1、 1 2016 2017学年度下学期期中考试 高二数学（文）试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1. 已知集合 ，集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，集合 ，则 .故选 B. 2. 命题 “ ” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 全称命题的否定为特称命题，所以命题命题 “ ” 的否定是“ ” ，故选 B. 3. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 依题意有 ，解得 . 4. 下列说法中 不正确 的是 ( ) A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 直角三角形绕它
2、的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C. 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 D. 圆台中平行于底面的截面是圆面 【答案】 B 【解析】 由旋转体体的概念可知，以直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个2 圆锥的组合体，故选 B. 5. 设 ，则下列不等式 成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由 可设 ，代入选项验证可知 成立 ,故选 D. 考点：不等式 6. 下列命题中错误的是（ ） A. 如果平面 外的直线 不平行于平面 ，则平面 内不存在与 平行的直
3、线 B. 如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么直线 平面 C. 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 【答案】 C 【解析】 由平面 外的直线 平 面 内一直线，则 平面 ，所以 A正确； . 7. 已知 ，则 的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】 D 【解析】【解析】 ，当且仅当 时取等号，因此选 D. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等3 式中 “ 正 ”( 即条件要求中字母为正数 )、 “ 定 ”( 不等式的另一边必须为定值 )
4、、 “ 等 ”( 等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 8. 已知一个平放的各棱长为 4的三棱锥内有一个小球，现 从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮 .当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ） . A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的， 正四面体的各棱长均为 4， 正四面体体积为 ， 没有水的部分的体积是 ， 设其棱长为 ，则 ， ， 设小球的半径为，则 ， ， 球的表面积 ，故选 C. 点睛：本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解
5、决问题 的能力，正确求出半径是关键；先求出没有水的部分的体积是 ，再求出棱长为 2，可得小球的半径，即可求出球的表面积 . 9. 已知 是奇函数 ,当 时 ,当 时 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为当 时，即当时 等于 ，故选 A. 4 10. 三棱柱 中， 为等边三角形， 平面 ABC， ， M,N分别是的中点，则 BM与 AN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图所示，取 的中点 ， 的中 点 ，建立空间直角坐标系 不妨设 则 ， ， ， ， ， ，故选 C 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之异面直线及其所
6、成的角，即直线的方向向量所成的角与异面直线所成的角相等或互补，主要依据异面直线所成角的范围来确定是相等或互补，属常见题型；在该题中取 的中点 ， 的中点 ，建立空间直角坐标系利用 ，即可得出 . 11. 对于函数 、 和区间 D，如果存在 ，使得 ，则称 是函数与 在区间 D上的 “ 互相接近点 ”. 现给出两个函数： ， ； ， ； ， ； ， . 则在区间 上存在唯一 “ 互相接近点 ” 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 5 【点睛】对于每两个函数求 ，若存在 x使得 ，则符合；否则不符合。 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几
7、 何体的体积为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 【答案】 C 【解析】 由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为 的四棱锥 ，其体积，故选 C. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图 重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 . 二 .填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分） 13. 不等式 的解集为 _. 【答案
8、】 【解析】 若 时， 或 ，故 或 ； 若 时，6 ，故 ，综上， 或 ，故答案为 . 14. 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， ， ，则此球的表面积等于 _ 【答案】 【解析】试题分析：由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形， ，设分别是 的中点， 是 中点，可证 就是三棱柱外接球球心， ，即 ，所以 考点：棱柱与外接球，球的表面积 【名师点睛】本题考查棱柱与外接球问题，解题的关键是找到外接球的球心在确定球心时，注意应用球的一个性质得：如果一个多面体存在外接球，则多面体的各个面一定存在外接圆，球心一定在过此外心且与此平面垂 直的直线上，对四面体
9、而言，注意四面体的面是直角三角形的情形 15. 已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】试题分析 :因函数 在 上单调递减 ,故,而当7 时 , ,所以当 时 ,即时 ,函数 的值域为 ,故应填答案 . 考点：分段函数的单调性、值域及基本不等式的灵活运用 【易错点晴】本题设置了一道以函数的值域为背景的综合应用问题 .其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力 .解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息 ,借助函数单调性求出函 数 的最小值为 ,再运用基本不等式求出函数 的最小值为 ,据此建立不等式 ,求出实数的取值范围是 ,从而获得答案 .
10、16. 在棱长均相等的正四棱锥 中， 为底面正方形的重心， 分别为侧棱的中点，有下列结论： 平面 ； 平面 平面 ； ； 直线 与直线 所成角的大小为 . 其中正确结论的序号是 _.（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 如图，连接 ，易得 ，所以 平面 ，结论 正确；同理 ，所以平面 平面 ，结论 正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，结论 正确 .由于 分别为侧棱 的中点，所以 ，又四边形 为正方形，所以 ，所以直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角，为 ，知三角形 为等边三角形，所以 ，故 错误，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的
11、角、线面平行的判定、面面平行的判定，属于难题 .求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角 的余弦公式求解；二是传统8 法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17. 已知函数 （ 1）若 ，解不等式 ； 若不等式 在 R上恒成立，求实数 a的取值范围 【答案】 （ 1） ;（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)分 x3 三种情况去掉绝对值讨论即可 . (2)由绝对值三角不等式的性质可得 |x a| |x 1|a
12、1|，只需 |a 1|3 ，求解即可 . 试题解析： (1)依题意， |x 1| |x 3|2x . 当 x3时，原不等式化为 x 1 x 32x ，即 20 恒成立 综上所述，不等式 f(x) |x 3|2x 的解集为 2， ) (2)f(x) |x 1|3 ?|x a| |x 1|3 恒成立， 由 |x a| |x 1|a 1|可知，只需 |a 1|3 即可， 故 a2 或 a 4，即实数 a的取值范围为 a|a2 或 a 4 18. 函数 的定义 域为集合 A，函数 的值域为集合 B. （ 1）当 时，求集合 ； 若集合 满足 ，求实数 a的取值范围 . 【答案】 （ 1） ;（ 2）
13、. 【解析】 试题分析：根据指数函数的单调性，求得集合 .（ 1）当 时，被开方数为非负数，解一元二次不等式求得集合 ；（ 2）由于 即 是 子集 .由有 ，由于 ，故解集为 ，从而 ，故 . 试题解析： （ 1）当 时，由题意得 ，即 ， ， ，由函数 在 上单调递增， ， . 9 （ 2） ， ，由题意得 得 ，即 ，当 时， ， ，由 ， ， ，故 . 19. 如图所示 ，已知长方体 中， ， 为 的中点，将 沿 折起，使得 . （ 1）求证：平面 平面 ； 若点 为线段 的中点，求点 到平面 的距离 . 【答案】 （ 1）见解析 ;（ 2） . 【解析】 【试题分析】（ 1）依据题设条
14、件，运用面面垂直的判定定理进行推证；（ 2）依据题设运用等价转化的数学思想，转化为三棱锥的体积相等，即用等积法转化为求三棱锥的高来求解： （ 1）证明： 长方形 中， ， 为 的中点， ， ， ， ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . （ 2）解： 取 的中点 ，连接 .由题意 ， ， ， 的面积为 ， 设点 到平面 的距离为 ，由于三棱锥 的体积为 . 点 到平面 的距离为 . 10 点睛：立体几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考重点考查的知识点和题型之一。解答第一问时，先依据题设条件，运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再依据面面垂直的判定定理进行推证；求解第二问时，先依据题设条件，运用余弦定理求出 的边长，再求出其面积为 ，进而运用等价转化的数学思想，转化为三棱锥的体积相等，即用等积法转化为求三
