1、 专题专题 15 探究向量关系式，几何意义先分析探究向量关系式，几何意义先分析 【题型综述】 探究向量关系问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元 素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出 关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验 证法也是求解探索性问题常用的方法. 【典例指引】 类型一 探究向量式是否为定值 例 1 【2015 高考四川，文 20】如图，椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率是 2 2 ，点 P(0，1)在
2、短轴 CD 上，且PC PD1 ()求椭圆 E 的方程； ()设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 ，使得OA OBPA PB为 定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 类型二 探究向量式是否成立 例 2. 【2014 高考湖南卷文第 20 题】如图 5，O为坐标原点，双曲线 22 111 22 11 :1(0,0) xy Cab ab 和 椭圆 22 222 22 22 :1(0) xy Cab ab 均过点 2 3 (,1) 3 P ， 且以 1 C的两个顶点和 2 C的两个焦点为顶点的四 边形是面积为 2 的正方形. (1)求 1
3、2 ,C C的方程； (2)是否存在直线l，使得l与 1 C交于,A B两点，与 2 C只有一个公共点，且| | |OAOBAB ？证明你的 结论. 【解析】 类型三 探究向量式成立的条件 例3【2013 年高考，天津卷理】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与 x 轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 . () 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点，且 8AC DBADCB , 若存在，求 k 的值，不存在，说明理由. 【解析】 类
4、型四 利用向量探究曲线过定点 例 4. (2012 福建理 19)如图，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，离心率 2 1 e。 过 1 F的直线交椭圆于BA,两点，且 2 ABF的周长为 8。 （）求椭圆E的方程。 （）设动直线mkxyl:与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若 不存在，说明理由。 【解析】 【扩展链接】 1. 设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上，过焦点 F 且斜率为k的直线l交曲线C于BA,两点，若
5、)0(FBAF，则| 1 1 |1 2 ke. 2. 在圆锥曲线中，过焦点 F 不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于R，则 2| |e AB FR . 3.已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点分别为)0 ,( 1 cF 和)0 ,( 2 cF（0c），过点)0 ,( 2 c a E的直线 与椭圆相交于BA,两点，若) 1( 21 BFAF，则直线一定过), 0(b或), 0(b. 4.如果平面内有BAO,三点不共线，设 222 )(| | 2 1 OBOAOBOAS AOB . 【新题展示】 1 【2019 湖北恩施 2 月质检】已知抛物
6、线 ：的焦点为 ，其准线 ：与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于两点 （1）求抛物线 的方程； （2）点 关于 轴的对称点为 ，证明：存在实数，使得 【思路引导】 （1）根据抛物线的准线为直线 ：，可求出 ，进而可得抛物线方程； （2）先设直线 的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线 恒过定点 ，进而可证明结论成立 2 【2019 黑龙江齐齐哈尔一模】已知 为坐标原点，椭圆 ：的左、右焦点分别为 ，过焦点且垂直于 轴的直线与椭圆 相交所得的弦长为 3，直线与椭圆 相切 （1）求椭圆 的标准方程； （2）是否存在直线 ：与椭圆 相交于两点，使得？若存在，求 的取值 范围；
7、若不存在，请说明理由！ 【思路引导】 （1）由题意列出关于 a，b 的关系式，解得 a，b 即可 （2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定 k 的取值范 围 3 【2019 安徽江南十校 3 月检测】设 是坐标原点，圆 ：，椭圆 的焦点在 轴上，左、 右顶点分别为 ， ， 离心率为， 短轴长为 4 平行 轴的直线 与椭圆 和圆 在 轴右侧的交点分别为 ， ， 直线与 轴交于点，直线与 轴交于点 （）求椭圆 的标准方程； （）当时，求 的取值范围 【思路引导】 （1） 根据椭圆的几何性质， 得到关于的方程， 求得结果；（2） 解法一： 假设 方程和坐标
8、， 利用 得到和 的坐标，从而将转化为关于 的式子，求得 范围；解法二：假设方程和坐标，与椭 圆方程联立解出 点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于 的式子，求得 范围 4【2019 河北衡水中学摸底】 已知点 是抛物线 的焦点， 若点在抛物线 上， 且 求抛物线 的方程； 动直线与抛物线 相交于两点，问：在 轴上是否存在定点其中，使得向量 与向量共线 其中 为坐标原点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路引导】 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得 的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到 抛物线的方程；在 轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得 轴平分， 设
9、，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化 简整理可得的方程，求得，可得结论 【同步训练】 1已知椭圆 C：+=1（ab0）的上下两个焦点分别为 F1，F2，过点 F1与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，MNF2的面积为，椭圆 C 的离心率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 O 为坐标原点，直线 l：y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若存在实 数 ，使得+=4，求 m 的取值范围 【思路点拨】 （1）根据已知设椭圆的焦距 2c，当 y=c 时，|MN|=|x1x2|=，由题意得，MNF2的面积 为|MN| |F1F
10、2|=c|MN|=，又，解得 a、b 即可 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P（0，y0） ，分类讨论：当 m=0 时，利用椭圆的对称性即可得出；m0 时，直线 AB 的方程与椭圆的方程联立得到0 及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出 【详细解析】 2.已知 F1，F2分别是椭圆 C：+=1（ab0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|， |F1F2|，|PF2|成等差数列 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 已知动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A、 B 两点， 试问 x 轴上是否存在定点 Q，使得=恒 成立？若存在，求出点 Q 的坐
11、标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出 a=c，把 P 点坐标代入椭圆方程列方程组解出 a， b 得出椭圆方程； （2）设 Q（m，0） ，讨论直线 l 的斜率，求出 A，B 坐标，列方程解出 m 【详细解析】 3.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+=1（ab0）的一个焦点为 F1（，0） ，M（1，y） （y 0）为椭圆上的一点，MOF1的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 T 在圆 x2+y2=1 上，是否存在过点 A（2，0）的直线 l 交椭圆 C 于点 B，使=（+）？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由
12、【思路点拨】 （1）由已知列式 c=，得 a2，b2 即可； （2）设直线 l 的方程为：y=k（x2） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得（1+4k2）x216k2x+16k24=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）4k=， =（+）=，得 T（）代入 圆 C1，可得化 为 176k424k25=0 可求得 k 【详细解析】 4. 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 为，是 椭 圆 上 一 点 ， 若， （1）求椭圆的方程； （2）直线 l 过右焦点（不与 x 轴重合）且与椭圆相交于不同的两点 A，B，在 x 轴上是否存在 一个定点 P（x0，0） ，使得的值为定值？若存
13、在，写出 P 点的坐标（不必求出定值） ；若不存在，说 明理由 【思路点拨】 （1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得 a=3，c=，b2=a2c2=4，即可求得椭圆方程； （2） 方法一： 设直线 l：x=my+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，=t 则 （4x0236）m2+9x0218x0+29=t（4m2+9） ，比较系数，即可求得 x0=，在 x 轴上存在一个定点 P （，0） ，使得的值为定值（） ； 方法二：分类讨论，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：y=k（x） ，代入椭圆方程，利用韦达定理及向 量数量积的坐标运算，令=t 则（9x0218x0+29）k2+
14、4x0236=t（4+9k2） ，9x0218x0+29=9 t 且 4x0236=4t，即可求得 x0=，此时 t 的值为 【详细解析】 5.如图已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，以椭圆的左顶点 T 为圆心作圆 T： （x+2） 2+y2=r2 （r0） ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M，N （1）求椭圆 C 的方程； （2）求的最小值，并求此时圆 T 的方程 【思路点拨】 （1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合 a，b，c 的关系，可得椭圆方程； （2）设 M（m，n） ，由对称性可得 N（m，n） ，代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关 于 m 的二次函数，配方
15、，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到 M 的坐标，可得圆的方程 【详细解析】 6.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线 x+y2=0 相 切 （1）求椭圆的标准方程； （2） 对于直线 l： y=x+m 和点 Q （0， 3） ， 椭圆 C 上是否存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称， 且 3=32， 若存在实数 m 的值，若不存在，说明理由 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率，得 b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点 到直线的距离列式求得 b，c 的值，结合隐含条件求得 a，则椭圆方程可求； （2）由题意设 A（x1，y1） ，B（x2，y2
16、） ，直线 AB 方程为：y=x+n联立消 y 整理可得：3x2 4nx+2n22=0，由0 解得 n 的范围再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线 AB 之中点坐标， 代入直线 AB，再由点 P 在直线 l 上求得 m 的范围，最后由 3=32 求得 m 的值 【详细解析】 7.已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右顶点分别为 A、B，且长轴长为 8，T 为椭圆上一点，直线 TA、TB 的斜率之积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为原点，过点 M（0，2）的动直线与椭圆 C 交于 P、Q 两点，求+的取值范围 【思路点拨】 （1）求得直线 TA，TB 的斜率，由=，即可求得椭
17、圆 C 的方程； （2）设直线 PQ 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得 +的取值范围 【详细解析】 8.已知抛物线 E：x2=4y 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点 （1）若点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值； （2）过 A，B 分别作抛物线 E 的切线 l1，l2，若 l1与 l2交于点 P，求的值 【思路点拨】 （1）由题意设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调 性即可求得四边形 OACB 面积的最小值； （2）求导
18、，利用点斜式方程，求得求得切线 l1，l2的方程，联立求得 P 点坐标，根据向量的坐标运算，即 可求得的值 【详细解析】 9.已知点 P（4，4） ，圆 C： （xm）2+y2=5（m3）与椭圆 E：+=1（ab0）有一个公共点 A（3， 1） ，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与圆 C 相切 （1）求 m 的值与椭圆 E 的方程； （2）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求的取值范围 【思路点拨】 （1）先利用点 A 在圆上求出 m，再利用直线 PF1与圆 C 相切求出直线 PF1与的方程以及 c，再 利用点 A 在椭圆上求出 2a，即可求出椭圆 E 的方程； （2） 先把用点
19、 Q 的坐标表示出来， 再利用 Q 为椭圆 E 上的一个动点以及基本不等式即可求出 的取值范围 【详细解析】 10.若椭圆 E1：与椭圆 E2：满足，则称这两个椭圆相似，m 叫相 似比若椭圆 M1与椭圆相似且过点 （1）求椭圆 M1的标准方程； （2）过点 P（2，0）作斜率不为零的直线 l 与椭圆 M1交于不同两点 A、B，F 为椭圆 M1的右焦点，直线 AF、BF 分别交椭圆 M1于点 G、H，设，求 1+2的取值范围 【思路点拨】 （1） 根据题意， 设椭圆 M1的标准方程为， 由“椭圆相似”的性质分析可得， ，解可得 a2、b2的值，代入椭圆的方程即可得答案； （2）设直线 l 的斜率
20、为 k，以及 A、B、G、H 的坐标，可以表示、的坐标，分“AG 与 x 轴不垂直”和 “AG 与 x 轴垂直”两种情况，求出直线 AG 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得 1+2范围，即可得答案 【详细解析】 11.已知椭圆 C：（ab0） 的离心率为， 左、 右焦点分别为圆 F1、 F2， M 是 C 上一点， |MF1|=2， 且|=2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当过点 P（4，1）的动直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A、B 时，线段 AB 上取点 Q，且 Q 满足 |=|，证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线的方程 【思路点拨】 （1）由已知得
21、 a=2c，且F1MF2=60 ，由余弦定理求出 c=1，即可求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆 C 的方程可求； （2）设直线 l 的方程为 y=kx+（14k） ，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0， 利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线方程 【详细解析】 12.如图，椭圆 E：，点 P（0，1）在短轴 CD 上，且 （1） 求椭圆 E 的方程及离心率； （2） 设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）由已知可得点 C，D 的坐标分别为（0，b） ， （0，b） 结合=2 列式求得 b，则 椭圆方程可求，进一步求出 c 可得椭圆的离心率； （2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） 联 立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得 A，B 横坐标的和与积+，可知当 =2 时， += 7 为 定 值 当直 线 AB 斜 率 不 存 在时 ， 直 线 AB 即 为 直线 CD ，仍有 +=+2=34=7，故存在常数 =2，使得+为定值7 【详细解析】
