1、 【题型综述题型综述】 导数研究函数图象交点及零点问题导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数)(xfy 的图象与函数)(xgy 的图象的交点问题，有以下几个步 骤： 构造函数)()()(xgxfxh； 求导)( xh； 研究函数)(xh的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况） ； 画出函数)(xh的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式； 解不等式得解. 探讨函数)(xfy 的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在 性定理求解. 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 1 lnf xa x x ，aR （I）若曲线 yf x在点（1， 1f）处的切
2、线与直线20 xy垂直，求 a 的值； （II）当1a 时，试问曲线 yf x与直线23yx是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有， 请说明理由 例 2已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数) （1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数m，使得对任意的 1 , 2 x 都有函数 m yf x x 的图象在函数 x e g x x 图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（ ln2 1.99 2 e ） 例 3已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR (1
3、)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 4ln f x g xx x 的零点个数 例 4已知函数 lnf xxx， ln1g xxt x （）求证：当0 x 时， 0f x ； （）若函数 g x在（1，+）上有唯一零点，求实数t的取值范围 【新题展示新题展示】 1 【2019 黑龙江大庆二模】已知函数. （）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线 距离的最小值； （）讨论函数零点的个数，并说明理由. 2 【2019 北京房山区上学期期末】已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； 来源:Z_X_X_K （）若对恒成立，求 的取值范围； （）证明：若存在零点，则在
4、区间上仅有一个零点. 3 【2019 浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数， 若恒成立，求 的范围 证明：存在实数 ，使得有唯一零点 4 【2019 甘肃、青海、宁 夏上学期期末】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 来源:163文库 （2）当时，讨论函数的零点个数. 5 【2019 安徽芜湖上学期期末】已知函数，. （1）求的极值点； （2）若函数在区间内无零点，求 的取值范围. 6 【2019 山东济南上学期期末】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求 的取值范围. 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 2 2 ln ,f xxa x aR x （）若 f
5、 x在2x 处取极值，求 f x在点 1,1f处的切线方程； （）当0a 时，若 f x有唯一的零点 0 x，求证： 0 1.x 2已知函数 ln b f xa xx 0a （1）当2b 时，若函数 f x恰有一个零点，求实数a的取值范围； （2）当0ab，0b 时，对任意 12 1 ,e e x x ，有 12 e2f xf x成立，求实数b的取值范 围 3已知函数 0 . x f xeaxa aRa且 (I)若函数 0f xx 在处取得极值，求实数a的值；并求此时 21f x在，上的最大值； ()若函数 f x不存在零点，求实数 a 的取值范围； 4已知函数 exf xxa，其中e是自然数
6、的底数， aR （）求实数 f x的单调区间 （）当1a 时，试确定函数 2 g xf xax的零点个数，并说明理由 5已知函数 2 ln 2 x f xx， 2 2 x g xx来源: （）求曲线 yf x在1x 处的切线方程 （）求 f x的单调区间 （）设 1h xaf xag x，其中01a，证明：函数 h x仅有 一个零点 6设函数 ln,R m f xxm x （）当em （e为自然对数的底数）时，求 f x的极小值； （）若函数 3 x g xfx 存在唯一零点，求m的取值范围 7已知函数 21 1 2 x f xxea x （1）若ae，求函数 f x的极值；来源:Z|X|X|
7、K （2）若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围 8已知 2 1 ln 2 f xxa x， aR （1）求函数 f x的增区间； （2）若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围，并说明理由； （3）设正实数 1 ， 2 满足当0a 时，求证：对任意的两个正实数 1 x， 2 x总有 1 1221122 fxxf xf x (参考求导公式： f axbafaxb) 9已知函数 2 1 ln 2 f xxaxx，1a （1）当0a 时，求函数 f x在 1,1f处的切线方程； （2）令 1g xf xax，讨论函数 g x的零点的个数； （3）若2a ，正实数 12 ,x x满足 12
8、12 0f xf xx x，证明 12 51 2 xx 10已知函数 ln a f xx x （aR） （1）判断函数 f x在区间 2, e 上零点的个数； （2）当1a 时，若在1,e（2.71828e ）上存在一点 0 x，使得 00 0 1 xmf x x 成立，求实数m的 取值范围 来源:163文库 11已知函数 2 1 3ln 2 f xxx （1）求 f x在 1,1f处的切线方程； （2）试判断 f x在区间1,e上有没有零点？若有则判断零点的个数来源:Z+X+X+K 12已知函数 ln, x a f xxeaR ，其中2.718,ee为自然对数的底数 （1）当1a 时，求函数 f x的极值； （2）当2a 时，讨论函数 f x的定义域内的零点个数 13已知函数 2 2 xx f xaeaex （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个零点，求a的取值范围 14已知函数 32 11 1 323 a f xxaxxaR （1）若1a ，求函数 f x的极值； （2）当01a 时，判断函数 f x在区间0,2上零点的个数 15已知函数 2 1 ln 2 f xxm x来源:Z#X#X#K来源:Z.xx.k.Com （1）求函数 f x的极值；来源: （2）若1m ，试讨论关于x的方程 2 1f xxmx的解的个数，并说明理由来源:
