1、 【题型综述】 探究向量关系问题解题策略:(1)“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元 素向量关系存在,用向量的坐标运算,转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式,利用设而不求思想,列出 关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则向量关系存在存在;否则,向量关系不存在.(2)反证法与验 证法也是求解探索性问题常用的方法. 【典例指引】 类型一 探究向量式是否为定值 例 1 【2015 高考四川,文 20】如图,椭圆 E: 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率是 2 2 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且PC PD1 ()求椭圆 E 的方程; ()设 O 为坐标原
2、点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 ,使得OA OBPA PB为 定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. 类型二 探究向量式是否成立 例 2. 【2014 高考湖南卷文第 20 题】如图 5,O为坐标原点,双曲线 22 111 22 11 :1(0,0) xy Cab ab 和 椭圆 22 222 22 22 :1(0) xy Cab ab 均过点 2 3 (,1) 3 P , 且以 1 C的两个顶点和 2 C的两个焦点为顶点的四 边形是面积为 2 的正方形. (1)求 12 ,C C的方程; (2)是否存在直线l,使得l与 1 C交于,A B两点,与 2 C
3、只有一个公共点,且| | |OAOBAB ?证明你的 结论. 是 22 22 121212 2 33 3 km y yk x xkm xxm k ,联立直线l与椭圆 22 1 32 ykxm yx 可得 222 234260kxkmxm,因为直线l与椭圆只有一个交点, 所以 2222 0168 2330k mkm ,化简可得 22 23km ,因此 2222 1212 222 3333 0 333 mkmk OA OBx xy y kkk , 于是 2222 22OAOBOA OBOAOBOA OB ,即 22 OAOBOAOB,所以OAOBAB, 综上不存在符合题目条件的直线l.学 () 设
4、 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点,且 8AC DBADCB , 若存在,求 k 的值,不存在,说明理由. =6 2 2 212 23 k k , 由已知得6 2 2 212 23 k k =8,解得 2k .学& 类型四 利用向量探究曲线过定点 例 4. (2012 福建理 19)如图,椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的左焦点为 1 F,右焦点为 2 F,离心率 2 1 e。 过 1 F的直线交椭圆于BA,两点,且 2 ABF的周长为 8。 ()求椭圆E的方程。 ()设动直线mkxyl:与椭圆E有且只
5、有一个公共点P,且与直线4x相交于点Q。试探究: 在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若 不存在,说明理由。 (法 3) 由 22 1 43 ykxm xy 得 222 (43)84120kxkmxm, 动直线l与椭圆E有且只要一个交点 00 (,)P xy,0m 且=0, 即 2222 644(43)(412)0k mkm,化简得 22 430,km 此时 0 x= 2 4 43 km k = 4k m , 0 y= 0 kxm= 3 m ,P( 4k m , 3 m ), 由 4x ykxm 得Q(4,4km).学& 假设平面内存在定点M满足条
6、件,由图形对称性知,点M必在x轴上, 【扩展链接】 1. 设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上,过焦点 F 且斜率为k的直线l交曲线C于BA,两点,若 )0(FBAF,则| 1 1 |1 2 ke. 2. 在圆锥曲线中,过焦点 F 不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于R,则 2| |e AB FR . 3.已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点分别为)0 ,( 1 cF 和)0 ,( 2 cF(0c),过点)0 ,( 2 c a E的直线 与椭圆相交于BA,两点,若) 1( 21 BFAF,则直线一定过), 0(b或), 0(b. 4.
7、如果平面内有BAO,三点不共线,设 222 )(| | 2 1 OBOAOBOAS AOB . 【新题展示】 1 【2019 湖北恩施 2 月质检】已知抛物线 :的焦点为 ,其准线 :与 轴的交点为 ,过点 的直线 与抛物线 交于两点 (1)求抛物线 的方程; (2)点 关于 轴的对称点为 ,证明:存在实数,使得 【思路引导】 (1)根据抛物线的准线为直线 :,可求出 ,进而可得抛物线方程; (2)先设直线 的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理,求出直线 恒过定点 ,进而可证明结论成立 【解析】 (1)因为抛物线 :的准线为直线 :, 所以,解得 所以抛物线 的方程为 (2)易知点 的坐
8、标为,据此可设直线 的方程为, 联立整理得,故 因为点 关于 轴的对称点为 ,所以 则直线的方程为, 得, 得, 即 令,得, 得 所以直线恒过定点 所以点在直线上,所以不妨令 因为, 所以, 所以, 所以 所以存在实数,使得,命题得证 2 【2019 黑龙江齐齐哈尔一模】已知 为坐标原点,椭圆 :的左、右焦点分别为 ,过焦点且垂直于 轴的直线与椭圆 相交所得的弦长为 3,直线与椭圆 相切 (1)求椭圆 的标准方程; (2)是否存在直线 :与椭圆 相交于两点,使得?若存在,求 的取值 范围;若不存在,请说明理由! 【思路引导】 (1)由题意列出关于 a,b 的关系式,解得 a,b 即可 (2)
9、将直线与椭圆联立,将向量数量积的运算用坐标形式表示,利用根与系数之间的关系确定 k 的取值范 围 【解析】 (1)在中,令,得,解得 由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆 相交所得的弦长)为 3, 得, 所以 因为直线 :与椭圆相切,则 将代入,得 故椭圆 的标准方程为 (2)设点, 由(1)知,则直线 的方程为 联立得, 来源: 则恒成立 所以, 因为, 所以即 即 , 得,得, 即, 解得; 直线 存在,且 的取值范围是 3 【2019 安徽江南十校 3 月检测】设 是坐标原点,圆 :,椭圆 的焦点在 轴上,左、 右顶点分别为 , , 离心率为, 短轴长为 4 平行 轴的直线 与椭圆
10、 和圆 在 轴右侧的交点分别为 , , 直线与 轴交于点,直线与 轴交于点 ()求椭圆 的标准方程; ()当时,求 的取值范围 【思路引导】 (1) 根据椭圆的几何性质, 得到关于的方程, 求得结果;(2) 解法一: 假设 方程和坐标, 利用 得到和 的坐标,从而将转化为关于 的式子,求得 范围;解法二:假设方程和坐标,与椭 圆方程联立解出 点坐标,进一步推导出坐标,将转化为关于 的式子,求得 范围 【解析】 (1)设椭圆 的标准方程为 由题意得,解得 椭圆 的标准方程为 (2)解法一:设且, 设,共线, 得,同理得 解法二:设, 联立得: , ,令得 又由,令得 又轴 来源:163文库 4【
11、2019 河北衡水中学摸底】 已知点 是抛物线 的焦点, 若点在抛物线 上, 且 求抛物线 的方程; 动直线与抛物线 相交于两点,问:在 轴上是否存在定点其中,使得向量 与向量共线 其中 为坐标原点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由 【思路引导】 求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得 的坐标,代入抛物线方程,解得,进而得到 抛物线的方程;在 轴上假设存在定点其中,使得与向量共线,可得 轴平分, 设,联立和,根据恒成立,运用韦达定理和直线的斜率公式,化 简整理可得的方程,求得,可得结论 【解析】 抛物线 C:的焦点为, 准线方程为, 即有,即, 则,解得, 则抛物线的方
12、程为; 在 x 轴上假设存在定点其中, 使得与向量共线, 由,均为单位向量,且它们的和向量与共线, 可得 x 轴平分, 设, 联立和, 得, 恒成立 , 设直线 DA、DB 的斜率分别为 , , 则由得, , , 联立,得, 故存在满足题意, 来源:ZXXK 综上,在 x 轴上存在一点,使得 x 轴平分, 即与向量共线 【同步训练】 1已知椭圆 C:+=1(ab0)的上下两个焦点分别为 F1,F2,过点 F1与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,MNF2的面积为,椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于
13、点 P,与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若存在实 数 ,使得+=4,求 m 的取值范围 【思路点拨】 (1)根据已知设椭圆的焦距 2c,当 y=c 时,|MN|=|x1x2|=,由题意得,MNF2的面积 为|MN| |F1F2|=c|MN|=,又,解得 a、b 即可 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(0,y0) ,分类讨论:当 m=0 时,利用椭圆的对称性即可得出;m0 时,直线 AB 的方程与椭圆的方程联立得到0 及根与系数的关系,再利用向量相等, 代入计算即可得出 (2)当 m=0 时,则 P(0,0) ,由椭圆的对称性得, m=0 时,存在实数 ,使得+=4,
14、 当 m0 时,由+=4,得, A、B、p 三点共线,1+=4,=3 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由,得(k2+4)x2+2mkx+m24=0, 由已知得=4m2k24(k2+4) (m24)0,即 k2m2+40,且 x1+x2=,x1x2= 由得 x1=3x2学&来源:163文库 3(x1+x2) 2+4x 1x2=0, ,m2k2+m2k24=0, 显然 m2=1 不成立, k2m2+40,即 解得2m1 或 1m2学& 综上所述,m 的取值范围为(2,1)(1,2)0 2.已知 F1,F2分别是椭圆 C:+=1(ab0)的两个焦点,P(1,)是椭圆上一点,且|PF1|,
15、 |F1F2|,|PF2|成等差数列 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知动直线 l 过点 F2,且与椭圆 C 交于 A、 B 两点, 试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得=恒 成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【思路点拨】 (1)根据椭圆的性质及等差数列性质得出 a=c,把 P 点坐标代入椭圆方程列方程组解出 a, b 得出椭圆方程; (2)设 Q(m,0) ,讨论直线 l 的斜率,求出 A,B 坐标,列方程解出 m 3.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:+=1(ab0)的一个焦点为 F1(,0) ,M(1,y) (y 0)为椭圆上的一点,MOF1的面积为
16、 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 T 在圆 x2+y2=1 上,是否存在过点 A(2,0)的直线 l 交椭圆 C 于点 B,使=(+)? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 【思路点拨】 (1)由已知列式 c=,得 a2,b2 即可; (2)设直线 l 的方程为:y=k(x2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由得(1+4k2)x216k2x+16k24=0,x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)4k=, =(+)=,得 T()代入 圆 C1,可得化 为 176k424k25=0 可求得 k 4. 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 为,是 椭 圆 上
17、一 点 , 若, (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 过右焦点(不与 x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点 A,B,在 x 轴上是否存在 一个定点 P(x0,0) ,使得的值为定值?若存在,写出 P 点的坐标(不必求出定值) ;若不存在,说 明理由 【思路点拨】 (1)根据椭圆的定义及勾股定理即可求得 a=3,c=,b2=a2c2=4,即可求得椭圆方程; (2) 方法一: 设直线 l:x=my+,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,=t 则 (4x0236)m2+9x0218x0+29=t(4m2+9) ,比较系数,即可求得 x0=,在 x 轴上存在一个定点 P (,0) ,使
18、得的值为定值() ; 方法二:分类讨论,当直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=k(x) ,代入椭圆方程,利用韦达定理及向 量数量积的坐标运算,令=t 则(9x0218x0+29)k2+4x0236=t(4+9k2) ,9x0218x0+29=9 t 且 4x0236=4t,即可求得 x0=,此时 t 的值为 解法二:当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 方程为:y=k(x) ,代入椭圆方程并消元整理得: (9k2+4)x218k2x+45k236=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则是方程的两个解,由韦达定理得: x1+x2=,x1x2=, y1y2=k2(x1) (x2)=
19、k2( x1x2(x1+x2)+5)=, =(x1x0,y1)(x2x0,y2)=( x1x0) ( x2x0)+y1y2=x1x2x0(x1+x2)+x02+y1y2, =,学& 令=t 则(9x0218x0+29)k2+4x0236=t(4+9k2) , 9x0218x0+29=9 t 且 4x0236=4t, 解得:x0=,此时 t 的值为, 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为:x=,代入椭圆方程解得:A(,) ,B(,) , =(,)(,)=, 当直线 l 与 x 轴垂直时,也为定值, 综上,在 x 轴上存在一个定点 P(,0) ,使得的值为定值() 5.如图已知椭圆 C:+=
20、1(ab0)的离心率为,以椭圆的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) 2+y2=r2 (r0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M,N (1)求椭圆 C 的方程; (2)求的最小值,并求此时圆 T 的方程 【思路点拨】 (1)运用椭圆的离心率公式和顶点坐标,结合 a,b,c 的关系,可得椭圆方程; (2)设 M(m,n) ,由对称性可得 N(m,n) ,代入椭圆方程,再由向量数量积的坐标表示,转化为关 于 m 的二次函数,配方,结合椭圆的范围,可得最小值,进而得到 M 的坐标,可得圆的方程 6.已知椭圆的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线 x+y2=0 相 切来源:163文库 (
21、1)求椭圆的标准方程; (2) 对于直线 l: y=x+m 和点 Q (0, 3) , 椭圆 C 上是否存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称, 且 3=32, 若存在实数 m 的值,若不存在,说明理由 【思路点拨】 (1)由椭圆的离心率,得 b=c,写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程,再由点 到直线的距离列式求得 b,c 的值,结合隐含条件求得 a,则椭圆方程可求; (2)由题意设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 方程为:y=x+n联立消 y 整理可得:3x2 4nx+2n22=0, 由0 解得 n 的范围 再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线 AB
22、之中点坐标, 代入直线 AB,再由点 P 在直线 l 上求得 m 的范围,最后由 3=32 求得 m 的值 (2)由题意设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 方程为:y=x+n 联立消 y 整理可得:3x24nx+2n22=0, 由=(4n)212(2n22)=248n20,解得 ,学& 设直线 AB 之中点为 P(x0,y0) ,则, 由点 P 在直线 AB 上得:, 又点 P 在直线 l 上, ,则 又, =, 解得:或 m=1学& 综合,知 m 的值为 7.已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A、B,且长轴长为 8,T 为椭圆上一点,直线 TA、TB 的斜
23、率之积为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为原点,过点 M(0,2)的动直线与椭圆 C 交于 P、Q 两点,求+的取值范围 【思路点拨】 (1)求得直线 TA,TB 的斜率,由=,即可求得椭圆 C 的方程; (2)设直线 PQ 方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标,求函数的单调性,即可求得 +的取值范围 =20+(8 分) 20+,(10 分)学& 当直线 PQ 斜率不存在时+的值为20, 综上所述+的取值范围为20,(12 分) 8.已知抛物线 E:x2=4y 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点 (1)若点 M 在线段 AB 上运动,原点 O
24、 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值; (2)过 A,B 分别作抛物线 E 的切线 l1,l2,若 l1与 l2交于点 P,求的值 【思路点拨】 (1)由题意设直线 AB 的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及弦长公式,根据函数的单调 性即可求得四边形 OACB 面积的最小值; (2)求导,利用点斜式方程,求得求得切线 l1,l2的方程,联立求得 P 点坐标,根据向量的坐标运算,即 可求得的值 9.已知点 P(4,4) ,圆 C: (xm)2+y2=5(m3)与椭圆 E:+=1(ab0)有一个公共点 A(3, 1) ,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1与圆
25、 C 相切 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求的取值范围 【思路点拨】 (1)先利用点 A 在圆上求出 m,再利用直线 PF1与圆 C 相切求出直线 PF1与的方程以及 c, 再利用点 A 在椭圆上求出 2a,即可求出椭圆 E 的方程; (2) 先把用点 Q 的坐标表示出来, 再利用 Q 为椭圆E 上的一个动点以及基本不等式即可求出 的取值范围 (2),设 Q(x,y) , , ,即 x2+(3y)2=18,而 x2+(3y)22|x|3y|, 186xy18学& 则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy 的取值范围是0,36 x
26、+3y 的取值范围是6,6 x+3y6 的范围只:12,0 即的取值范围是12,0 10.若椭圆 E1:与椭圆 E2:满足,则称这两个椭圆相似,m 叫相 似比若椭圆 M1与椭圆相似且过点 (1)求椭圆 M1的标准方程; (2)过点 P(2,0)作斜率不为零的直线 l 与椭圆 M1交于不同两点 A、B,F 为椭圆 M1的右焦点,直线 AF、BF 分别交椭圆 M1于点 G、H,设,求 1+2的取值范围 【思路点拨】 (1)根据题意,设椭圆 M1的标准方程为,由“椭圆相似”的性质思路引导可得 ,解可得 a2、b2的值,代入椭圆的方程即可得答案; (2)设直线 l 的斜率为 k,以及 A、B、G、H
27、的坐标,可以表示、的坐标,分“AG 与 x 轴不垂直”和 “AG 与 x 轴垂直”两种情况,求出直线 AG 的方程,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系的思路引导 可得 1+2范围,即可得答案 得,1=32x1, 当 AG 与 x 轴垂直时,点 A 的横坐标为 1,1=1,2=32x1成立, 同理可得 2=32x2, 设直线 l 的方程为 y=k(x+2) , 代入椭圆方程,得(2k2+1)x2+8k2x+8k22=0, 则, 得, , 由得, 即 1+2范围为(6,10) 学& 11.已知椭圆 C:(ab0) 的离心率为, 左、 右焦点分别为圆 F1、 F2, M 是 C 上一点, |MF
28、1|=2, 且|=2 (1)求椭圆 C的方程; (2)当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A、B 时,线段 AB 上取点 Q,且 Q 满足 |=|,证明点 Q 总在某定直线上,并求出该定直线的方程 【思路点拨】 (1)由已知得 a=2c,且F1MF2=60 ,由余弦定理求出 c=1,即可求得 a,结合隐含条件求得 b,则椭圆 C 的方程可求; (2)设直线 l 的方程为 y=kx+(14k) ,代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+(8k32k2)x+64k232k8=0, 利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点 Q 总在某定直线上,并求出该定直线方程 证明: (
29、2)由题意可得直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y1=k(x4) ,即 y=kx+(14k) , 代入椭圆方程,整理得(3+4k2)x2+(8k32k2)x+64k232k8=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则, 设 Q(x0,y0) ,由|=|,得: (4x1) (x0 x2)=(x1x0) (4x2) (考虑线段在 x 轴上的射影即可) , 8x0=(4+x0) (x1+x2)2x1x2,学& 于是, 整理得 3x02=(4x0)k, 又 k=,代入式得 3x0+y03=0, 点 Q 总在直线 3x+y3=0 上 12.如图,椭圆 E:,点 P(0,1)在短轴
30、 CD 上,且 (1) 求椭圆 E 的方程及离心率; (2) 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点是否存在常数 ,使得 为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由 【思路点拨】 (1)由已知可得点 C,D 的坐标分别为(0,b) , (0,b) 结合=2 列式求得 b,则 椭圆方程可求,进一步求出 c 可得椭圆的离心率; (2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) 联 立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系可得 A,B 横坐标的和与积+,可知当 =2 时, += 7 为 定 值 当直 线 AB 斜 率 不 存 在时 , 直 线 AB 即 为 直线 CD ,仍有 +=+2=34=7,故存在常数 =2,使得+为定值7