1、 专题专题 12 综合求证多变换，几何结合代数算综合求证多变换，几何结合代数算 【题型综述】 综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲 线方程中参数间的关系，即可求出定点. (2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截 距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标 的取值与变化的量无关当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距 之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决 （3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的
2、弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆 锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明. (4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再 用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明. 【典例指引】 类型一 证明分点问题 例 1 【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于 不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐
3、标和准线方程；来源:Z*X*X*K （）求证：A 为线段 BM 的中点. 【解析】 类型二 几何证明问题 例 2. 【2015 高考湖南，理 20】已知抛物线 2 1: 4Cxy的焦点F也是椭圆 22 2 22 :1(0) yx Cab ab 的一 个焦点， 1 C与 2 C的公共弦的长为2 6. （1）求 2 C的方程； （2）过点F的直线l与 1 C相交于A，B两点，与 2 C相交于C，D两点，且AC与BD同向 （）若| |ACBD，求直线l的斜率 （）设 1 C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形 【解析】 类型三 等式证明 例 3 【2015
4、高考上海， 理 21】 已知椭圆 22 21xy， 过原点的两条直线 1 l和 2 l分别于椭圆交于、和C、 D，记得到的平行四边形CD的面积为S. （1）设 11 ,x y， 22 C,xy，用、C的坐标表示点C到直线 1 l的距离，并证明 1121 2Sx yx y； （2）设 1 l与 2 l的斜率之积为 1 2 ，求面积S的值. 【解析】 类型四 长度关系证明 例 4.【2016 高考四川】已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三 个顶点，点 1 ( 3, ) 2 P在椭圆 E 上. ()求椭圆 E 的方程； ()设不过原点 O
5、且斜率为1 2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与 椭圆 E 交于 C，D，证明：MAMBMCMD来源:Z+X+X+K 【扩展链接】 1.圆锥曲线以 P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是：kb 2x 0 a2y0(椭圆 x2 a2 y2 b21)，k b2x0 a2y0(双曲线 x2 a2 y2 b21)，k p y0(抛物线 y 22px)，其中 ky2y1 x2x1(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标 2.给出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝
6、角, 给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角； 3.在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形; 4.在平行四边形ABCD中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形; 【新题展示】 1 【2019 宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系中，椭圆 的中心为原点，焦点，在 轴上，离心 率为过的直线 交 于 ， 两点，且的周长为 （1）求椭圆 的方程； （2）圆与 轴正半轴相交于两点， （点在点 的左侧） ，过点任作一条直线与 椭圆 相交于 ， 两点，连接，求证 【 思路引导】 （1）设椭圆 C 的方程为(ab0)，由离心率为，得，又PQF2的周长为 4a
7、=，得 a2，进而求出椭圆方程； （2）把 y0 代入圆的方程求出 x的值，确定 M 与 N的坐标，当 ABx轴时，由椭圆的对称性得证；当 AB与 x轴不垂直时，设直线 AB为 y=k（x1） ，与椭圆方程联立得到关于 x的一元二次方程，设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，利用韦达定理表示出 x1+x2，x1x2，进而表示出直线 AN与直线 BN 斜率之和为 0，即可 得证 2 【2019 福建厦门 3 月质检】已知椭圆 ：，过点且与 轴不重合的直线与 相交于两 点，点，直线与直线交于点 （1）当垂直于 轴时，求直线的方程； （2）证明： 来源:163文库 【思路引导】 （1）当垂直
8、于 轴时，其方程为，求出点 的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。 （2） 由于在 轴上，所以只需证明点的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法 3 【2019 山东济宁一模】已知椭圆的离心率为，且椭圆 C 过点 (I)求椭圆 C 的方程； (II)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 与椭圆 C 相切于点 A，与直线相交于点 B，求证：的大小为定 值 【思路引导】 （）由题意可知，解得 a23，b22，即可求出椭圆 C 的方程， （）显然直线 l 的斜率存 在，设 l：ykx+m，联立，根据直线 l 与椭圆相切，利用判别式可得 m23k2+2，求出点 A， B 的坐标，根据向量
9、的运算可得可得0，即AFB90 ，故AFB 的大小为定值 4 【2019 山西吕梁一模】已知抛物线 ：，过 轴上一点 （不同于原点）的直线 与 交于两点， ，与 轴交于 点 （1）若，求的值； （2）若，过 ， 分别作 的切线，两切线交于点 ，证明：点 在定直线方程上，求出此定直线 【思路引导】 （1）设，通过坐标表示向量得到，设 ：，与抛物线联立利用韦达定理求 解即可； （2）由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点 P 的坐标，进而可证得结论 5 【2019 山西吕梁一模】已知抛物线 ：，过 轴上一点 （不同于原点）的直线 与 交于两点， ，与 轴交于 点 （1）若，求的值； （2）若，过
10、， 分别作 的切线，两切线交于点 ，证明：点 在定直线方程上，求出此定直线 【思路引导】 （1）设，通过坐标表示向量得到，设 ：，与抛物线联立利用韦达定理求 解即可； （2）由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点 P 的坐标，进而可证得结论 6 【2019 安徽六校联考】如图，C、D 是离心率为 的椭圆的左、右顶点， 、 是该椭圆的左、右焦点， A、 B 是直线4 上两个动点，连接 AD 和 BD，它们分别与椭圆交于点 E、F 两点，且线段 EF 恰好过椭圆的 左焦点 当时，点 E 恰为线段 AD 的中点 （）求椭圆的方程； （）求证：以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切 【思路引导】
11、（） 由题意可得， 结合可求出， 进而可求得椭圆的方程；（） 设 EF 的方程为：， E（） 、F（ ） ，与椭圆联立，运用韦达定理得，又设，由三点共线得，求 出中点坐标，求出点 M 到直线 EF 的距离 ，进而证得结果 7 【2019 陕西咸阳一模已知椭圆的上顶点为 ， 右顶点为 ， 直线与圆 相切 （1）求椭圆 的方程； （2）过点且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求证： 【思路引导】 （1）求得直线的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得 的值，由 此求得椭圆 方程（2） 设出直线 的方程， 联立直线方程和椭圆的方程， 写出韦达定理， 通过计算， 证得 8 【2
12、019 湖南长沙统一检测】已知椭圆的离心率为 ，左、右焦点分别为、， 为 椭圆 上一点，与 轴相交于 ， （）求椭圆 的方程； （）设椭圆 的左、右顶点为、，过、分别作 轴的垂线 、 ，椭圆 的一条切线 与 、 交于、 两点，求证： 【思路引导】 （1）结合题意，得到为的中位线，进而得到，利用椭圆性质，计算 a，b 值即可。 （2） 将直线 l 的方程，代入椭圆方程，得到以及，即可。 【同步训练】 1 如图， 圆 C 与 x 轴相切于点 T （2， 0） ， 与 y 轴正半轴相交于两点 M， N （点 M 在点 N 的下方） ， 且|MN|=3 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 M 任作一
13、条直线与椭圆相交于两点 A、B，连接 AN、BN，求证：ANM=BNM 【思路点拨 】 （1）设圆 C 的半径为 r（r0） ，依题意，圆心坐标为（2，r） ，根据|MN|=3，利用弦长公式 求得 r 的值，可得圆 C 的方程 （2）把 x=0 代入圆 C 的方程，求得 M、N 的坐标，当 ABy 轴时，由椭圆的对称性可知ANM=BNM， 当 AB 与 y 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得 KAB+KBN=0， 可得ANM=BNM 【详细解析】 2.已知椭圆 C：+=1（ab0）经过（1，1）与（，）两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过
14、原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|求证： +为定值 【思路点拨】 （1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可 （2）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶点， 则点 M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可 若点 A、 B、M 不是椭圆的顶点， 设直线 l 的方程为 y=kx（k0） ，则直线 OM 的方程为， 设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，与椭圆的方程
15、联立解出坐标，即可得到=，同理 ，代入要求的式子即可 【详细解析】 3.在平面直角坐标系 xOy 中， 动点 p （x， y） （x0） 满足： 点 p 到定点 F （， 0） 与到 y 轴的距离之差为 记 动点 p 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的轨迹方程； （2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=于点 D，求证：直线 DB 平行于 x 轴 【思路点拨】 （1）利用动点 p（x，y） （x0）满足：点 p 到定点 F（，0）与到 y 轴的距离之差为列 出关系式，即可求曲线 C 的轨迹方程； （2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B
16、 两点，过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=于点 D，设 A 的坐标为 （） ，求出 OM 的方程为 y=x（y00） ，推出点 D 的纵坐标然后求出直线 AF 的方程，求出点 B 的纵坐标，判断直线 DB 平行于 x 轴即可得到结果 【详细解析】 4.在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P（2，1）在椭圆 C：上且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（不与点 P 重合） ，且线段 AB 的中为 D，直线 OD 的斜率为 1，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 【思路点拨】 （1）根据椭
17、圆的离心率公式，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得 x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线 l 的斜率，将直线方程代 入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得 k1k2为定值 【详细解析】 5.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x=1，点 T（3，0） ，动点 P 满足 PSl，垂足为 S，且=0，设 动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求 曲线 C 的方程； （2）设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点，且直线 PQ 过点（1，0） ，线段 PQ 的中点为 M，直线 l 与 x 轴的 交点为 N求
18、证：向量与共线 【思路点拨】 （1）设 P（x0，y0） ，则 S（1，y0） ，由此利用向量的数量积能求出曲线 C 的方程 （2）设 Q（x1，y1） ，则，从而 y2=4x，p=2，焦点 F（1，0） ，N（1，0） ，由 PQ 过 F，得， ，进而=（） ，=（） ，由此能证明向量与共线 【详细解析】 6.已知动点 A，B 在椭圆+=1 上，且线段 AB 的垂直平分线始终过点 P（1，0） （1）证明线段 AB 的中点 M 在定直线上； （2）求线段 AB 长度的最大值 【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） ，当 AB 与
19、x 轴垂直时，线段 AB 的中点 M（2，0） ，在直线 y=0，当 AB 与 x 轴不垂直时，利用平方差法推出，说明 M 在直线 x=2 上 （2）当 AB 与 x 轴垂直时，当 AB 与 x 轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式 求解即可 【详细解析】 7.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 2，离心率为；抛物线 G：y2=2px（p0）的焦点 F 与椭 圆 E 的右焦点重合，若斜率为 k 的直线 l 过抛物线 G 的焦点 F 与椭圆 E 交于 A，B 两点，与抛物线 G 相交 于 C，D 两点 （1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程； （2）证明：存在实数 ，使得+为常
20、数，并求 的值 【思路点拨】 （1）由 2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得 c 的值，代入，b2=a2c2=1，求得椭圆方程， 由=c，求得c 的值，求得抛物线方程； （2）设直线 l 的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨 AB 丨及丨 CD 丨，由 +=为常数，则须有 20+=4，即可求得 的值 【详细解析】 8.已知定点 Q（，0） ，P 为圆 N：上任意一点，线段 QP 的垂直平分线交 NP 于点 M （1）当 P 点在圆周上运动时，求点 M （x，y） 的轨迹 C 的方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且，求证：直线 l 与某个定圆 E 相切，并求
21、出定圆 E 的 方程 【思路点拨】 （1）求出圆 N 的圆心坐标为 N（，0） ，半径为，|MP|=|MQ|，得到 |MN|+|MQ|=| MN|+|MP|=|NP|=|NQ|，利用椭圆的定义，求解点 M 的轨迹 C 的方程 （2） 当直线的斜率存在时， 设直线 l为 y=kx+m， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 联立直线与椭圆的方程， 得 消去 y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直 线的斜率不存在时，直线为 x=m，验证求解即可 【详细解析】 9.已知椭圆 C：+=1（ab0）的两焦点分别为 F1，F2，离心率为设过点 F2的
22、直线 l 被椭圆 C 截得的线段为 RS，当 lx 轴时，|RS|=3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 T（4，0） ，证明：当直线 l 变化时，直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值 【思路点拨】 （1）由题意可知：a=2c，=3，且 a2=b2+c2，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）分类讨论，当直线 l 不垂直与 x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式， 即可求得 kTR+kTS=0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值 【详细解析】 10.已知椭圆 E：中， a=b， 且椭圆 E 上任一点到点的最小距离为来 源:163文库 （1
23、）求椭圆 E 的标准方程； （2）如图 4，过点 Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线 l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆 E 于点 A，C，B， D，求证：|QA|QC|=|QB|QD| 【思路点拨】 （1）设 M（x，y）为椭圆 E 上任一点，由，椭圆 E 的方程可化为，通过 求解椭圆 E 上任一点到点的最小距离为即可求出椭圆的方程 （2）直线 l1，l2不重合，则直线 l1，l2的斜率均存在，设直线 l1：y=k（x1）+1，点 A（x1，y1） ，C（x2， y2） 直线 l2：y=k（x1）+1联立消去 y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得 |QA|QC|=|QB|QD| 【详细
24、解析】 11.椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相 交于点M， 1 2 MF . （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A， B不重合，直线PA 与直线3x 相交于点S，直线PB与直线3x 相交于点T，求证：以线段ST为直径的圆恒过定点. 【思路点拨】(1)由题意可得21ab，则椭圆 C 的标准方程为 22 1 41 xy . (2)由题意可得3 5Sk，结合题意可得圆的方程为 2 2 25151 3 2828 kk xy kk ，则以线段 ST 为直径
25、的圆恒过定点 5 30 2 ，. 来源:ZXXK 【详细解析】 12.已知点 11 ,A x y， 22 ,(D xy其中 12) xx是曲线 2 40yx y上的两点， A， D两点在x轴上 的射影分别为点B， C，且2BC . （1）当点B的坐标为1,0时，求直线AD的斜率； （2）记OAD的面积为 1 S，梯形ABCD的面积为 2 S，求证： 1 2 1 4 S S . 【思路点拨】(1)由题意结合直线的斜率公式可得 21 21 2 32 31 2 AD yy k xx ； (2) 设 直 线AD的 方 程 为ykxm. 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 ， 可 得 1 1 2 SAD dm ， 21221 14 2 Syyxx k ，则 1 212 4 Smkm Syy 1 4 . 【详细解析】
