1、 【题型综述题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 构造差函数 ( )( )( ) h xf xg x=-根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调 性得不等量关系，进而证明不等式 具体做法如下：具体做法如下： 首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而 求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 证明 ( )( ) f xg x， () ,xa b时，可以构造函数 ( )( )( ) F xf xg x=-，如果 ( ) 0Fx ，则 ( ) F x在( ) , a b上
2、是减函数，同时若 ( ) 0F a ，由减函数的定义可知，当 () ,xa b时，有 ( ) 0F x ，即证明 ( )( ) f xg x， 设 ( )()11 ,A xfx， ()()22 ,B xfx为 函 数 ( ) fx图 象 上 不 同 的 两 点 ， 且 满 足 ( )( )12 1f xf x+=，设线段AB中点的横坐标为 0, x 证明： 0 1ax . 【思路引导】 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围， ( ) 0fx 得增区间， ( ) 0fx - 琪 桫 令 ( )( ) 2 1F xfxfx a 骣 琪=-+- 琪 桫 () 22 211 2 ln 22 ln 2
3、 axaaxa xa ax ax x a 骣 琪=-+- 琪 桫 - ，根据函数单调性证明即可. (2) 法一： 12 012 12 1 2 xx axxx aa + ?- ( ) 2 2 2 121 0 a fxaa xxx 骣 琪=+-=-? 琪 桫 ，故 ( ) fx在定义域( ) 0,+?上单调递增. 只需证： ( )12 2 fxfx a 骣 琪- 琪 桫 ，即证 ()22 2 1fxfx a 骣 琪- 琪 桫 (*) 注意到 ( )()12 11 1, 2 fxfxf a 骣 琪+= 琪 桫 不妨设 12 1 0 xx a . 令 ( )( ) () 22 2211 12 ln 2
4、2 ln 2 F xfxfxaxaaxa xa ax aax x a 骣骣 琪琪=-+-=-+- 琪琪 桫桫 - ， 则 ( ) () () () 3 22 222 2 41122 0 2 22 axaaa Fx xxax axxax - =-+=-? - - 1 x a ?，从而 ( ) F x在 1 , a 轹 +? 滕 上单减， 故 ()2 1 0F xF a 骣 琪, 从而 1234 xxxx+， 另外由三次函数 ( ) h x的中心对称性可知 34 2 xx a +=，则有 12 2 xx a +.学 （2） 先证明， 利用单调性求出 f(x)的最小值； 再证明， 构造新函数构造函数
5、， 判断出单调性求最值得证. 【解析】 证明： 2 先证明， ，是增函数， ， 构造函数， ， 递减，即， 递减， ， 当时， 4 【2019 广东东莞上学期期末调研】已知函数，（且 为常数）. （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意都有成立，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2） 构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为来求解.利用的导数，研究函数的单 调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得 的取值范围. 【解析】 （2）令 那么，对于任意都有，只须即可， ，且 记 由已知，所以对于任意，
6、都有恒成立， 又因为，所以在上单调递增， 所以， 由，解得， 所以，当时，对任意都有成立. 5 【2019 北京房山区上学期期末】已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）设实数 使得对恒成立，求 的取值范围. 【思路引导】 （1）,列出极值表即可求解; （2）, 令， ,讨论 三种情况时 g(x)的单调性，求得最小值即可解决. 【解析】 （1）的定义域是, , 由解得, 与在区间上的情况如下: 0 增 极大 减 所以函数的单调增区间是，单调减区间是. 当时，令，则， 令，则， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. 所以当时，函数有最小值, 由即解得. 6 【2019 湖北四地七校联考】已知
7、,设,且,记; （1）设,其中,试求的单调区间; （2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明; （3）证明：当时,. 【思路引导】 （1）（） ， 对其求导， 讨论 的范围即可判断的单调区间；（2）， ,二者作差，令 ，构造函数，通 过求导可判断的单调性，从而可得到，即可判断； （3）当时，原不 等式等价于，由（2）知，即证，转化为，构造函数 ，通过求导可判断它的单调性进而得到，从而证明了结论。 【解析】 （2），, 则， 令，则， 令， 而，则在单调递增，且恒为正， 又因为，所以，即. （3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转 化为. 令， 令，则， 当时，故在上单调递增， 则，故在上
8、单调递增， 则，故时，成立，即当时,. 【同步训练】【同步训练】 1设函数 f（x）=lnx+ax2+x+1 （I）a=2 时，求函数 f（x）的极值点； （）当 a=0 时，证明 xexf（x）在（0，+）上恒成立 【思路引导】 （1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点； （2）当 a=0 时构造函数 F（x）=xexf（x）=xex lnxx1， （x0） ，只要证明 F（x）=0 即可 （）证明：当 a=0 时，f（x）=lnx+x+1 令 F（x）=xexf（x）=xexlnxx1， （x0） ，来源: 则 F（x）= （xex1） ， 令 G（x）=xex1， 来源:163文
9、库 则 G（x）=（x+1）ex0， （x0） ， 函数 G（x）在（0，+）递增， 又 G（0）=10，G（1）=e10， 来源: 存在唯一 c（0，1）使得 G（c）=0， 且 F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增， 故 F（x）F（c）=ceclncc1， 由 G（c）=0，得 cec1=0，得 lnc+c=0， F（c）=0， 来源:Z。xx。k.Com F（x）F（c）=0， 从而证得 xexf（x） 学& 点评：在本题（）的解答中，为了求 F（x）的 最小值，通过求导得到 F（x）= （xex1） ，不容易 判断 F（x）的单调性，故构造 G（x）=xex1，采用
10、二次求导的方法，在求 G（x）零点的过程中遇到了零 点不可求的问题，此类问题的解法是利用 G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理 通过整体代换的方法求函数 F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法 2已知函数 ( ) ln 1 x x fx x = + 与 ( )() 1g xa x=- （1）若曲线 ( ) yf x=与直线 ( ) yg x=恰好相切于点 () 1,0P，求实数a的值； （2）当 ) 1,x?时， ( )( ) fxg x恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证： ()() * 2 1 4 ln 21. 41 n i i nnN i = +
11、- 【思路引导】 （1）根据导数几何意义得 ( ) 1fa =,即得实数a的值； （2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函 数最值问题 2 ln 1 x x a x - （x1）最大值,再利用导数研究函数 ( ) 2 ln 1 x x h x x = - 单调性：单调递减，最后根据洛必 达法则求最大值，即得实数a的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系： 2 214 ln 2141 nn nn + - ，再 利用； （2）的结论 () 2 1 ln1 2 x xx?，令 21 21 n x n + = - ，则代入放缩得证 （3）不妨设 () ln 21 n Sn=+为 n a前
12、n项和，则 21 ln 21 n n a n + = - 要证原不等式，只需证 2 214 ln 2141 nn nn + - 而由（2）知：当 1 2 a =时恒有 ( )( ) f xg x 即 () 2 1 ln1 2 x xx?当且仅当1x=时取等号 取 21 1 21 n x n + = - ，则 2 2121121 ln1 2121221 nnn nnn 轾 骣 + 犏 琪? 琪 犏 - 桫 臌 即 () 2 212118 ln 21212 21 nnn nn n + - - 即 () 2 21421 ln 2121 21 nnn nn n +- -+ - 即 2 214 ln 2
13、141 nn nn + - 成立，从而原不等式获证学& 点评：对于求不等式成 立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式， 便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质 很难研究，就不要使用分离参数法 3已知函数 ( ) () 1 ln, 1 a x fxxaR x - =-? + 来源:Z#X#X#K (1)若2x=是函数 ( ) fx的极值点，求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1f处的切线方程； (2)若函数
14、( ) fx在( ) 0,+?上为单调增函数，求a的取值范围； (3)设,m n为正实数，且mn，求证： lnln2 mnmn mn -+ 时， 1 22ax x -?，求得右边函数的最小值，即可得到a范围； （3）运用分析法证明，要证 lnln2 mnmn mn -+ - ， 只需证 11 2 ln mm nn m n -+ + ，设 ( ) () 21 ln 1 x h xx x - =- + ，求出导数判断单调性，运用 单调递增，即可得证 时， ( ) g x有最小值2，222.2.aa-所以所以所以a的取值范围是( ,2 .-? （3）要证，只需证， 即证 21 ln. 1 m mn
15、m n n 骣 ? 琪 桫 + 只需证 21 ln0. 1 m mn m n n 骣 ? 琪 桫 - + 设 ( ) () 21 ln 1 x h xx x - =- + ，由（2）知 ( ) h x在( ) 1,+?上是单调函数，又1 m n ， 所以 ( ) 10 m hh n 骣 琪= 琪 桫 ，即 21 ln0 1 m mn m n n 骣 ? 琪 桫 - + 成立，所以 lnln2 mnmn mn -+ - 【思路引导】 （ 1 ） 由 导 数 几 何 意 义 得 切 线 斜 率 为 ( ) 2f， 再 根 据 点 斜 式 且 切 线 方 程 ， （ 2 ） 构 造 函 数 ( )(
16、 )() 2lng xf xxx=-，求导函数零点可得1x= ，列表分析可得1x=为最小值，而 ( ) 120ge= -， 所以得证 令 ( ) 0gx =得1x=来源:Z+xx+k.Com 所以 ()( ) 0,1 ,0 xgx 所以当 ()( )() 0,2lnxf xxx?- 点评：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 ( )( )( ) h xf xg x=-根据差函数导函数 符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式 （2）根据条件，寻找目标函数一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元 函数
17、 6设函数 ( )() 2 ln1f xxbx=+，其中0b （1）当1b=时，求曲线 ( ) yf x=在点( ) 0,0处的切线方程； （2）讨论函数 ( ) fx的单调性； （3）当 * nN，且2n时证明不等式： 333 11111111 ln111 232321nnn 轾 骣 骣骣 犏 琪琪 琪+- 琪琪琪 犏+ 桫桫桫臌 【思路引导】 （）代入1b=时，求得 ( ) fx ，求得切线的斜率，即可求解切线的方程； （）求得 ( ) fx 的表达式， 分 1 2 b 和 1 0 2 b 和0b来源:Z+X+X+K (1)当 1 30 a =时，求函数 ( ) fx的单调区间； (2)当
18、 1 2 a ， () 1,x?时，求证：ln1 1 a x x + - 【思路引导】 （1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域 为( ) () 0,11,?，对 ( ) fx求导数 ( ) fx ，解 ( ) 0fx 得增区间，解 ( ) 0fx - ，即转化为证明 ()() 21 ln1 21xxx-+ -当1x时成立，构造函 数 ( )()()() 21 ln2111g xxxxx=-+，转化为证明 ( ) 0g x 在1x时恒成立即可，转化为求函数 ( ) g x的最小值问题 来源: 点 评 ： 利 用 导 数 证 明 不 等 式 的 方 法 ： 证 明 ( )( )
19、 f xg x， () ,xa b时 ， 可 以 构 造 函 数 ( )( )( ) F xf xg x=-，如果 ( ) 0Fx ，则 ( ) F x在( ) , a b上是减函数，同时若 ( ) 0F a ，由减函数的 定义可知，当 () ,xa b时，有 ( ) 0F x ，即证明 ( )( ) f xg x时， 1 e ln x xx x - 【思路引导】 （） 求导函数， 利用函数 ( ) yf x=在点 ( )() 0,0f处的切线与y轴垂直， 可得切线的斜率， 从而可求a 的 值；（） 由 （） 知 ( ) e1 x fxax= -， 若函数 ( ) fx有两个极值点， 则 (
20、) e10 x fxax- =， 即 1 ex x a + = 有两个不同的根，且 1 ex x a + -的值在根的左、右两侧符号相反令 ( ) 1 ex x h x + =，讨论其性质即可得到a的 取值范围； （）令 ( ) 1 e ln x g xxx x =-+（1x） ，则 ( ) 10g=， ( ) 2 e1 e ln1 x x gxx xx =+- 令 ( )( ) h xgx= ，讨论 ( ) h x的性质可得以1x时， ( ) 0g x ，即1x时， 1 e ln x xx x - （）证明：令 ( ) 1 e ln x g xxx x =-+（1x） ，则 ( ) 10g=， ( ) 2 e1 e ln1 x x gxx xx =+- 令 ( )( ) h xgx= ，则 ( ) e e ln x x hxx x =+ 23 ee2 xx x xx - +， 因为1x，所以e ln0 x x ， e 0 x x ， () 2 e1 0 x x x - ， 3 2 0 x ， 所以 ( ) 0hx ，即 ( )( ) h xgx= 在1x时单调递增， 又 ( ) 1e 20g= -，所以1x时， ( ) 0gx ，即函数 ( ) g x在1x时单调递增 所以1x时， ( ) 0g x ，即1x时， 1 e ln x xx x -
