1、 1 宜昌市部分示范高中教学协作体 2017年春期中联考 高二（理科）数学 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知命题 ，那么 是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为特称命题的否定是全称命题，所以对于命题 ， 那么 是：， 故选 D. 2. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设直线的倾斜 角为 ， 则 ， 故选 C. 3. 已知一个线性回归方程为 ，其中 的取值依次为 1， 7， 5， 13， 19,则（ ） A. B. C. D. 【答案】
2、A 【解析】 ，故选A. 4. “ ” 是 “ 方程 为双曲线的方程 ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】试题分析：若方程 表示椭圆，则 ，解得 且 ，2 所以 是方程 表示椭圆的必要不充分条 件，故选 B 考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由三视图知，该几何体是底面半径为 ，高为 的半圆锥，故，故选 A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于
3、难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 . 6. 圆 与圆 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】 B 【解析】 圆 的圆心 ， 半径 ， 圆 的圆心， 半径 ， ，所以两圆外切 ，故选 B. 7. 二项式 展开式中， 的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 3 【解析】 通项公式 ： ， 令 ， 解得 ，的系数为 ， 故选 B. 【方法
4、点晴】本题主要考查二项展开式 定理的通项与系数，属于简单题 . 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（ 1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（ 2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（ 3）二项展开式定理的应用 . 8. 执行如右图所示的程框图，则输出的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环：； 第四次循环： ；第五次循环： ；第六次循环： ； 结束循环，输出 选 C. 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考
5、查，侧重于对流程图循环结构的考查 .先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 . 9. 椭圆 的焦距为 ，则 的值等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4 【答案】 B 【解析】 假设椭圆的焦点在 轴上，则 ， 由焦距 ， 则 ， 解得：，当椭圆的焦点在 轴上时，即 ， 由 焦距 ， 则 ， 解得 ： ， 故 的值为 或 ， 故选 B. 10. 已知 ，则方程是 与 在同一坐标系内的图形可能是 ( ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 方程
6、 即 ， 表示抛物线，方程 表示椭圆或双曲线，当 和 同号时，抛物线开口向左，方程 表示椭圆 ， 无符合条件的选项，当 和 异号时，抛物线 开口向右，方程 表示双曲线 ，故选 A. 11. 某班文艺晚会，准备从 等 个节目中选出 个节目，要求： 两个节目至少有一个选中，且 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不 同演出顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：由题可知可分为两类：第一类 只有一个选中，则不同的演出顺序有；第二类， 同时选中，则不同演出顺序有 。共有 + =1140，故选 C。 考点：排列数与组合数 12. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ，
7、点 分别是棱5 的中点，当二面角 为 时，直线 和 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图，因为三棱柱 中是直三棱柱， 平面 ， 则为二面角 的平面角等于 ， ， 且 ， 以 为原点，分别以， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则， 与 的夹角为 ， 即直线 和 所成的角为 ， 故选 B. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请将正确答案填写在答题卡相应的位置上 13. 已知抛物线的方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 _ 【答案】 【解析】 由题意， ， 故其焦点在 轴半轴上， ， 所以焦点坐标为 ， 故答案为 . 6 14. 已知双曲线的方程
8、为 ，则此双曲线的离心率为 _渐近线方程为_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 双曲线的方程为 ， 可得 ， 双曲线的渐近线方程为， 故答案为 ， . 15. 已知圆 ，直线 ，圆 上任意一点 到直线的距离小于 的概率为 _ 【答案】 【解析】 由题意知 ， 圆的标准方程为 的圆心是 ， 圆心到直线 的距离是 ， 当与 平行 ， 且在直线下方距离为 的平行直线为， 则 ， 则 ， 即 （舍去 ） 或 ， 此时直线为 ， 则此时圆心到直线 的距离 ， 即三角形 为直角三角形，当 位于弧 时，此时 到直线的距离小 于 ， 则根据几何概型的概率公式得到， 故答案为 . 【方法点睛】本题題主要考
9、查 “ 角度型 ” 的几何概型，属于中档题 . 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与角度有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总角度 以及事件的角度 ； 几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（ 1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（ 2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（ 3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导7 致错误 . 16. 已知矩形 的长 ，宽 ，将其沿 对角线 折起，得到四面体 ， 如图所示，给出下列结论： 四面体 体积的最大值为 ； 四面体 外接球的表面积恒为定值； 若 分别为棱 的中
10、点，则恒有 且 ； 当二面角 为直二面角时，直线 所成角的余弦值为 ； 当二面角 的大小为 时，棱 的长为 其中正确的结论有 _(请写出所有正确结论的序号 ) 【答案】 【解析】 对于 四面体 体积最大为两个面互相垂直，四面体 体积的最大值为， 故不正确； 三棱锥 外接球的半径为 ， 所以三棱锥 外接球的表面积为 ， 正确 ； 若 为分别棱 的中点，连接 ， 则， 根据等腰三角形三线合一得到 ， 连接 ， 容易判断 ，得到 ， 所以 ， 所以 正确 ； 二面角 为直二面角时，以 为原点所在直线分别为 轴，则由向量的数量积可以得到直线 所成角的余弦值为 ，所以 正确 ； 当二面角 的大小为 时，
11、棱 的长为 ， 在直角三角形 中 ， ， 作 ，则 ， 同理直角三角形 中 ， 则 ， 在平面 内，过 作 ， 且 ， 连接 ，易得四边形 为矩形，则 ， 又 ， 即有 为二面8 角 的平面角，且为 ， 即 ， 由 平面 ， 得到 ， 即有， 则 ， 故 错误，故答案为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知命题 ：函数 在 上为增函数；命题 ： 有两个不相等的实根，若 为假， 为真，求实数 的取值范围 . 【答案】 【解析】 试题分析：若 “ ” 为假， “ ” 为真，则命题 一真一假 ， 列不等式组求解，即可求得实数 的取
12、值范围 . 试题解析：若 为真，则 ， 若 为真，则 即 或 ， 又 为假， 为真， 则 为真 为假，或 为假 为真， 当 为真 为假时 , 当 为假 为真时 , 综上可得 或 18. 已知圆 ，直线过定点 (1)若直线与圆 相切，求直线的方程。 (2)若直线与圆 相交于 两点，且 ，求直线的方程。 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： （ 1）若直线的斜率不存在，则直线 ， 符合题意 ； 若直线的斜率存在 ， 设直线的方程为 ， 由题意知，圆心 到已知直线的距离等于半径 ， 由此利用点到直线的距离公式得 ，从而求出直线的方程；（ 2） 设直线方程为 ， 由9 弦长 求出弦心距
13、， 由此利用点到直线距离公式求出 或 ， 从而能求出直线的方程 . 试题解析：（ 1）圆 的圆心 ，半径为 2， 当直线 的斜 率不存在时， 为 ，显然满足条件， 当直线 的斜率存在时，设 的方程为 即 圆心到 的距离 ，所以 ， 的方程为 综上得所求 的方程为 或 . （ 2）由题意得圆心到 的距离为 由（ 1）知当直线 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 的斜率存在时，设 的方程为 即 圆心到 的距离 ，所以 ， 的方程为 或 19. 四棱锥 中，底面 为矩形， ， 为 的中点 (1)证明： ； (2)设 ，三棱锥 的体积 ，求二面角 DAEC的大小 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解
14、析】 试题分析： （ 1） 可先连结 BD 交 AC于点 O,连结 EO， 根据中位线性质可证明 EO/P，从而可得结论； （ 2） 由三棱锥 的体积 ， 可得 ， 以 A为坐标原点， 的方向为 x轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz, 分别求出平面 DAE与平面 ACE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 . 10 试题解析：（ 1）连结 BD交 AC于点 O,连结 EO 因为 ABCD为矩形，所以 O为 BD的中点 又 E为的 PD 的中点，所以 EO/PB EO 平面 AEC,PB平面 AEC，所以 PB/平面 AEC （ 2）因为 PA 平面 ABCD， ABCD为矩形，所以 AB,AD,AP两两垂直 如图，以 A为坐标原点， 的方向为 x轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz, 三棱锥 的体积 , 则 A(0, 0 ,0)， D(0, ,0)， B(,0,0)， E(0, ,)， C (, ,0)， 则 =(0, ,)， =(, ,0)，设 为平面 ACE的法向量， 则 即 令 ，得 ， ，则
