1、 含参数的极值点偏移问题， 在原有的两个变元 12 ,x x的基础上， 又多了一个参数， 故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的 函数. 例 1. 已知函数( ) x f xxae=-有两个不同的零点 12 ,x x，求证： 12 2xx+. 不妨设 12 xx，记 12 txx=-，则0,1 t te， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e + ? - 2(1) 0 1 t t e t e - ? + ， 再次换元令1,ln t extx=，即证 2(1) ln0,(1,) 1 x xx x - -?
2、+ 构造新函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x - =- + ，(1)0F= 求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x F x xxx x - =-= + ，得( )F x在(1,)+?上递增，学* 所以( )0F x ，因此原不等式 12 2xx+获证. 例 2. 已知函数( )lnf xxax=-，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 .xxe? 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 xx，学% 1122 ln0,ln0 xaxxax-=-=， 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa
3、 xx+=+-=-， 12 12 lnlnxx a xx - = - ，欲证明 2 12 x xe，即证 12 lnln2xx+. 1212 lnln()xxa xx+=+，即证 12 2 a xx + ， 原 命 题 等 价 于 证 明 12 1212 lnln2xx xxxx - -+ ， 即 证 ： 112 212 2() ln xxx xxx - + ， 令 1 2 , (1) x tt x =， 构 造 2(1) ln, 1 )1( t tg tt t - =- + ，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 lnlnln
4、, ln xxxx a xxxx =?设 2 12 1 ,(1) x xx tt x ， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx + = ?， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt =+=+= - ，学* 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t + ? ? - ，转化成法二，下同，略. 例 3.已知 12 ,x x是函数( ) x f xeax=-的两个零点，且 12 xx； （2）求证： 12 1xx?. (2)要证： 12 1x x ，即证： 12 2 1 x
5、x ee a ， 等价于 21 12 2 21 () xx xx ee ee xx - ? - ，学* 也即 12 21 22 21 1 ()() xx xx ee eexx - ，等价于 21 21 22 21 1 (1)() xx xx e exx - - 等价于 22 1 (0) (1) t t e t et - ，也等价于 2 1( 0) 1 t t e t et - ，等价于即证： 2 10 t t t ee?+ ，则 2222 1 ( )(1) 22 tttt t t h tet eeee =+?=+-， 又令 2 ( )1(0) 2 t t tetf= +-，得 2 1 ( )0
6、 22 t t tef=-?，( ) tf在(0,)+?单调递减， ( )(0)0tff=，从而( )0h t ，( )h t在(0,)+?单调递减，( )(0)0h th，若存在 1212 ,()x x xx，使 12 ( )()0f xf x=，求证： 1 2 x ae x .来源: 再证： 1 2 x ae x . 111 222 ln xaxax xaxx =， 而 12 0 xex 11 22 ln1 xaxae ae xx =.证毕. 【招式演练】【招式演练】来源来源:Z*X*X*K 设函数( )() x f xeaxa aR=-+?的图像与x轴交于 1212 ( ,0), (,0
7、)()A xB xxx两点， （1）证明： 12 ()0fx x； （2）求证： 1212 x xxx且ae，.网 从而 1 12 2 1 2 1 1 x xx x xe e ex - - = - ，令 12 1,1xxab=-=-，则 lnln 1ea b aab bab - - =? - ， 由于 1212 1x xxxab+?，下面只要证明： 1 1,(01)abbab a ? ， 结合对数函数lnyx=的图像可知，只需证： 11 ( ,ln ),(,ln)aa aa 两点连线的斜率要比( ,ln ),( ,ln)aabb两 点连线的斜率小即可， 又因为 lnln 1k ab ab -
8、= - ，即证： 1 lnln 1 12ln0(01) 1 a a aaa a a a - ，则 2 22 12(1) ( )10g a a aaa - =-+=-=，学* 原不等式 1212 x xxx+成立. 设函数 2 ( )lnf xaxbx=-，其图像在点(2,(2)Pf处切线的斜率为3-. 当2a=时，令( )( )g xf xkx=-，设 1212 ,()x x xx是方程( )0g x =的两个根， 0 x是 12 ,x x的等差中项，求证： 0 ()0g x ，函数( )fx 为( )f x的导函数，且 1122 ( ,( ), (,()A xf xB xf x是 ( )f
9、x的图像上不同的两点，满足 12 ( )()0f xf x+=，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 1.ax 【解析】 12 012 12 1 2 xx axxx aa + ?-，又依题意 2 1 ( )()0fxa x =-?， 得( )f x在定义域上单调递增，所以要证 0 1ax ，只需证 212 2 ()()()f xf xfx a -=-， 即 22 2 ()()0fxf x a -+ 不妨设 12 xx，注意到 1 ( )0f a =，由函数单调性知，有 12 11 ,xx aa ，学* 构造函数 2 ( )()( )F xfxf x a =-+，则 3 22 24(1)
10、( )( )() (2) ax F xfxfx axax - ? =-=- - ， 当 1 x a 时，( )0F x ，即( )F x单调递减，当 1 x a 时， 1 ( )( )0F xF a =，从而不等式式成立，故原 不等式成立. 学* 已知函数 1 ( )ln ()f xax aR x =-?. （1）若2a=，求函数( )f x在 2 (1,)e上的零点个数； （2）若( )f x有两零点 12 ,x x（ 12 xx） ，求证： 1 12 231 a xxe - +-. 【点评】1.方程的变形方向： 12 ,x x是函数( )f x的两个零点，1 是该函数的极值点. 12 ,x
11、 x是函数( )h x的 两个零点， 1a e - 是该函数的极值点. 2.难点 1 12 31 a xxe - +放缩. 已知函数 . （）讨论的单调性； （）设，证明：当时， ； （）设是的两个零点，证明 . 【答案】 （）在上单调递减，在上单调递增； （）当时，； （） 证明过程见解析 （）令，则 . 网 求导数，得 ， 当时，在上是减函数. 而， ， 故当时， （）由（）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， ， 由（）得 ，学* 从而，于是， 由（）知， . 学* 已知函数 ( ) 2 1 4ln 2 fxxmx=-（0m）. （）若1m=，求函数
12、( ) fx的单调递增区间； （）若函数 ( )( ) () 4g xf xmx=-，对于曲线 ( ) yg x=上的两个不同的点 ( )()11 ,M x g x， ()()22 ,N x g x，记直线MN的斜率为k，若 ( )0 kgx= ， 证明： 120 2xxx+. 【答案】 （1）( ) 0,2（2）见解析 由题设得 ( ) ( )( )12 0 12 g xg x gx xx - = - = ()12 12 4 lnlnxx xx - - - () ()12 1 4 2 m xxm+-. 又 12 12 8 2 xx gm xx 骣+ 琪=- + 桫 12 4 2 xx m +
13、 ?-， () 12 0 2 xx gxg 骣+ 琪-= 桫 ()12 1212 4 lnln8xx xxxx - -= -+ () ()21 21 2121 24 lnln xx xx xxxx 轾 - 犏 - 犏 -+ 臌 2 1 2 2 211 1 21 4 ln 1 x xx x xxx x 轾骣 犏琪 - 琪 犏 桫 犏 =- 犏 - + 犏 犏 臌 .学 不妨设 12 0 xx，则 2 1 2 2 1 1 21 ln 1 x xx x x x 骣 琪 - 琪 桫 - + () 21 ln 1 t t t - =- + (1)t . 令 ( ) () 21 ln 1 t h tt t
14、 - =- + (1)t ，则 ( ) () () 2 2 1 0 1 t h t t t + - =，所以 ( ) h t在( ) 1,+?上单调递增，所以 ( )( ) 10h th=，学* 故 2 1 2 2 1 1 21 ln0 1 x xx x x x 骣 琪 - 琪 桫 - + .来源:163文库 又因为 21 0 xx-，因此 () 12 0 0 2 xx gxg 骣+ 琪- 琪 桫 ，即 () 12 0 2 xx ggx 骣+ 琪，即 120 2xxx+. 已知函数 ( ) 1n(1)f xx=+， 2 1 ( ) 2 g xxx- （）求过点( ) 1,0-且与曲线 ( )
15、yf x=相切的直线方程； （）设 ( )( )( ) h xaf xg x=+，其中a为非零实数， ( ) yh x=有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx来源: 【答案】 （1）10 xey-+ =（2）见解析来源:163文库 ()0 00 ln11 11 x xx + = + ，解得 0 1xe= - 切线的斜率为 1 e ，切线方程为10 xey-+ = （） ( )( )( ) h xaf xg x=+= () 2 1 ln1 2 axxx+- ( ) () 2 1 1 11 xaa hxx xx +- =+ -= + ， 1x - 当10a- ?时，即1a时， ( ) 0hx
16、 ， ( ) h x在( ) 1,-+?上单调递增； 当01a时，由 ( ) 0hx =得， 1 1xa=-， 2 1xa=-，故 ( ) h x在( ) 1,1 a-上单调递增，在 () 1, 1aa-上单调递减，在( ) 1,a-+?上单调递增； 当0a时，由 ( ) 0hx =得， 0 1xa=-， ( ) h x在( ) 1, 1aa-上单调递减，在( ) 1,a-+?上 单调递增 当01a时， () ( ) 21 10 x x fx - + -； （2） 若函数 ( )( ) 2 g xf xxax=+ -有两个零点 1 x， 2 x（ 12 xx） ， 证明： 12 2 1 3 x
17、x ga 骣+ 琪证 ( ) () 21 ln0 1 x K xx x - =- + ， ( ) () () 2 2 1 0 1 x Kx x x - = + ，#网 ( ) K x在( ) 1,+?上递增， ( )( ) 10K xK= （2）1x， () 21 ln 1 x x x - + ， 来源: 令 ( ) 12lns xxx= -，易知 ( ) s x在( ) 0,+?递减， ( ) 10s=， 01x， ( ) h x ， 1x， ( ) 0s x ， ( ) 0h x ， 0 x ， ( ) h x ?，来源:163文库 要合题意，如图，01a，右大于左，原题得证 【新题试炼新
18、题试炼】 【2019 江西九江一模】已知函数 （）若函数存在最小值，且最小值大于 ，求实数 的取值范围； （）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。 【答案】() ( )详见解析 （）由（）可知，要存在实数 x1，x2，使得 f（x1）f（x2） ，则 a0， f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增， 不妨设 0 x1x2，则 0 x1a， 令 h（x）f（x）f（2ax） ，x（0，a） ， 则 h（x）， x（0，a）时，h（x）0， h（x）在（0，a）递减， x1（0，a） ，h（x1）h（a）f（a）f（a）0， 即 f（x1）f（2ax1）0， f（x1）f（2ax1）
19、 ， f（x1）f（x2） ， f（x2）f（2ax1） ， 0 x1a，2ax1a， f（x）在（a，+）递增，学. x22ax1，a， 函数 f（x）在区间，+）递增， x1x2， 函数 f（x）在区间，+）上单调递增 【2019 山东郓城一中月考】已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数的图象与直线交于 , 两点，线段中点的横坐标为，证明： 为的导函数. 【答案】 （1）答案见解析； （2）见解析. 当，即时，在上；在上； 故在和上为增函数；在上为减函数； 当，即时，在上；在上； 故在上为增函数；在上为减函数. 学% 即证 ，又因为在上单调递减 来源:163文库 即证，又 故只需证 即证：当时，. 设 则 所以在单调递减， 又因为， 故得证 来源:
