1、 【题型综述题型综述】 函数的最值函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我 们有如下结论：一般地，如果在区间 , a b上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与 最小值. 设函数 ( ) fx在 , a b上连续，在( , )a b内可导，求 ( ) fx在 , a b上的最大值与最小值的步骤为： （1）求 ( ) fx在( , )a b内的极值； （2）将函数 ( ) fx的各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值. 函数的最值与极值的关系函数的最值与极值的关系
2、 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 , a b的整体而言； （2）在函数的定义区间 , a b内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或 者没有）； （3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【典例指引】【典例指引】来源来源:163文库 例 1已知函数 ( ) cos x f xexx=-. （1）求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 0,0f处的切线方程； （2）求函数 ( ) fx在区间 0, 2 轾 犏 犏 臌 上的最大值
3、和最小值. 【思路引导】 （1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可， （2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的 取值地方从而计算得出最值 点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分 题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可 得到最值 例 2设函数 ( )( ) ln ,21 x f xx g xxex=- . (1)关于x的方程 ( ) 2 10 3 fxxm=-+在区间 1,3上有解，
4、求m的取值范围； (2)当0 x时， ( )( ) g xaf x-?恒成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1）方程 ( ) 2 10 3 fxxm=-+等价于 ( ) 2 7 ln 3 h xxxxm=-+=，利用导数研究函数的单调性，结合函数 图象可得m的取值范围；（2） ( )( ) g xaf x-?恒成立等价于 ( )( )( ) ln1 x F xg xf xx exxa=-= ?-? 恒成立，两次求导，求得 ( ) F x的最小值为零，从而可得实数a的取值范围.学* 试题解析： （1）方程 ( ) 2 10 3 fxxxm=-+即为 2 7 ln 3 xxxm-+=，令
5、( )() 2 7 ln0 3 h xxxx x=-+，则 ( ) ()() 312317 2 33 xx hxx xx +- =-+=-， 当 1,3x时， ( )( ) ,hxh x随x变化情况如表： x 1 3 1, 2 骣 琪 琪 桫 3 2 3 ,3 2 骣 琪 琪 桫 3 ( ) hx + 0 - ( ) h x 4 3 极大值 ln3 2- ( )( ) 44335 1,3ln32,ln 33224 hhh 骣 琪=-=+ 琪 桫 ， 当 1,3x时， ( ) 35 ln32,ln 24 h x 轾 ?+犏 犏 臌 ， m的取值范围是 35 ln32,ln 24 轾 -+犏 犏
6、臌 . 例 3已知函数 ( )() 32 2312h xxxx m mR=+-+?的一个极值为2- （1）求实数m的值； （2）若函数 ( ) h x在区间 3 , 2 k 轾 犏 犏 臌 上的最大值为 18，求实数k的值 【思路引导】 （1）由题意得 ( )()() 2 6612621hxxxxx=+-=+-，函数 ( ) h x有两个极值为 () 2h -和令 ( ) 1h，从而 得到实数m的值； （2）研究函数 ( ) h x在区间 3 , 2 k 轾 犏 犏 臌 上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数k的 方程，解之即可. 学* 试题解析： （1）由 ( )() 32 2312h
7、xxxx m mR=+-+?， 得 ( )()() 2 6612621hxxxxx=+-=+-， 令 ( ) 0hx =，得2x=-或1x=；令 ( ) 0hx ，得21x-，得2x.所以函数 ( ) h x有两个极值为 () 2h -和令 ( ) 1h. 若 () 22h -=-，得 ()()() 32 22321222m?+ ?-?+=-，解得22m=-； 若 ( ) 12h=-，得 32 2 13 112 12m?=-，解得5m=； 综上，实数m的值为22-或 5. 学* （2）由（1）得， ( ) hx， ( ) h x在区间 3 , 2 纟 -? 棼 上的变化情况如下表所示： 【新题
8、展示新题展示】 1 【2019 江西新余市一中一模】已知函数， 当时，若的最小值为 3，求实数 a 的值； 当时，若不等式的解集包含，求实数 a 的取值范围 【思路引导】 当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解 a 即可 当时，即，通过 x 的范围，转化去掉绝对值符号，推出 a 的范围 【解析】 2 【2019 宁夏石嘴山三中期末】已知函数. （1）若的图像过点，且在点 处的切线方程为，试求函数的单调区间； （2）当时，若函数恒成立，求整数 的最小值. 【思路引导】 （1）根据且求得函数解析式，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围， 可得函数的减区间； （2）
9、 函数恒成立等价于在区间 内恒成立，根据零点存在定理确定极值点 的范围，可得的范围，从而可得结果. 【解析】 （1）函数过点可知， （2）由可知， 因为，所以原命题等价于在区间内恒成立. 设， 可设，在单调递增，且， 所以存在唯一的，使得 且当时，单调递增， 当，单调递减， 所以当时，有极大值，也为最大值，且 又，所以，可知，所以 的最小值为 1. 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( )() 1 1 ln x fxae xa a =-+-（0a且1a） ，e为自然对数的底数 （）当ae=时，求函数 ( ) yf x=在区间 0,2x上的最大值； （）若函数 ( ) fx只有一个零点，求a
10、的值 【思路引导】 (1)由导函数的解析式可得 ( )( )( ) 2 max 1 max0 ,23fxffee e =- (2)由 ( ) 0fx =，得logaxe=，分类讨论1a和01a时， ln0a， x () ,logae-? logae () log , ae +? ( ) fx - 0 + ( ) fx 极小值 所以当logaxe=时， ( ) fx有最小值 ( )() min 1 logln a fxfee a a =-， 因 为 函 数 ( ) fx只 有 一 个 零 点 ， 且 当x ?和x ?时 ， 都 有 ( ) fx ?， 则 ( )m i n 1 l n0fxeaa
11、= -=，即 1 ln0e a a +=， 因为当1a时， ln0a，所以此方程无解 当01a时， ln0a，学* x () ,logae-? logae () log , ae +? ( ) fx - 0 + ( ) fx 极小值 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历 届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用
12、导数求函数的最值(极值)，解决 生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 2已知函数 f(x)(xk)ex， (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间0，1上的最小值 【思路引导】 （1）f（x）=（xk+1）ex，令 f（x）=0，得 x=k1由此能求出 f（x）的单调区间 （2）当 k10 时，函数 f（x）在区间0，1上递增，f（x）min=f（0）=k；当 1k2 时，函数 f（x）在 区间0，k1上递减， （k1，1上递增，；当 k2 时，函数 f（x）在区间0， 1上递减，f（x）min=f（1）=（1k）e 试题解析：(1)f(x)(xk1)ex.来源: 令
13、 f(x)0，得 xk1. 学* 当 x变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下： x (，k1) (k1) (k1，)来源: f(x) 0 f(x) ek 1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，) (2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0，1上单调递增， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0)k. 当 0k11，即 1k时， ( )( ) g xaf x-?恒成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1）方程在一个区间上有解，可以转化为 2 7 ln 3 xxxm-+=有解，研究该函数的单调性和图像使得常函数 和该函数有交点即可。（2）
14、该题可以转化为当0 x时， ( )( ) g xf xa-?恒成立， 令 ( )( )( ) F xg xf x=- 研究这个函数的单调性和最值即可。 当 1,3x时， ( )( ) ,h xh x 随x变化情况如下表： x来源: 1 3 1, 2 骣 琪 琪 桫 3 2 3 ,3 2 骣 琪 琪 桫 3 ( ) h x + 0 - ( ) h x 4 3 极大值 ln3 2- ( ) 4 1 3 h=， ( ) 4 3ln32 3 h=-时， ( )( ) g xf xa-?恒成立 令 ( )( )( )() ln10 x F xg xf xx exxx=-= ?-，学* 5已知函数 ( )
15、 1 ln x fxx x - =-. （）求曲线 ( ) yf x=在点 11 , 22 f 骣骣 琪琪 琪琪 桫桫 处的切线方程. （）求 ( ) fx的单调区间. （）求 ( ) fx在 1 ,e 4 轾 犏 犏 臌 上的最大值和最 小值. 【思路引导】 ()首先利用导函数求得切线的斜率为 1 2 2 f 骣 琪= 琪 ，结合函数在可得切线过点 1 , 1 ln2 2 骣 琪 - + 琪 桫 ，则切线方程 为： 222yxln=-+ ()结合函数的定义域求解不等式 ( ) 0fx 和 ( ) 0fx 可得 ( ) fx单调增区间为( ) 0,1，单调减区间为 () 1,+?来源:ZXXK
16、 ()结合()的结论 可得 ( ) fx在 1 ,1 4 轾 犏 犏 臌 上单调递增，在 1,e上单调递减则 ( )( ) 10 max f xf=， ( ) 1 43 4 min fxfln 骣 琪=- 琪 桫 （3） 1 ,e 4 x 轾 犏 犏 臌 时， ( ) fx在 1 ,1 4 轾 犏 犏 臌 上单调递增， 在 1,e上单调递减 ( )( ) 10 max f xf=， 1 43 4 fln 骣 琪=- 琪 桫 ， ( ) 1 e f e =- 1 43 e ln -时， 不能有 () ,ln ,m na?， 设02mn?， 则由0ln2man? ? 即可，利用单调性即可证出. 点
17、评：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题. 处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性 及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求 函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉 及技巧比较多，需要多加体会. 8已知函数 ( ) () 32( 1) 1 xxx fx alnx x -+ = . （1）求 ( ) fx在区间( ) ,1-?上的极小值和极大值点。 （2）求 ( ) fx在 1,e-上的最
18、大值. 【思路引导】 （1）当1x时，求导函数，确定函数的单调性，可得 ( ) fx在区间( ) ,1-?上的极小值和极大值点； （2） 分两种情况11x- ?， 1xe讨论，分别利用导数确定函数的单调性，即可得到 ( ) fx在 1,e-上的 极大值，与区间端点值的函数值比较即可的结果. 试题解析： （1）当1x， ( ) f xm恒成立，求实数m的取值范围；来源:Z,xx,k.Com （2）设函数 ( )( )( ) 2F xf xg x=-，若 ( ) F x在 1,5上有零点，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1）0 x， ( ) f xm恒成立， 即求 ( )min f xm在(
19、 ) 0,+?上恒成立 （2） 函数 ( )( )( ) 2F xf xg x=- 在 1,5上有零点，等价于方程 ( )( ) 20f xg x-=在 1,5上有解，化简，得 2 1 43ln 2 xxxa-+=. 设 ( ) 2 1 43ln 2 h xxxx=-+，研究单调性，画出图像即得解. 试题解析： （1）由题意，得 ( ) fx的定义域为( ) 0,+?， ( ) ()() 2 13323 2 xxxx fxx xxx +- = =-=. 0 x， ( ) fx 、 ( ) fx随x的变化情况如下表： x () 0,3来源:Z.xx.k.Com 3 () 3,+? ( ) fx
20、- 0 + ( ) fx 单调递减 极小值 单调递增 所以 ( )( ) min 3 33ln3 2 fxf=-. ( ) f xm在( ) 0,+?上恒成立， 3 3ln3 2 m ?-. 10已知函数 ( ) 32 4f xxax=-+-.来源: （I）若 ( ) 4 3 fxx =在处取得极值，求实数 a的值； （II）在（I）的条件下，若关于 x 的方程 ( ) 1,1f xm=-在上恰有两个不同的实数根，求实数 m的取值范 围. 【思路引导】 （）求导数，把 4 3 x =代入导函数为零可得关于a的方程，解之可得实数a的值，检验是否有极值即可； （）求 ( ) fx，利用导数研究函数
21、的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 11已知函数 ( ) ()ln f xx ax=+， ( )() 2 13g xxmx=-+（其中a为常数， e为自然对数的底数） ， 曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1f处的切线与x轴平行.来源: （1）求 ( ) fx的单调区间； （2）当 2 ,2xe e 轾 犏 犏 臌 时，若函数 ( )( )( ) h xxfxg x =+有两个不同零点，求实数m的取值范围. 【思路引导】 （1）先根据导数几何意义得切线斜率 ( ) 1f，解出1a =-，再求导函数零点，根据导函数符号确定函数单 调区间， （2）先化简 ( )
22、 h x，再求导数，利用参变分离转化为研究两曲线交点个数问题：函数 ( ) 2 lnxxx x j=+的图象与函数ym=的图像有两个不同交点，再利用导数研究函数 ( ) xj图像，结合图 像确定有两个交点需满足的条件 试题解析： （）因为 ( ) ()ln f xx ax=+ 所以 ( ) fx的定义域为( ) 0,+?，且 ( ) ln xa fxx x + + =， 由于曲线 ( ) yf x=在 ( )() 1,1f处的切线与x轴平行， 所以 ( ) 10f=，因此1a =-; 所以 ( )() 1 ln1fxx xx x =+ - 令 ( ) ln1h xx xx=+ -， () 0,x?， ( ) 10h= 当 () 0,1x时， ( ) 0h x ， 又因为 1 0 x ， 所以当 () 0,1x时， ( ) 0fx ， 因此 ( ) fx的单调递减区间为( ) 0,1，单调递增区间为( ) 1,+? 12已知函数 (1) 当时，求函数 的单调增区间； (2) 求函数在区间上的最小值 (3)在（1）的条件下，设 = +，求证：，参考数据： . 【思路引导】 （1）由可解得的单调增区间； （2），由此对 进行分类讨论，能求出的最 小值； （3）令，从而得到，由此能 证明结论. 试题解析：(1)当时， 或。函数的单调增区间为
