一点可导的充分必要条件为函数在一点可导的充分必要条件为：00()()fxfx ()(,),()(,).yf xa bf xa b如果函数在开区间内的每一点都可导 就称函数在开区间内可导（1）导函数导函数医用高等数学 ,(
6、).().,(),().xIf xf xyfxdydf xdxdx对于任一都对应着的一个确定的导数值 这个函数叫做原来函数的导函数 记作或0()()limxf xxf xyx 即很明显很明显00()()x xfxfx如果如果)(xf在开区间在开区间内可导内可导,且且及及（2）(,)a b()fa()fb都存在都存在,就说就说在闭区间在闭区间上可导上可导.,a b()f x医用高等数学解解222()()()2()yf xxf xxxxx xx ()()2yf xxf xxxxx00limlim(2)2xxyyxxxx 已知函数已知函数 ,求求例例2-12yxy例例2-2已知函数已知函数 求导函数
7、求导函数 及及()f xxy1xyyxxx 解解()()1yxxxxxxxxxxxx xxxxxx 医用高等数学0011limlim2xxyyxxxxx 112xy 例例2-3 据据19851985年人口调查年人口调查,我国有我国有10.1510.15亿人口亿人口,人口人口平均年增长率为平均年增长率为1.4891.489,根据马尔萨斯根据马尔萨斯(Malthus)(Malthus)人口理人口理论论,我国人口增长模型为我国人口增长模型为其中，其中，代表年数代表年数 ,并定义并定义19851985年为这个模型年为这个模型的起始年的起始年 .按照此模型可以预测我国在按照此模型可以预测我国在20052
8、005年人口将年人口将有有13.671013.6710亿亿.求我国人口增长率函数求我国人口增长率函数?怎样控制人口增长怎样控制人口增长速度？速度？x(0,1,2,)0 x 0.01489()10.15xf xe医用高等数学解解0.014890.01489()()10.15(1)xxyf xxf xee 0.014890.01489(1)10.15xxyeexx0.014890.01489001lim10.15limxxxxyeexx 0.0148910.150.01489xe0.01489(10.01489)xex 所以人口增长率函数为所以人口增长率函数为0.01489()0.01489 10
9、.15xfxe 让人口年增长率让人口年增长率0.01489变小变小,人口的增长速度就变小人口的增长速度就变小,故可控制人口的增长故可控制人口的增长.医用高等数学导数的几何意义导数的几何意义切线：割线的极限切线：割线的极限 割线割线MN绕绕点点M旋转而趋旋转而趋向极限位置向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线在就称为曲线在点点M处的切线处的切线.MTyoxNNNN医用高等数学00(,),(,).M xyN x y设MN割线的斜率为00tanyyxx00()()f xxf xxMT切 线的 斜 率 为0000()()tanlim()xf xxf xkfxx,0CNMx 沿曲线当当所以所以 T0 x
10、0 xxxoxy)(xfy CNxyM医用高等数学切线方程为切线方程为000()().yyfxxx法线方程为法线方程为00001()(f(x)0).()yyxxfx 导数的几何意义为导数的几何意义为:00(,()xf x在处的 T0 xoxy)(xfy M000()fxyf xM xf x表示曲线（）在点（，（）处的切线的斜率tan。医用高等数学例例2-52(3,9).yx求曲线在点处的切线方程和法线方程96(3)yx690yx即法线方程为19(3)6yx 6570yx即36xky根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为 解解 由例由例2-1有有,，36xy2yx 2(3
11、,9)yx故曲线在点处的切线方程为医用高等数学 可导的函数一定是连续的可导的函数一定是连续的证明证明0(),f xx设函数在点可导 则00lim()xyfxx 000limlim()xxyfxxx 00().yf xx函数在点连续三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系0()yfxx即即0()yfxxx 0(0)x 其中其中医用高等数学比如比如()0f xxx函数在处连续但不可导.xy xyo解解(0)(0)xfxfhx00(0)(0)limlim1xhfxfxxx 00(0)(0)limlim1xhfxfxxx (0)(0)ff即()0.yf xx函数在点不可导反之不成立反之不成立.即连续不一定可导即连续不一定可导医用高等数学1.导数的定义与实质导数的定义与实质:瞬时变化率瞬时变化率3.导数的几何意义导数的几何意义 切线的斜率切线的斜率 4.可导与连续的关系可导与连续的关系 函数可导一定连续函数可导一定连续,但连续但连续不一定可导不一定可导主主 要要 内内 容容0002.()()()fxafxfxa作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.
