1、 - 1 - 2016-2017 学年甘肃省天水高二（下）期中数学试卷 一、选择题 1已知全集 U=R，集合 M=x|x 1| 2，则 ?UM=（ ） A x| 1 x 3 B x| 1 x 3 C x|x 1，或 x 3 D x|x 1，或 x 3 2已知点 P的极坐标是（ 1， ），则过点 P且垂直极轴所在直线的直线方程是（ ） A =1 B =cos C = D = 3若 a 1，则不等式 |x|+a 1的解集是（ ） A x|a 1 x 1 a B x|x a 1或 x 1 a C ? D R 4方程 ，表示的曲线上的一个点的坐标是（ ） A（ 2， 7） B（ 1， 0） C（ ，
2、） D（ ， ） 5已知等比数列 an的各项均为正数，公比 q 1，设 ， ，则 P与 Q的大小关系是（ ） A P Q B P Q C P=Q D无法确定 6点 P（ x， y）在 （ 为参数）上，则 x+y的最大值为（ ） A 3+ B 5+ C 5 D 6 7若 | | 则实数 x的取值范围是（ ） A（ 1， 0） B C（ ， 1） （ 0， + ） D（ ， 1 ， + =a（ m 0， n 0）求证： m+2n 4 18（ 10分）设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1， 证明：（ 1） ab+bc+ca ； （ 2） + + 1 四、兰天班同学做下题 - 2 - 19
3、已知 a， b均为正数，且 a+b=1，证明： （ 1）（ ax+by） 2 ax2+by2 （ 2）（ a+ ） 2+（ b+ ） 2 - 3 - 2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知全集 U=R，集合 M=x|x 1| 2，则 ?UM=（ ） A x| 1 x 3 B x| 1 x 3 C x|x 1，或 x 3 D x|x 1，或 x 3 【考点】 1F：补集及其运算 【分析】由题意全集 U=R，集合 M=x|x 1| 2，然后根据交集的定义和运算法则进行计算 【解答】解：因为集合 M=x|x 1| 2=x| 1 x 3，全集
4、 U=R， CUM=x|x 1，或 x 3 故选 C 【点评】本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题 2已知点 P的极坐标是（ 1， ），则过点 P且垂直极轴所在直线 的直线方程是（ ） A =1 B =cos C = D = 【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】利用点 P的直角坐标是（ 1， 0），过点 P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x=1，化为极坐标方程，得到答案 【解答】解：点 P的直角坐标是（ 1， 0），则过点 P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x= 1， 化为极坐标方程为 cos= 1，即 ， 故选 C 【点评】本题考查参数方程与普通方程之
5、间的转化，得到过点 P 且垂直极轴所在直线的直线方程是 x= 1，是解题的关键 3若 a 1， 则不等式 |x|+a 1的解集是（ ） A x|a 1 x 1 a B x|x a 1或 x 1 a - 4 - C ? D R 【考点】 R5：绝对值不等式的解法 【分析】根据不等式的性质以及绝对值的应用判断即可 【解答】解：由 |x|+a 1，得 |x| 1 a， a 1， 1 a 0， 故不等式的解集是 R， 故选： D 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的应用，是一道基础题 4方程 ，表示的曲线上的一个点的坐标是（ ） A（ 2， 7） B（ 1， 0） C（ ， ） D（ ，
6、 ） 【考点】 QH：参数方程化成普通方程 【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可 【解答】解： cos2=1 2sin2=1 2x2=y， 方程 ，（ 为参数且 R）表示 x2= （ 1 y）， 将点代入验证得 C适合方程， 故选： C 【点评】本题主要考查了抛物线的参数方程化成普通方程，解题的关键是消参，属于基础题 5已知等比数列 an的各项均为正数，公比 q 1，设 ， ，则 P与 Q的大小关系是（ ） A P Q B P Q C P=Q D无法确定 【考点 】 8G：等比数列的性质 【分析】由等比数列的通项公式知 = ，再由均值不等式知= 【解答】
7、解： 等比数列 an的各项均为正数，公比 q 1， = ， - 5 - 故选 A 【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和均值不等式的合理运用 6点 P（ x， y）在 （ 为参数）上，则 x+y的最大值为（ ） A 3+ B 5+ C 5 D 6 【考点】 QL：椭圆的参数方程； QH：参数方程化成普通方程 【分析】由已知可得： x+y=2+2cos +1+sin ，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出 【解答】解：由已知可得： x+y=2+2cos +1+sin=3 + 3+ ，（ =arctan2 ）， 当且仅当 sin（ + ） =1时取等号 故选： A
8、 【点评】本题考查了椭圆的参数方程、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7若 | | 则实数 x的取值范围是（ ） A（ 1， 0） B C（ ， 1） （ 0， + ） D（ ， 1 ， + =a（ m 0， n 0）求证： m+2n 4 【考点】 R6：不 等式的证明； R5：绝对值不等式的解法 【分析】对第（ 1）问，将 a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可； 对第（ 2）问，先由已知解集 x|0 x 2确定 a 值，再将 “m +2n” 改写为 “ （ m+2n）（ + ） ” ，展开后利用基本不等式可完成证明 【解答】解：（ 1）当
9、 a=2时，不等式 f（ x） 4 |x 1|即为 |x 2| 4 |x 1|， 当 x 1时，原不等式化为 2 x 4+（ x 1），得 x ， 故 x ； 当 1 x 2时，原不等式化为 2 x 4（ x 1），得 2 5， 故 1 x 2不是原不等式的解； 当 x 2时，原不等式化为 x 2 4（ x 1），得 x ， - 6 - 故 x 综合 、 、 知，原不等式的解集为（ ， ） ， + ） （ 2）证明：由 f（ x） 1得 |x a| 1，从而 1+a x 1+a， f（ x） 1的解集为 x|0 x 2， 得 a=1， + =a=1 又 m 0， n 0， m+2n=（ m+2
10、n ）（ + ） =2+（ + ） 2+2 =4， 当且仅当 = 即 m=2n时及 m=2， n=1时，等号成立， m+2n=4， 故 m+2n 4，得证 【点评】本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力 18（ 10分）（ 2015?澄城县校级模拟）设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1， 证明：（ 1） ab+bc+ca ； （ 2） + + 1 【考点】 R6：不等式的证明 【分析】（ 1） a2+b2 2ab， b2+c2 2bc， c2+a2 2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证； （ 2） +b 2a， +c 2b， +a 2c，
11、运用累加法和条件 a+b+c=1，即可得证 【解答】证明：（ 1）由 a2+b2 2ab， b2+c2 2bc， c2+a2 2ca， 可得 a2+b2+c2 ab+bc+ca，（当且仅当 a=b=c取得等号） 由题设可得（ a+b+c） 2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， 即有 3（ ab+bc+ca） 1，则 ab+bc+ca ； （ 2） +b 2a， +c 2b， +a 2c， - 7 - 故 + + +（ a+b+c） 2（ a+b+c）， 即有 + + a+b+c（当且仅当 a=b=c取得等号） 故 + + 1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等
12、式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题 四、兰天班同学做下题 19（ 2015?宝鸡二模）已知 a， b均为正数，且 a+b=1，证明： （ 1）（ ax+by） 2 ax2+by2 （ 2）（ a+ ） 2+（ b+ ） 2 【考点】 R6：不等式的证明 【分析】（ 1）将所证的关系式作差（ ax+by） 2（ ax2+by2） =a（ a 1） x2+b（ b 1） y2+2abxy利用 a+b=1，整理，可得 a（ a 1） x2+b（ b 1） y2+2abxy= ab（ x y） 2 0，当且仅当 x=y时等号成立； （ 2 ） 将 所 证 的 不 等 式 左 端 展 开 ， 转 化 为，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立 【解答】证明：（ 1）（ ax+by） 2（ ax2+by2） =a（ a 1） x2+b（ b 1） y2+2abxy， 因为 a+b=1， 所以 a 1= b， b 1= a，又 a， b均为正数， 所以 a（ a 1） x2+b（ b 1） y2+2abxy= ab（ x2+y2 2xy） = ab（ x y） 2 0，当且仅当 x=y时等号成立； （ 2 ）- 8 - = 当且仅当 a=b时等号成立 【点评】本题考 查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题
