1、 1 2016-2017 年学年度下学期期中考试 高二数学（文）试卷 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若集合 ，集合 ，且 ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由集合 得 ： ， 则 ，故 成立，故选 D. 2. 设是虚数单位，复数 （ ）的实部与虚部相等，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由 ，因为复数 （ ）的实 部与虚部相等， 所以 ，得 ，故选 B. 3. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分
2、必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 “ ” 可得： ，即 ,必有 ，充分性成立； 若 “ ” 未必有 ,必要性不成立， 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要，故选 A. 4. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】 C 【解析】试题分析： ，故选 C 考点：等差数 的前 项和 5. 已知 ，且 是第三象限的角，则 的值为（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为 ，且 为第二象限角，所以 ，则；故选 D. 6. 如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “
3、 更相减损术 ” 执行该程序框图，若输入 ， ，的值分别为 ， ， ，则输出 和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 A 【解析】 模拟执行程序框图，可得： ， ，不 满足 ，不满足 ，满足 ， ，满足 ， ， 不满足 ，满足 ，输出 的值为 2，的值为 4，故选 A. 7. 对于任意实数 ， ， ， ，以下四个命题： 若 ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ，则 .其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 B 【解析】试题分析：若 ，故 错误；若 则无意义，故 错误，综上正确的只有 ，故选 B. 考点：基本不等式
4、 . 8. 在区间 上随机选取两个数 和 ，则 的概率为（ ） 3 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图， 的概率为 ，故选 A. 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由三视图可知：该几何体为下半部分是高为 1，底面半径为 1 的圆柱，上半部分为三棱锥，其中三棱锥的底面是腰长为 的等腰直角三角形，高为 ，故几何体的体积为，故选 A. 10. 函数 是定义在 内的可导函数，且满足： ，对于任意的正实数，若 ，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 令 ， ， 所以 即 是增函数，即当 时
5、， ， ，从而 故选 B. 11. 已知变量 满足约束条件 若目标函数 4 在该约束条件下的最小值为 2，则 的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 不存在 【答案】 C 【解析】约束条件 表示的区域如图阴影部分所示： 目标函数可化为 ，由于 ，所以目标函数斜率为负值，所以目标函数在点取得最小值 ，即 , . 故本题正确答案为 点睛：本题主要考查线性规划和基本 不等式的应用 . 解决线性规划问题要求：一，准确无误地作出可行域 ;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错在用基本不等式求最值时，基本不等式的应用需要具备三个条件：一正二定三相等 .
6、 一正：关系式中，各项均为正数； 二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值； 三相等：含变量的各项均相等，取得最值 . 12. 已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点且经过点 ，记椭圆 的离心率为 ，则函数 的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 5 【解析】 由题意知 ，离心率 ， 在直线 上移动， 当 时， ， ，排除 ， ； 当 时， ， ，排除 C，过 作直线 的对称点 ，则此时 ，此时 有最小值，对应的离心率 有最大值，综上选 D. 点睛 ： 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用椭圆的定义和椭圆的离心率是解决本题的关键，利用极限思想是
7、解决本题的突破点 ， 具有一定难度 ； 作出直线 ，根据点 的位置变化，得到 的取值范围，然后判断离心率 的取值范围是即可得到结论 . 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ） 13. 命题 “ ” 的否定是 _. 【答案】 . 【解析】 “ 存在 ” 的否定是 “ 任意 ” ， “ ” 的否定是 “ ” ，所以命题“ ” 的否定是 “ ” 14. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如下表所示： 3 4 5 6 3 4 若根据表中数据得出 关于 的线性回归方程为 ，则表中 的值为_. 【答案】 【解析】 由题
8、意可知：产量 的平均值为 ，由线性回归方程为6 ，过 样本中心点 ，则 ，由，解得： ，表中 的值为 ，故答案为： . 15. 对大于或等于 2的正整数的幂运算有如下分解方式： ? ? 根据上述分解规律，若 ， 的分解中最小的正整数是 21，则_. 【答案】 12 【解析】试题分析：由已知 ， ，故 ，所以 11 考点：推理与证明 16. 直线 与曲线 相切，则 的值为 _. 【答案】 -3 【解析】试题分析：由 得 ，得切点为 ，代入切线得. 考点：利用导数求切线方程 . 三、解 答题（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知 中，角 ， ， 的
9、对边分别为 ， ， ，已知向量 ，且 （ 1）求角 的大小； （ 2）若 的面积为 ， ，求 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）利用已知及平面向量数量积运算可得 ，利用正弦定理可得 ，结合 ，可求 ，从而可求 的值；（ 2）由三角形的面积可解得 ，利用余弦定理可得 ，故可得. . 试题解析：（ 1） ， ， ， 7 ， ， 即 ， 又 ， ， 又 ， （ 2） ， ， 又 ，即 ， ， 故 18. 沪昆高速铁路全线 2016年 12 月 28日开通运营途经鹰潭北站的 、 两列列车乘务组工作人员为了了解乘坐本次列车的乘客每月需求情况，分别在两个车次各随机抽取了 100名旅
10、客进行调查，下面是根据调查结果，绘制了月乘车次数的频率分布直方图和频数分布表 （ 1）若将频率视为概率，月乘车次数不低于 15 次的称之为 “ 老乘客 ” ，试问：哪一车次的“ 老乘客 ” 较多，简要说明理由； （ 2）已知在 次列车随机抽到的 50 岁以上人员有 35名，其中有 10名是 “ 老乘客 ” ，由条件完成 列联表，并根据资料判断，是否有 的把握认为年龄与乘车次数有关，说明理由 老乘客 新乘客 合计 50岁以 8 上 50岁以下 合计 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 附：随机变量 （其中 为样本容量）
11、【答案】 （ 1） 次老乘客较多（ 2）有 的把握认为年龄与乘车次数有关 【解析】 试题分析 ：（ 1）分别计算 次与 次 “ 老乘客 ” 的概率，比较即可得出结论；（ 2）根据题意，填写列联表，计算观测值 ，对照临界值表得出结论 . 试题解析：（ 1） 次 “ 老乘客 ” 的概率为 ， 次 “ 老乘客 ” 的概率为 ， 次老乘客较多 （ 2） 老乘客 新乘客 合计 50岁以上 10 25 35 50岁以下 30 35 65 合计 40 60 100 ， 9 有 的把握认为年龄与乘车次数有关 19. 在直角坐标系 中，曲线 ： ，直线经过点 ，且倾斜角为 ，以为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐
12、标系 （ 1）写出曲线 的极坐标方程 与直线的参数方程； （ 2）若直线与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值 【答案】 （ ） （ ） ， 或 【解析】试题分析：（ 1）利用 ，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程，以及得到直线的参数方程；（ 2）设 两点对应的参数分别为 ，将直线的参数方程代入圆中，得到的方程，即可得到 ，即可求解实数 的值 试题解析：（ 1）曲线 的普通方程为： ，即 ，即 ， 即曲线 的极坐标方程为 直线的参数方程为 （为参数） （ 2）设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，将直线的参数方程代入 中， 得 ，所以 由 题意得 ，得 ， 或 考点：直角坐标方程与极坐标
13、方程的互化；参数方程的应用 20. 如图的几何体中， 平面 ， 平面 ， 为等边三角形， 为 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求 到平面 的距离 10 【答案】 （ 1）见解析 （ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）通过取 的中点 ，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明；（ 2）连接 ，设 到平面 的距离为 ，利用等体积法 可求得结果 . 试题解析：（ 1）证明：取 的中点 ，连接 、 为 的中点， 且 平面 ， 平面 ， ， ， 又 ， 四边形 为平行四边形，则 平面 ， 平面 ， 平面 （ 2）连接 ，设 到平面 的距离为 ， 在 中， ， ， ， 又 ， ， 由 ，即 （ 为正 的高）， 即点 到平面 的距离为 21. 已知函数 . （ 1）当 时，讨论 的单调区间； （ 2）设 ，当 有两个极值点为 ，且 时，求 的最小值 .
