1、 【题型综述题型综述】 函数极值问题的常见类型及解题策略函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号 （2）求函数 ( ) fx极值的方法： 确定函数 ( ) fx的定义域 求导函数 ( ) fx 求方程 ( ) 0fx?的根 检查 ( ) fx在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么 ( ) fx在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么 ( ) fx在这个根处取得极小值；如果 ( ) fx在这个根的左、右两侧 符号不变，则 ( ) fx在这个根处没有极值 （3）利用极值求参数的取值范围：确定函
2、数的定义域，求导数 ( ) fx ，求方程 ( ) 0fx? 的根的情 况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 22 ( )(23 )(), x f xxaxaa exR其中aR 当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率； w.w.w.zxxk.c.o.m 当 2 3 a 时，求函数( )f x的单调区间与极值. a若 3 2 ，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： x 2a， 2a aa22 ， a2 ，a2 + 0 0 + 极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)2
3、2()2()2()(aaaaxf .)34()2()2(2)( 2 a eaafafaxxf，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)( 2a aeafafaxxf ，且处取得极小值在函数&网 例 2已知函数 ( ) 2 2ln axb fxx x - =-的图象在1x=处的切线过点( ) 0,22a-，,Ra b. （1）若 8 5 ab+=，求函数 ( ) fx的极值点； （2）设 ()1212 ,x xxx是函数 ( ) fx的两个极值点，若 1 1 1 e x，证明： ()( )21 1fxfx-.（提示 2 e7.40） 【思路引导】 （1）求导 ( ) 2 2 2axx b fx
4、 x -+ =，则 ( ) 12fa b =+ -.又 ( ) 1fa b=-，曲线 ( ) yf x=在1x=处的切线 过点( ) 0,22a-利用斜率相等 () 22 2 1 0 aba a b - =+ - - ，可得ab=.，又 8 5 ab+=，可得 4 5 ab=， 则 ( ) 2 2520fxxx=-+ = ，可得函数 ( ) fx的极值点. （2） 由题 12 ,x x是方程 ( ) 2 2 2 0 axxa fx x -+ =的两个根， 则 12 1x x =， 1 2 121 22 1 x a xxx = + ， 由 1 1 1 e x， 0a， ( )1 fx是函数 (
5、) fx的极大值， ( )2 fx是函数 ( ) fx的极小值，要证 ()( )21 1fxfx-，只需 ( )( )12 1f xf x-，计算整理可得 ( )( )12 f xf x-= 2 2 1 1 2 1 11 4ln 12 x x x 骣 - 琪 - 琪 + 桫 ，令 2 1 tx=，则 2 1 1 e t ，设 ( ) 11 ln 12 t h tt t - =- + ，利用导数讨论函数 ( ) h t的性质即可得证. （2） 12 ,x x是方程 ( ) 2 2 2 0 axxa fx x -+ =的两个根， 12 1x x =， 1 2 121 22 1 x a xxx =
6、+ ， 1 1 1 e x， 0a， ( )1 fx是函数 ( ) fx的极大值， ( )2 fx是函数 ( ) fx的极小值，要证 ()( )21 1fxfx-，只需 ( )( )12 1f xf x-， ( )()1211 1 2ln a fxfxaxx x -=- 22 2 2ln a axx x 骣 琪 -= 琪 桫 11 1 22ln a axx x 骣 琪 - 琪 桫 2 1 1 2 1 1 4ln 1 x x x 骣 - 琪 =-= 琪 + 桫 2 2 1 1 2 1 11 4ln 12 x x x 骣 - 琪 - 琪 + 桫 ， 令 2 1 tx=， 则 2 1 1 e t ，
7、 设 ( ) 11 ln 12 t h tt t - =-= + 21 1ln 12 t t - + ，则 ( ) () () 2 2 1 0 21 t h t t t - =- + ，函数 ( ) h t在 2 1 ,1 e 骣 琪 琪 桫 上单调递减， ( ) 22 12 ee1 h th 骣 琪= 琪 + 桫 ， ( )()12 2 1 4 e fxfxh 骣 琪-= 琪 桫 2 8 1 e1 时， ( ) fx在区间 ,1a a+上单调递增. 综上所述： 当 14 3 a ?或1a时， ( ) fx在区间 ,1a a+上单调递增； 当 1411 33 a-?时， ( ) fx在区间上
8、11 , 3 a 轹 - 滕 上单调递增，在 11, 1 3 a 纟 -+ 棼 上单调递减； 当 11 0 3 a-?时， ( ) fx在区间 ,1a a+上单调递减； 当01a ?时， ( ) fx在区间 ) ,1a上单调递减，在( 1,1a+上单调递增. &网 点评：解答本题的易错点有两个： （1）在第一问中忽视了对,m n值的检验，因为导函数的零点是函数极值 点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误 （2）第二问中不能熟练地通过对a进行分类讨论求解；还 有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 浙江七彩联盟期中】已知函数 证明：函
9、数存在唯一的极值点，并求出该极值点； 若函数的极值为 1，试证明： 来源: 【思路引导】 根据导数和函数的极值的关系即可证明， 证明，只要证，令，利用导数和函数的最值得关系， 和函数零点的存在定理，以及利用反证法即可证明 【解析】 由可得， 要证明，只要证， 令， ，易知在上单调递增， 且当时，当时， 存在唯一的实数 ，使得，即， 即， 来源: 在单调递减，在单调递增， ， 下面证明， 利用反证法，假设， 即， 即， 则由可知， 这与矛盾， ， 即， 故 2 【2019 北京石景山区期末】已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，若有极小值，求实数 a 的取值范围 【思路引导】 （
10、1）将代入，再对函数求导，求出切线斜率，进而即可得出结果； （2）对函数求导，通过讨论 的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果. 【解析】 令，解得x，g（x） ，的变化情况如下表： x （0，a） a （a，+） 0 + g（x） 减 极小值 lna+2 增 若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意 若，即时， 所以，使得； 且当时，当时， 所以当时，x，f（x）的变化情况如下表： 0 + f（x） 减 极小值 增 所以 3 【2019 河南驻马店市期末】已知函数 （1）求函数的单调区间和的极值； （2）对于任意的，都有，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）对 f（x）求导，再求
11、导，得到二次导数恒大于 0，又，得到及的 x 的范围，即可 得到函数的单调区间及极值. （2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结 论. 【解析】 （2）依题意，只需 由（1）知，在上递减，在上递增， 在上的最小值为； 最大值为和中的较大者 而 ， 【同步训练】【同步训练】 1设 ( )() 2 ln21f xx xaxax=-+-， aR. （1）令 ( )( ) g xfx=，求 ( ) g x的单调区间；来源:ZXXK （2）已知 ( ) fx在1x=处取得极大值，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大
12、于零和小于零分别解出所对应的增减区 间，但要含参问题时则要注意讨论，由 ( ) 11 2 2 ax gxa xx = - =-，根据 a 的不同取值讨论即可得出单调区 间； （2）已知 ( ) fx在1x=处取得极大值，故 ( ) 10f=.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在 1 处取得极大值即可得出正确 a的取值范围 （2）由（1）知， ( ) 10f=. 当 a0时， ( ) fx 单调递增. 所以当 () 0,1x时， ( ) 0fx ， ( ) fx单调递增. 所以 ( ) fx在1x=处取得极小值，不合题意. 当 1 0 2 a，由（1）知 ( ) fx 在 1 0, 2a
13、骣 琪 琪 桫 内单调递增， 可得当 () 0,1x时， ( ) 0fx ， 所以 ( ) fx在( ) 0,1内单调递减，在 1 1, 2a 骣 琪 琪 桫 内单调递增，所以 ( ) fx在1x=处取得极小值，不合题意. 当 1 2 a =时，即 1 1 2a =时， ( ) fx在( ) 0,1内单调递增，在 ( ) 1,+?内单调递减，&网 来源: 2已知函数 ( )() 2 1 ln 2 fxx xxaxaR=-?，在定义域内有两个不同的极值点 1212 ,().x x xx 【思路引导】 (1) 函 数 ( )() 2 1 ln 2 fxx xxaxaR=-?， 在 定 义 域 内
14、有 两 个 不 同 的 极 值 点 1212 ,()x x xx分类判断单 调性及极限 ,求 出函数的极值,确 定 a 的范围； (2)证明 12 2xxe+, 即 证 12 2 xx a +, ()1121 21 2121 222121 xx2 xx lnxlnx axx(xx0) xxxxlnxlnx lna lna =- - =+ =- 即证, ()21 2121 21 2 xx lnxlnx(xx0) xx - - + 即证,构造函数 ( ) () 2 x 1 h xlnx(x1), x 1 - =- + 求导判断单调性求出 函数的最值,即可证明不等式成立. 试题解析:（I）令 ( )
15、( ) ln,g xfxxax =-由题意可知, ( )() 1212 g x00,x ,x ,xx ,=+=?=+ 琪琪 时，令在上单增单减 ( )( ) x 11 0,( )100, ae 1 0,. e xg xxg xgglnaa a 骣 琪+ 琪 桫 骣 琪 琪 桫 时时 的取值范围为 （II）由题意及（I）可知，即证 12 2 xx, a + () () 1121 21 2121 222121 21 2121 21 xx2 xx lnxlnx xx(xx0), xxxxlnxlnx 2 xx xx(xx0) xx lna a lna lnln =- - =+ =- - - + 即证
16、 即证 ( ) () ( ) () () () ( ) () ()( )( ) () 2 22 2 x 1x 114 (1),h0, x 1x x 1x x 1 2 x 12 x 1 1,10,(1), x 1x 1 h xlnxxx h xlnxh xhlnxx - =-=-= + + - + 设则 在上单增 2 1 x x1,. x =令则原不等式成立 3已知函数 ( ) 322 3f xxaxbx a=+ （）若函数 ( ) yf x=在1x =-时有极值 0，求常数 a,b 的值； （）若函数 ( )( ) sin2g xf xx=+在点 ( )() 0,0g处的切线平行于 x 轴，求
17、实数 b 的值 【思路引导】 （1）根据函数的极值点的概念得到 () () 2 13 60 11 30 fa b fab a -= -+ = -=- +-+= ，极值点既在切线上又在曲线上，得到 参数值.(2)根据导数的几何意义得到 ( ) 00g=，从而得到参数值. 4已知函数 ( ) lnf xxx=-， ( ) 2 2g xaxx=+ ( ) 0a. （1）求函数 ( ) fx在 1 ,e e 轾 犏 犏 臌 上的最值； （2）求函数 ( )( )( ) h xf xg x=+的极值点. 【思路引导】 （1）对函数 ( ) fx进行求导可得 ( ) 1 1fx x =-，求出极值，比较端
18、点值和极值即可得函数的最大值和最小 值； （2）对 ( ) h x进行求导可得 ( ) h x = 2 21axx x + + ，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与 0 的 关系，判断单调性得其极值. 试题解析： （1）依题意， ( ) 1 1fx x =-,令 1 10 x -=，解得1x=.因为 ( ) 11f=-， 11 1 ee f 骣 琪=- - 琪 桫 ， ( ) e1 ef= -，且 1 1 e11 e - -，故函数 ( ) fx在 1 ,e e 轾 犏 犏 臌 上的最大值为1-，最小值为1 e-. （2）依题意， ( )( )( ) h xf xg x=+= 2 lnx
19、axx+， ( ) 1 21hxax x =+ = 2 21axx x + + ，当0a，所以 ( ) 2 21axx hx x + + = ()()12 2a xxxx x - ， 其中 1 11 8 4 a x a - =-， 2 11 8 4 a x a +- =-.因为0a，所以 1 0 x ，所以当 2 0 xx，当 2 xx时， ( ) 0hx 时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增； （2）由题意得 ( ) 00f=，结合（1） 根据导函数 ( ) h x单调性分类讨论在0 x =处是否为极小值：当0a时， ( ) fx 在0 x =附近先减后增，为 极小值；当0a时，按ln
20、a与零大小关系进行二次讨论：ln0a时， ( )() ,lnfxa-? 在单 调递减； ( ) fx 在0 x =附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围. （3）当1a=时，由（）知 ( ) fx 在区间( ) ,lna-?单调递减， ( ) fx 在区间( ) ln , a +?单调递增， 所以 ( ) fx 在lnxa=处取得最小值，即 ( )()( ) ln00fxfaf = ?， 所以函数 ( ) fx在R上单调递增， 所以 ( ) fx在0 x =处无极值，不符合题意. （4）当1a时， ln0a，由（）知 ( ) fx 的减区间为( ) ,lna-?， 所以当 () ,0
21、 x?时， ( )( ) 00fxf =，当 () 0,lnxa时， ( )( ) 00fxf 恒成立，求c的取值范围 【思路引导】 （1）求出导函数 ( ) fx ，利用 ( ) 10f-=，且 ( ) 2f=0，解方程组可求得 3 2 6 a b =- =- ； （2）利用导数研究 函数 ( ) fx的单调性，可得函数 ( ) fx在 2,3x?时， ( ) fx的最小值为10c-，只需102cc-即可 求c的取值范围. （2）由（1）知 ( ) 32 3 6 2 fxxxxc=-+， ( ) 2 336fxxx =-， 当x变化时， ( )( ) ,fxfx 随x的变化如下表： x -2
22、 () 2, 1- -1 () 1,2- 2 () 2,3 3 ( ) fx + 0 - 0 + ( ) fx 2c- 增 7 2 c+ 减 10c- 增 9 2 c+ 当 2,3x?时， ( ) fx的最小值为10c-， 要使 ( ) 2fxc恒成立，只要102cc-即可， 10c-， c的取值范围为( ) , 10-? 9已知函数，其中为常数. （1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； （2）若，对任意的正整数 ，当时，求证： . 【思路引导】 （1）令 ，求出 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小 值即可； （） 时，
23、求 的导数，通过讨论 是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可 （2）证：因为，所以 . 当 为偶数时，令，则 所以当时，单调递增，的最小值为.因此 所以成立. 当 为奇数时，要证，由于，所以只需证 . 令，则， 当时，单调递增，又， 所以当时，恒有,命题成立. 10已知函数 ( ) x fxetx=+. (1)求函数 ( ) fx的极值点； (2)若 f(x)x 2+1 在(0,2)上恒成立,求实数 t的取值范围.来源:Z&X&X&K 【思路引导】 (1)首先对函数 ( ) fx求导，考虑到导函数含有参数t，对参数t大于等于 0,和小于 0 两种情况进行讨论来 源:163文库 (2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到 2 1 x ex t x - - ?，再令 ( ) 2 1 x ex g x x - =，原问题转化为 ( )min tg x- ?，从而求出参数t的范围
