1、 【题型综述题型综述】 利用导数解决不等式恒成立利用导数解决不等式恒成立问题的策略:问题的策略: 利用导数证明不等式,解决导数压轴题,谨记两点: ()利用常见结论,如:, () ln1xx+,等; ()利用同题上一问结论或既得结论 【典例指引】【典例指引】 例 1已知 2 17 ( )ln , ( )(0) 22 f xx g xxmxm,直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切,且与函数 ( )f x的图像的切点的横坐标为 1 (I)求直线l的方程及 m 的值; (II)若( )(1)( )()h xf xg x其中g(x)是g(x)的导函数,求函数( )h x的最大值 (II
2、I)当0ba时,求证:()(2 ) . 2 ba f abfa a 当x=0时,( )h x取最大值,其最大值为2 (III)()(2 )ln()ln2lnln(1). 22 abba f abfaaba aa 0,0, 1 0. 22 Qbaaba ba a 证明,当( 1,0)x 时,ln(1),ln(1). 22 baba xx aa ()(2 ). 2 ba f abfa a &网 例 2设函数 ( )() ln1f xax=+, ( ) 1 x g xe=-,其中aR,2.718e=为自然对数的底数 ()当0 x时, ( )( ) fxg x恒成立,求a的取值范围; ()求证: 10
3、 10952000 10001791 e两种情形分类讨论进行分析求解: (2)借助(1)的结论, 当1a=时, () 1 ln1 x ex +对0 x恒成立, 再令 1 10 x =,得到 1 10 1095 1 ln1.1 1.095 1000 e +? 即 10 1095 1000 e ; 又由()知, 当1a时, 则 ( ) H x在 )0 0 x,递减, 在( )0 x +?,递增, 则 ( )( )0 00H xH=, 即 () 0 0 1ln10 x eax- -+, 即 0 1 10 x =, 则 1 10 12000 1 1.1ln1.11791 e? - ,故有 10 109
4、52000 10001791 e两种情形分类讨论进行分析求解;证明本题的第二问 时,充分借助(1)的结论及当1a=时, () 1 ln1 x ex +对0 x恒成立,令 1 10 x =,得到 1 10 1095 1 ln1.1 1.095 1000 e +? 即 10 1095 1000 e ; 进而由()知,当1a时,则 ( ) H x在 )0 0 x,递减,在 ()0 x +?,递增,则 ( )( )0 00H xH=,即 () 0 0 1ln10 x eax- -+,即 0 1 10 x =,则 1 10 12000 1 1.1ln1.11791 e? - ,故有 10 1095200
5、0 10001791 e从而使得问题巧妙获 证&网 例 3设 (l)若对一切恒成立,求 的最大值; (2)是否存在正整数 ,使得对一切正整数 都成立?若存在,求 的最小值; 若不存在,请说明理由 【思路引导】 (1)即在时,从而求的参数 的范围,所以函数 ,所 以 (2)由(1)可知当时,即,取,得, 即累加可证到所以 (2)设, 来源:Z&xx&k.Com 则,令得 在时,递减;在时,递增 最小值为,故, 取, 得,即&网 累加得 故存在正整数,使得 当时,取,有,不符合故&网 【新题展示新题展示】 1 【2019 安徽安庆上学期期末】 (1)已知函数,求函数在时的值域; (2)函数有两个不
6、同的极值点 , 求实数 的取值范围; 证明:. (本题中可以参与的不等式:,) 【思路引导】 (1)首先可对函数进行求导,然后分析函数在 上的单调性并求出最值,最后即可求 出函数在上的值域; (2)首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”, 再根据(1)中所给出的函 数性质即可得出结果; 可利用分析法进行证明。 【解析】 由条件有两个不同的极值点 , 知: ,于是有 所以,即 要证成立,只需证明 只需证 只需证 只需证 只需证,令, 只需证,而题中已给出该不等式成立. 即证。 2 【2019 河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点,其中, . (1)求的取值范围; (2)若
7、,求的最大值. 【思路引导】 (1)求出 ,方程有两个不等的正根, (其中).由韦达定理 可得,,由此可得 , 由二次函数的性质可得结果; (2) 设, 则 ,求出,利用导数研究函数的单调 性,利用单调性求出最值,从而可得结果. 【解析】 ,, 故的取值范围是:. 记,则 , 在上单调递减, 故的最大值是:. 3 【2019 湖南益阳上学期期末】已知函数. (1)当时,比较与的大小; (2)若有两个极值点,求证:. 【思路引导】 (1),可得,可得故在时为增函数,可得结 论; (2),可得在上有两个零点.当时, ,在上为增函数,不可能有两个零点, 故.此时, 即, 整理得, 即. 可得,故要证
8、成立,只需证,即证 ,不妨设,即证.令,原不等式化为 . 由 ( 1 ) 得 当时 ,. 故 只 需 证, 化 为 ,故原式得证. 【解析】 (2),. 则在上有两个零点. 令,即在上有两个零点,. 当时,在上为增函数,不可能有两个零点, 故.此时,即,整理得,即. . 故要证成立, 只需证,即证, 4 【2019 广东韶关 1 月调研】已知函数(其中是自然对数的底数). (1)证明:当时,;当时,. (2)是否存在最大的整数 ,使得函数在其定义域上是增函数?若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由. 【思路引导】 (1)直接作差,构建新函数研究最值即可;同样作差构建函数,研究最值即可; (2
9、)由题意可得,变量分离研究最值即可. 来源:163文库 【解析】 令, 当时,故在区间上为减函数, 当时,故在区间上为增函数, 因此,故. 令,因此为增函数 当时,故. 故为增函数, 又, 因此在区间上有唯一的零点,记它为 , 在上单调递减,在上单调递增, 故,因此,其中 由(1)可知恒成立,且当时,成立 故 当且仅当时等号成立. 因此. 又 因此,即存在最大的整数 28,使得在其定义域上是增函数. 5 【2019 天津部分区期末】已知函数,其中. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)记的导函数为,若不等式在区间上恒成立,求 的取值范围; (3) 设函数,是函数的导函数, 若存在两个极
10、值点 , , 且满足, 求实数 的取值范围 【思路引导】 ()当时, (1),可得 (1)利用点斜式即可得出 切线方程 (),不等式,化为:令在 上恒成立, (1)可得在上恒成立,化为:即可得出 () 根据可得和关于 x 的函数表达式, 根据存在两个极值点 , , 可得=0 在 上有两个不等实数根 , 因此,得出 a 的取值范围并根据 , 满足,代入简 化,利用导数研究其单调性即可得出结果 【解析】 ()设函数, 存在两个极值点 , , 在上有两个不等实数根 , 因此,且, 解得 , ,满足, 化为: 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( ) x f xe=, ( ) 2 2 a g xx
11、x=-, (其中aR,e为自然对数的底数, 2.71828e=) (1)令 ( )( )( ) h xf xgx=+ ,若 ( ) 0h x 对任意的xR恒成立,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,设m为整数,且对于任意正整数n, 1 n n i i m n = 骣 琪 琪 桫 ,求m的最小值 【思路引导】 (1)由 ( ) 0h x 对任意的xR恒成立,即 ( )min 0h x,利用导数讨论函数的单调性,求出最小值,即 可得到实数a的值; (2)由(1)知e10 x x- ?,即1exx+?,令 k x n = -( * nN,0,1,2,1kn=-) 则01e k n k n - -
12、?,所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 , 令0,1, 2,1kn=-,求和后利用放 缩法可得 1 ( )2 n n i i n = ,从而可得m的最小值所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 (2)由(1)知e10 x x-?,即1exx+?, 令 k x n = -( * nN,0,1,2,1kn=-)则01e k n k n - -?,所以1ee n n k k n k n - - 骣 骣 琪 琪-? 琪 琪 桫 桫 , 所以 ()() 1221 1 121 ( )eeee1 nnnn n nnn
13、 i inn nnnnn - = 骣骣骣骣 - 琪琪琪琪=+?+?+?+ 琪琪琪琪 桫桫桫桫 11 1 e1e1 12 1 e1 ee 1e 1 n- - - = + - ,所以 1 ( )2 n n i i n = 琪琪琪 桫桫桫 ,所以m的最小值 为2&网 2设函数 ( )() x f xeax a aR=-+? (1)当1a=时,求 ( ) fx的单调区间; (2)若 ( ) fx的图象与x轴交于 ()()12 ,0 ,0A xB x两点,且 12 xx, ( ) ,2xR f xa纬,证明: ()() * 111 1ln1 23 nnN n +? 【思路引导】 (1)当1a=时,求出
14、( ) fx,由 ( ) 0fx 可得增区间,由 ( ) 0fx ,得到函数的单调区间,根据函数的单调性可得 () lnln0faaa a a=-+ 即 () ln1xx+, 1 x n =, * nN得 11 ln n nn 骣+ 琪,得lnxa= 即 () 111 1ln1 23 n n +&网 3已知函数 ( ) 2 1 ln 2 fxxa x=- (1)若函数 ( ) fx有两个不同的零点,求实数a的取值范围; (2)当1x时, ( ) 0fx 恒成立的a的取值范围,并证明 2 2 ln2 ln3 ln4ln 4 nn n + - + () * 2,nnN澄 【思路引导】 (1) 函数
15、 ( ) fx有两个不同的零点,等价于 1 2a = ( ) 2 ln x g x x =在(0,+)上有两实根,利用导数研究函 数 ( ) g x的单调性,结合函数图象即可得结果; (2)结合(1)可得lnx 2 1 4 x,令xk=, 2,3,4.kn= 1234 ln,ln2,ln3,ln4.ln 22222 n kkn1)最大值,再利用导数研究函数 ( ) 2 ln 1 x x h x x = - 单调性:单调递减,最后根据 洛 必 达 法 则 求 最 大 值 , 即 得 实 数a的 取 值 范 围 (3) 先 根 据 和 的 关 系 转 化 为 对 应 项 的 关 系 : 2 214
16、 ln 2141 nn nn + - ,再利用(2)的结论 () 2 1 ln1 2 x xx?,令 21 21 n x n + = - ,则代入放缩得证 方法二: (先找必要条件) 注意到1x=时,恰有 ( )( ) 0f xg x-= 令 ( )( )( )() ln 1 1 x x F xfxg xa x x =-=- + 则 ( ) ()() ()() 22 ln11ln1 ln 11 xxx xxx Fxaa xx +-+ + =-=- + ( ) 0F x?在 ) 1,+?恒成立的必要条件为 ( ) 10F 即 21 0, 42 aa&网 (3)不妨设 () ln 21 n Sn=
17、+为 n a前n项和,则 21 ln 21 n n a n + = - 要证原不等式,只需证 2 214 ln 2141 nn nn + - 而由(2)知:当 1 2 a =时恒有 ( )( ) f xg x 即 () 2 1 ln1 2 x xx?当且仅当1x=时取等号 取 21 1 21 n x n + = - ,则 2 2121121 ln1 2121221 nnn nnn 轾 骣 + 犏 琪? 琪 犏 - 桫 臌 即 () 2 212118 ln 21212 21 nnn nn n + - - 即 () 2 21421 ln 2121 21 nnn nn n +- -+ - 即 2 2
18、14 ln 2141 nn nn + - 成立,从而原不等式获证&网 点评:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数 的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式, 便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质 很难研究,就不要使用分离参数法 5已知函数, ()若函数与的图像在点处有相同的切线,求的值; ()当时,恒成立,求整数 的最大值; ()证明: 【思路引导】 ()求出与,由且 解方程组可求的值; ()恒成立等价于 恒成立,先证明当时恒成立,再证明时不
19、恒成立,进而可得结果; () )由, 令,即,即,令 ,各式相加即可得结果 ()由,令, 即,即 由此可知,当时, 当时, 当时, 当时, 综上: 来源:Z。X。X。K 即&网 6已知函数 ( ) ln1 x x fx e + =(e是自然对数的底数) , ( ) 1lnh xxx x= - (1)求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1Af处的切线方程; (2)求 ( ) h x的单调区间; (3)设 ( )( ) g xxfx= ,其中 ( ) fx 为 ( ) fx的导函数,证明:对任意0 x, ( ) 2 1g xe-, ( ) 2 g x1 e- +等价于 () x2 1
20、xxlnxe1 e-时恒成立,由(2)知, 当 2 xe-=时, ( ) h x的最大值 () 22 h e1 e - = +,即证 ( ) 证 明 : 因 为 ( )( ) g xxfx= , 所 以 ( ) x 1xx l n x gx, x0 e - =, ( ) 2 g x1 e- +等 价 于 () x2 1 xxlnxe1 e-时恒成立, 由()知,当 2 xe-=时, ( ) h x的最大值 () 22 h e1 e - = +, 故 2 1 xxlnx1 e-?,&网来源:Z_X_X_K 因为x0时 x e1, 所以 () 2x2 1 xxlnx1 ee1 e - -?, (
21、) 2 g x1 e- 琪琪琪 犏+ 桫桫桫臌 【思路引导】 ()代入1b=时,求得 ( ) fx ,求得切线的斜率,即可求解切线的方程; ()求得 ( ) fx 的表达式, 分 1 2 b 和 1 0 2 b 和0b时, ( ) g x的图象恒在 ( ) fx的图象上方; (3)证明: () () 2 * 222 ln2ln3ln21 ,2 2341 nnn nNn nn - +纬 + 来源:ZXXK 【思路引导】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)1a=时, 1 ln2f xxx x =-( ), 1 1g xx x =-( ),设 ( )( )(
22、 ) ln1F xf xg xxx=-=-+,求出函数的导数,利用 导数性质推导出 ( )( ) f xg x,得函数单调递增, ( ) 0fx 或 ( ) ah x或 ( )min ahx即可,利用导数知识结合单调性求出 ( )max hx或 ( )min hx即得解,此题最大的难点在于构造法证明不等式 9已知函数 ( ) ln1f xaxx=- (1)若函数( )f x在区间 ) 1 +?,上递增,求实数a的取值范围; (2)求证: ()() * 111 ln21 231 nnN n + +? + 【思路引导】 ( ) 1对函数求导,可知其导数在 ) 1,+?大于0,利用分离变量转化为函数
23、求恒成立问题,可得a的取值范 围; ( )2利用( )1中结论可得ln1xx -,则有 11 ln n nn + ,利用累加和裂项可证不等式 所以 1 1 ln1 1 + , 2 11 ln 22 + , , 所以 1 12 13 111 11111 lnlnlnlnln1 1231231 nn nnnn + + + + + , 即 ()() 111 ln21. 231 nnN n + +,e2.7) (1)若函数 ( ) fx在 ) 1, +上为增函数,求实数a的取值范 围; (2)当1a=时,求函数 ( ) fx在 1 ,2 2 轾 犏 犏 臌 上的最大值和最小值;来源:ZXXK (3)当
24、1a=时,求证:对于任意大于 1 的正整数n,都有 111 ln 23 n n + 【思路引导】 (1)先求出函数 ( ) fx的导数 ( ) fx,由题意可知:当1x时, ( ) 0fx 恒成立,解出a的取值范围即 可; (2)求导函数,确定函数的单调性,比较端点的函数值,即可求得结论; (3)利用(2)的结论,只要 令1, 1 n ax n = - ,利用放缩法证明即可 ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有唯一的极小值点,也是最小值点, ( )( ) min 10f xf= 又因为 1 1 ln2 2 f 骣 琪= - 琪 桫 , ( ) 1 2ln2 2 f=+, ( ) 3 13
25、lneln16 22ln2 222 ff 骣 - 琪 -=-= 琪 桫 3 eln160-, ( ) 1 20 2 ff 骣 琪- 琪 桫 所以 ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有的最大值是 1 1 ln2 2 f 骣 琪= - 琪 桫 综上所述, ( ) fx在 1 ,2 2 纟 棼 上有的最大值是1 ln2-,最小值是 0 11已知函数 ( ) ln.f xxkx k=-+ ()若 ( ) 0fx 有唯一解,求实数k的值; ()证明:当1a时, ( )() 2 1. x x fxkxkeax+-,构造函数 () 2 210 x exxx=-+ -?,利用 单调性,极值求其最小值,证
26、明其大于零即可 当0k ,且 1 0,x k 纟 棼 时, ( )( ) 0,fxf x 单调递增;当 1 ,x k 骣 琪? 琪 桫 时, ( )( ) 0,fxf x 琪 桫 ,则 ( )( ) 1 10, k ggk k = - =, 当01k时, ( ) 0gx 时,故 ( ) g k单调递增, 所以 ( )( ) 10g kg?,故令 1 ln10fkk k 骣 琪=-= 琪 桫 ,解得1k =, 此时 ( ) fx有唯一的一个最大值为 ( ) 1f,且 ( ) 10f=,故 ( ) 0fx 的解集是1,符合题意;来源: 综上,可得1k = ()要证当1a时, ( )() 1, x
27、x fxkxkeax+-, 即证 2 ln10 x exx x- 由()得,当1k =时, ( ) 0f x ,即ln1xx?,又0 x,从而 () ln1x xx x?, 故只需证 2 210 x exx-+ -,当0 x时成立; 令 ( )() 2 210 x h xexxx=-+ -?,则 ( ) 41 x h xex= -+, 令 ( )( ) F xh x= ,则 ( ) 4 x Fxe =-,令 ( ) 0Fx =,得2ln2x= 因为 ( ) Fx 单调递增,所以当 ( 0,2ln2x时, ( )( )( ) 0,0,FxF xF x 单调递减,即 ( ) h x 单调递 减,当
28、 () 2ln2,x?时, ( )( ) 0,FxFx 单调递增,即 ( ) h x 单调递增, 且 ()( )( ) 2 ln45 8ln2 0,02 0,28 10hhhe= -=- + , 由零点存在定理,可知 ()()12 0,2ln2 ,2ln2,2xx$?,使得 ()() 12 0hxhx =, 故当 1 0 xx时, ( )( ) 0,h xh x 单调递增;当 12 xxx时, ( )( ) 0,h xh x , 故当0 x时,所以 ( ) 0h x ,原不等式成立 点评: 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题, 涉及函数不等式的证明, 综合性强, 难度大, 属于难题 处 理导
29、数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及 极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函 数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及 技巧比较多,需要多加体会 12 已知函数 ( ) ln 1 ax fxx x =- + ()若函数 ( ) fx有极值,求实数a的取值范围; 来源:163文库 ()当 ( ) fx有两个极值点(记为 1 x和 2 x)时,求证: ( )()( )12 1 1 x fxfxfxx x + 轾 +匙-+ 臌 【思路引导】 (
30、)由已知得 x0,且有 ( ) () () () 2 22 211 11 xa xa fx x xx x +-+ =-= + , ,由此利用导数性质能求出当函数 f (x)存在极值时,实数 a 的取值范围是 a4 ()x1,x2是 x2+(2-a)x+1=0 的两个解,从而 x1x2=1,欲证原不等式成立,只需证明 f(x)-lnxf(x) -x+1 成立,即证 lnx-x+10 成立,由此利用构造法和导数性质能证来源: () 1 x, 2 x是 ( ) fx的两个极值点,故满足方程 ( ) 0fx = 即 1 x, 2 x是 () 2 210 xa x+-+ =的两个解, 12 1x x =
31、 ( )() 12 1212 12 lnln 11 axax fxfxxx xx +=-+- + () ()1212 12 1212 2 ln 1 ax xxx x xa x xxx + =-=- + 而在 ( ) ln 1 ax fxx x =- + 中, ( ) 1 ln x afxx x + 轾 -=?臌 欲证原不等式成立,只需证明 ( )( ) 11 ln1 xx fxxfxx xx + 轾轾 ?匙-+ 臌臌 0 x,只需证明 ( )( ) ln1f xxf xx-?+成立 即证ln10 xx-+ ?成立 令 ( ) ln1g xxx=-+,则 ( ) 11 1 x gx xx - =-= 当 () 0,1x时, ( ) 0gx ,函数 ( ) g x在( ) 0,1上单调递增; 当 () 1,x?时, ( ) 0gx 时,求出函数 ( ) fx 的最大值,要使 ( ) 22fxa?在( ) 0,+?上恒成立,只 需 ( )max 22af x-? ,从而求出a 的范围 方法 2: () 0,x?, ( ) 22fxa?等价于 ln2 1 x a x + + 令 ( ) l n2 1 x g x x + = + , 则 ( ) () 2 1 l n1 1 x x gx x - = +