1、 1 2020 年中考数学试题分类汇编之十三 二次函数 一、选择题 10 （2020 安徽） （4 分） 如图，ABC和DEF都是边长为 2 的等边三角形， 它们的边BC， EF在同一条直线l上，点C，E重合现将ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合 时停止移动在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y 随x变化的函数图象大致为( ) A B C D 【解答】解：如图 1 所示：当02x 时，过点G作GHBF于H ABC和DEF均为等边三角形， GEJ为等边三角形 33 22 GHEJx， 2 13 24 yEJ GHx 当2x 时，3y ，且抛物线的开口向上 2
2、如图 2 所示：24x 时，过点G作GHBF于H 2 13 (4) 24 yFJ GHx，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 10.（2020 福建）已知 111 ,P x y， 222 ,P x y是抛物线 2 2yaxax上的点，下列命题正 确的是（ ） A. 若 12 |1| |1| xx，则 12 yy B. 若 12 |1| |1| xx，则 12 yy C. 若 12 |1| |1| xx，则 12 yy D. 若 12 yy，则 12 xx 【答案】C 10 （2020 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向 下平移 3 个
3、单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：yx2（m1）x+m（x）2+m， 该抛物线顶点坐标是（，m） ， 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 （， m3） ， m1， m10， 0， m310， 点（，m3）在第四象限； 3 故选：D 6 （2020 哈尔滨） （3 分）将抛物线 2 yx向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长 度，所得到的拋物线为( ) A 2 (3)5yx B 2 (3)5yx C 2 (5)3yx D 2 (5)3yx 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 2
4、 yx向上平移 3 个单位所得抛物线的 解析式为： 2 3yx； 由 “左加右减” 的原则可知， 将抛物线 2 3yx向右平移 5 个单位所得抛物线的解析式为： 2 (5)3yx； 故选：D 8(2020 杭州)（3 分）设函数 ya（xh）2+k（a，h，k 是实数，a0） ，当 x1 时，y 1；当 x8 时，y8， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 解：当 x1 时，y1；当 x8 时，y8；代入函数式得：1 = (1 ) 2 + 8 = (8 )2+ ， a（8h）2a（1h）27， 整理得：a（92h）1， 当 h4，则
5、a1，故 A 错误； 当 h5，则 a1，故 B 错误； 当 h6，则 a= 1 3，故 C 正确； 当 h7，则 a= 1 5，故 D 错误； 选：C 10(2020 杭州)（3 分）在平面直角坐标系中，已知函数 y1x2+ax+1，y2x2+bx+2，y3 x2+cx+4，其中 a，b，c 是正实数，且满足 b2ac设函数 y1，y2，y3的图象与 x 轴的交 点个数分别为 M1，M2，M3， （ ） A若 M12，M22，则 M30 B若 M11，M20，则 M30 C若 M10，M22，则 M30 D若 M10，M20，则 M30 解：选项 B 正确 4 理由：M11，M20， a24
6、0，b280，a，b，c 是正实数， a2，b2ac， c= 1 2b 2， 在二次函数 y3x2+cx+4 中， 则有c216= 1 4b 216=1 4（b 264）0， M30， 选项 B 正确， 故选：B 12 (2020 天津)已知抛物线 2 yaxbxc（a，b，c是常数0a ，1c） 经过点2,0， 其对称轴是直线 1 2 x 有下列结论： 0abc 关于x的方程 2 axbxca有两个不等的实数根； 1 2 a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 答案:C 15.（2020 河北）如图，现要在抛物线(4)yxx上找点 ( , )P a b，针对b的不同取值，所
7、 找点P的个数，三人的说法如下， 甲：若5b，则点P的个数为 0； 乙：若4b，则点P的个数为 1； 丙：若3b，则点P的个数为 1 下列判断正确的是（ ） 5 A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【详解】当 b=5 时，令 x（4-x）=5，整理得：x2-4x5=0， =(-4)2-4 5=-60，因此点 P 有 2 个，丙的 说法不正确； 故选：C 6.（2020 江西）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 2 23yxx与y轴交 于点A， 与x轴正半轴交于点B， 连接AB， 将R t O A B向右上方平移， 得到Rt O A B，
8、且点O，A落在抛物线的对称轴上， 点B落在抛物线上， 则直线A B的表达式为 （ ） Ayx B1yx C 1 2 yx D2yx 【解析】 将抛物线32 2 xxy配方可得4) 1( 2 xy，对称轴为直线1x，抛物线与x轴 的两个交点坐标分别为)0 , 3(),0 , 1(，B（3,0）与y轴交点)3, 0( A，OA=3，OB=4 根据平移的规律可得3OBBO且1 O x，4 B x，代入抛物线可得5 B y，直线 AB 的解析式为3 xy，根据ABBA可得直线BA的解析式为mxy，再将 )5 , 4( B 代入可得1m，直线BA的解析式为1 xy，故选 B 11（2020 四川绵阳）三
9、孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。 当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水 面宽度为 14 米时，单个小孔的水面宽度为 4 米。若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水 面宽度为（ ）. A. 4 3米 B.5 2米 C.2 13米 D.7 米 【解析】答案：B. 解：以大孔的对称轴为y轴，以刚好淹没时水面高度为x轴建立 平面直角坐标系。如图：则 A(5,0),G(0,1.5),所以大孔所在抛物 线的解析式可求得为： 2 33 + 502 yx ，设小孔所在抛物线 为 2 ()ym xh。当大孔大孔水面宽度为 14
10、 米时，如图 C 6 点的横坐标是 7，所以 C 点坐标为（7， 36 - 25 ） ，此时 F、H 点的纵坐标为： 36 - 25 。代入 2 ()ym xh中， 得到： 22 36 20 25 mxmhxmh， 由此时水面宽度为 4 米， 得：4 m ， 解得 1 9 25 m , 2 0m (舍去）. 2 9 () 25 yxh 。当大孔水面宽度为 20 米时，即 H 点 坐标为： （10， 9 - 2 ） 。所以有： 2 99 -) 252 xh （。此时有： 1 5 2 2 xh 2 5 2 2 xh 。此时小孔水面宽度为： 12 5 2xx。故选 B. 10.（2020 贵阳）已知
11、二次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0) 与(1,0)两点，关于x的 方程 2 0axbxcm (0)m 有两个根，其中一个根是 3则关于x的方程 2 0axbxcn (0)nm 有两个整数根，这两个整数根是（ ） A. 2或 0 B. 4或 2 C. 5或 3 D. 6或 4 【答案】B 【详解】 二次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0) 与(1,0)两点， 即方程 2 0axbxc 的两个根是3 和 1， 2 0axbxcm 可以看成二次函数 y 的图象沿着 y 轴平移 m 个单位,得到一个根 3， 由 1 到 3 移动 2 个单位，可得另一个根为5.由于 0nm， 可知方
12、程 2 0axbxcn 的两根范围在53 和 13， 由此判断 B 符合该范围 故选 B 10 （2020 贵州黔西南） （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行 于x轴的直线于另一点B， 交x轴于C， D两点 （点C在点D右边） ， 对称轴为直线x= 5 2， 连接 AC，AD，BC若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是 （ ） 7 A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca= 1 6 DOCOD16 解：抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A， A（0，4） ， 对称轴为直线 x= 5 2，ABx 轴
13、， B（5，4） 故 A 无误； 如图，过点 B 作 BEx 轴于点 E， 则 BE4，AB5， ABx 轴，BACACO， 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上， ACOACB，BACACB， BCAB5， 在 RtBCE 中，由勾股定理得：EC3，C（8，0） ， 对称轴为直线 x= 5 2，D（3，0） 在 RtADO 中，OA4，OD3， AD5，ABAD， 故 B 无误； 8 设 yax2+bx+4a（x+3） （x8） ， 将 A（0，4）代入得：4a（0+3） （08） ， a= 1 6，故 C 无误； OC8，OD3，OCOD24，故 D 错误 综上，错误的只
14、有 D 故选：D 8.（2020 山东青岛）已知在同一直角坐标系中二次函数 2 yaxbx和反比例函数 c y x 的 图象如图所示，则一次函数 c yxb a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解：由二次函数图象可知：a0，对称轴 2 b x a 0， a0，b0， 由反比例函数图象知：c0， c a 0，一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴， 对照四个选项，只有 B 选项符合一次函数 c yxb a 的图象特征 故选：B 9 12.（2020 长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流 程却比较复杂， 其中在进行加工煎炸臭豆腐时， 我们把焦
15、脆而不糊的豆腐块数的百分比称为 “可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间 t（单位：分钟）近似满足函 数关系式： 2 patbtc（0,a a，b，c 为常数） ，如图纪录了三次实验数据，根据上 述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A. 3.50 分钟 B. 4.05 分钟 C. 3.75 分钟 D. 4.25 分 钟 解：将(3,0.8)(4,09)(5,0.6)代入 2 patbtc得: 0.893 0.9164 0.6255 abc abc abc 和得 0.1=7 0.39 ab ab 得0.4=2a,解得 a=0.2 将 a=0 2代入
16、可得 b=1.5 对称轴= 1.5 3.75 22 ( 0.2) b a 故选 C 10 （2020 齐齐哈尔） （ （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（4，0） ， 其对称轴为直线 x1，结合图象给出下列结论： ac0； 4a2b+c0； 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 10 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：抛物线开口向上，因此 a0，与 y 轴交于负半轴，因此 c0，故 ac0，所以正 确； 抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（4，0）
17、 ，则另一个交点为（2，0） ，于是 有 4a2b+c0，所以不正确； x1 时，y 随 x 的增大而增大，所以正确； 抛物线与 x 轴有两个不同交点， 因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的 实数根，所以正确； 综上所述，正确的结论有：， 故选：C 8 （2020 新疆生产建设兵团） （5 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y ax+b 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） ABCD 解：因为二次函数 yax2bx+c 的图象开口向上，得出 a0，与 y 轴交点在 y 轴的正半 轴，得出 c0，利用对称轴 x= 2
18、0，得出 b0， 11 所以一次函数 yax+b 经过一、三、四象限，反比例函数 y= 经过一、三象限， 故选：D 9 （2020 四川南充） （4 分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） 若抛物线 yax2的图象与正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A1 9 a3 B1 9 a1 C1 3 a3 D1 3 a1 【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a3， 当抛物线经过（3，1）时，a= 1 9， 观察图象可知1 9 a3， 故选：A 10 （2020 四川南充） （4 分）关于二次函数 yax24ax5（a0）的三个结论：
19、对任 意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整 数值有 4 个，则 4 3 a1 或 1a 4 3；若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 a 5 4或 a1其中正确的结论是（ ） A B C D 【解答】解：二次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x= 4 2 = 2， x12+m 与 x22m 关于直线 x2 对称， 对任意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等； 故正确； 当 x3 时，y3a5，当 x4 时，y5， 若 a0 时，当 3x4 时，3a5y5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有
20、 4 个， 1a 4 3， 12 若 a0 时，当 3x4 时，5y3a5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 4 3 a1， 故正确； 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， 16 2 + 200 5 5 0 ， a1， 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， 16 2 + 200 5 5 0 ， a 5 4， 综上所述：当 a 5 4或 a1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6 故选：D 10 （2020 辽宁抚顺） （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，
21、ACBC2，CD AB 于点 D点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E， 作 PFBC 于点 F 设点 P 运动的路程为 x， 四边形 CEPF 的面积为 y， 则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C D 13 解：在 RtABC 中，ACB90，ACBC2， AB4，A45， CDAB 于点 D， ADBD2， PEAC，PFBC， 四边形 CEPF 是矩形， CEPF，PECF， 点 P 运动的路程为 x，APx， 则 AEPExsin45x， CEACAE2x， 四边形 CEPF 的面积为 y，当点 P
22、从点 A 出发，沿 AD 路径运动时， 即 0 x2 时， yPECEx（2x）x2+2x（x2）2+2， 当 0 x2 时，抛物线开口向下； 当点 P 沿 DC 路径运动时，即 2x4 时， CD 是ACB 的平分线， PEPF，四边形 CEPF 是正方形， AD2，PDx2，CP4x， y（4x）2（x4）2 当 2x4 时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是：A 故选：A 6 （2020 内蒙古呼和浩特） （3 分）已知二次函数 y（a2）x2（a+2）x+1，当 x 取互为 相反数的任意两个实数值时， 对应的函数值 y 总相等， 则关于 x 的一元二次
23、方程 （a2） x2（a+2）x+10 的两根之积为（ ） A0 B1 C D 解：二次函数，y（a2）x2（a+2）x+1 当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等， 可知二次函数图象的对称轴为直线 x0，即 y 轴， 14 则，解得：a2， 关于 x 的一元二次方程（a2）x2（a+2）x+10 为4x2+10， 两根之积为， 故选：D 7（2020 内蒙古呼和浩特）（3 分） 关于二次函数 yx26x+a+27， 下列说法错误的是 （ ） A若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点（4，5） ，则 a5 B当 x12 时，y 有最小值 a9 C
24、x2 对应的函数值比最小值大 7 D当 a0 时，图象与 x 轴有两个不同的交点 解：A、将二次函数向上平移 10 个单位，再向左平 移 2 个单位后，表达式为：， 若过点（4，5） ，则，解得：a5，故选项正确； B、，开口向上，当 x12 时，y 有最小值 a9，故选项正确； 当 x2 时，ya+16，最小值为 a9，a+16（a9）25，即 x2 对应的函数值比最 小值大 25，故选项错误； D、，当 a0 时，9a0， 即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与 x 轴有两个不同的交 点，故选项正确， 故选：C 20 （2020 黑龙江牡丹江） （3 分）如图，抛物线 2 yaxbxc
25、与x轴正半轴交于A，B两 点，与y轴负半轴交于点C若点(4,0)B，则下列结论中，正确的个数是( ) 0abc ； 40ab； 1 (M x， 1) y与 2 (N x， 2) y是抛物线上两点，若 12 0 xx， 则 12 yy； 若抛物线的对称轴是直线3x ，m为任意实数， 则(3)(3)(3)a mmbm； 若3AB， 则430bc 15 A5 B4 C3 D2 【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧， 0a，0c ，0 2 b a ，0b， 0abc，故正确； 如图，抛物线过点(4,0)B，点A在x轴正半轴， 对称轴在直线2x 右侧，即2 2 b a ，
26、 4 20 22 bab aa ，又0a ，40ab，故正确； 1 (M x， 1) y与 2 (N x， 2) y是抛物线上两点， 12 0 xx， 可得：抛物线 2 yaxbxc在0 2 b x a 上，y随x的增大而增大， 在 2 b x a 上，y随x的增大而减小， 12 yy不一定成立，故错误； 若抛物线对称轴为直线3x ，则3 2 b a ，即6ba ， 则 2 (3)(3)(3)(3)0a mmbma m， (3)(3)(3)a mmbm，故正确；3AB，则点A的横坐标大于 0 或小于等于 1， 当1x 时，代入，0yabc ， 当4x 时，1640abc， 4 16 bc a
27、， 则 4 0 16 bc bc ，整理得：450bc，则432bcc，又0c ，20c， 430bc，故正确， 故正确的有 4 个 故选：B 8 （2020 四川遂宁） （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 16 x1，下列结论不正确的是（ ） Ab24ac Babc0 Cac0 Dam2+bmab（m 为任意实数） 解：由图象可得：a0，c0，b24ac0， 2 = 1， b2a0，b24ac，故 A 选项不合题意， abc0，故 B 选项不合题意， 当 x1 时，y0，ab+c0， a+c0，即 ac0，故 C 选项符合题意， 当 xm 时，yam2
28、+bm+c， 当 x1 时，y 有最小值为 ab+c， am2+bm+cab+c， am2+bmab，故 D 选项不合题意， 故选：C 12(2020 山东枣庄)（3 分）如图，已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x 给出 下列结论： 0ac ； 2 40bac； 20ab； 0abc 其中，正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线开口向下，0a ，对称轴为1 2 b x a ，因此0b ，与y轴交于正半 轴，因此0c ， 17 于是有：0ac ，因此正确； 由1 2 b x a ，得20ab，因此不正确， 抛物线与x轴有两个不同交点，因此 2 4
29、0bac，正确， 由对称轴1x ，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，对称性可知另一个交点为( 1,0)，因此 0abc，故正确， 综上所述，正确的结论有， 故选：C 8 （2020 湖南岳阳） （3 分） （2020岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 c 时，函数值 y 等于 0，则称 c 为这个函数的零点若关于 x 的二次函数 yx210 x+m（m0）有两个不 相等的零点 x1，x2（x1x2） ，关于 x 的方程 x2+10 xm20 有两个不相等的非零实数 根 x3，x4（x3x4） ，则下列关系式一定正确的是（ ） A0 1 3 1 B1 3 1 C0 2 4 1 D2 4 1
30、【解答】解：由题意关于 x 的方程 x2+10 xm20 有两个不相等的非零实数根 x3，x4 （x3x4） ，就是关于 x 的二次函数 yx210 x+m（m0）与直线 y2 的交点的横 坐标， 画出函数的图象草图如下： 抛物线的对称轴为直线 x= 10 2(1) = 5， x3x15， 由图象可知：0 1 3 1 一定成立， 故选：A 12 （3 分） （2020玉林）把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换， 所得图象的解析式为 ya （x1） 2+4a， 若 （m1） a+b+c0， 则 m 的最大值是 （ ） 18 A4 B0 C2 D6 【解答】解：把二
31、次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图 象的解析式为 ya（x1）2+4a，原二次函数的顶点为（1，4a） ， 原二次函数为 ya（x1）24aax22ax3a，b2a，c3a， （m1）a+b+c0，（m1）a2a3a0， a0，m1230，即 m6， m 的最大值为 6， 故选：D 7 （3 分） （2020常德）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx+c0
32、有两个不相等的实数根，b24ac0，故正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为 x2， 2 =2，4a+b0，故正确， 由图象知，抛物线开口方向向下，a0，4a+b0， b0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0，abc0，故正确， 由图象知，当 x2 时，y0， 4a2b+c0，故错误， 即正确的结论有 3 个，故选：B 12 （2020 贵州遵义） （4 分）抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x2抛物线与 x 轴的 一个交点在点（4，0）和点（3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确 的个数有（ ） 4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两
33、个不相等实数根；b2+2b 4ac 19 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x= 2 = 2， 4ab0，所以正确； 与 x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， x1 时 y0，且 b4a， 即 ab+ca4a+c3a+c0， c3a，所以错误； 抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3） ， 抛物线与直线 y2 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根，所以正确； 抛物线的顶点坐标为（2，3） ， 4; 2 4 =3，b2+12a4ac， 4ab0，
34、b4a， b2+3b4ac， a0，b4a0， b2+2b4ac，所以正确； 故选：C 9 （2020 山西） （3 分）竖直上抛物体离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）之间的关系可 以近似地用公式 h5t2+v0t+h0表示， 其中 h0（m） 是物体抛出时离地面的高度， v0（m/s） 是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛 出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A23.5m B22.5m C21.5m D20.5m 解：由题意可得，h5t2+20t+1.55（t2）2+21.5， 20 故当 t2 时，h 取得最大值，此时 h2
35、1.5， 选：C 10 （2020 四川自贡） （4 分）函数 y= 与 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则函数 ykxb 的大致图象为（ ） AB CD 解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知 k0， 根据二次函数的图象确知 a0，b0， 函数 ykxb 的大致图象经过一、二、三象限， 故选：D 11 （2020 山东滨州） （3 分）对称轴为直线1x 的抛物线 2 (yaxbxc a、b、c为常数， 且0)a 如图所示，小明同学得出了以下结论：0abc ， 2 4bac，420abc， 30ac，()(ab m amb m为任意实数） ，当1x 时，y随x的增大而增大其 中结论正确
36、的个数为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：由图象可知：0a ，0c ， 1 2 b a ， 20ba ， 0abc，故错误； 21 抛物线与x轴有两个交点， 2 40bac， 2 4bac，故正确； 当2x 时，420yabc，故错误； 当1x 时，0yabc，30ac，故正确； 当1x 时，y的值最小，此时，yabc， 而当xm时， 2 yambmc，所以 2 abc ambmc， 故 2 ab ambm，即()ab m amb，故正确， 当1x 时，y随x的增大而减小，故错误， 故选：A 11 （2020 四川眉山） （4 分）已知二次函数 yx22ax+a22a4（a 为常数）
37、的图象与 x 轴有交点，且当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba3 C2a3 D2a3 解：二次函数 yx22ax+a22a4（a 为常数）的图象与 x 轴有交点， （2a）241（a22a4）0 解得：a2； 抛物线的对称轴为直线 xa，抛物线开口向上，且当 x3 时，y 随 x 的增大 而减小， a3，实数 a 的取值范围是2a3 故选：D 9 （2020 山东泰安） （4 分）在同一平面直角坐标系内，二次函数 yax2+bx+b（a0）与 一次函数 yax+b 的图象可能是（ ） A B CD 选：C 9 （2020 浙江宁波） （4 分）如图，
38、二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴正半轴交于点 C， 它的对称轴为直线 x1 则下列选项中正确的是 （ ） 22 Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22（n 为实数）时，yc 【解答】解：由图象开口向上，可知 a0， 与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0， 又对称轴方程为 x1，所以 20，所以 b0， abc0，故 A 错误； 一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， b24ac0， 4acb20，故 B 错误； 2 = 1， b2a， 当 x1 时，yab+c0， a2a+c0， ca0
39、，故 C 错误； 当 xn22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2） +c， a0，n20，n2+20， yan2（n2+2）+cc，故 D 正确， 故选：D 9 （2020 浙江温州） （4 分）已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则（ ） Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 23 解：抛物线的对称轴为直线 x= 12 2(3) = 2， a30，x2 时，函数值最大， 又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小， y3y1y2 故选：B 10 （4 分） （2020株洲
40、）二次函数 yax2+bx+c，若 ab0，ab20，点 A（x1，y1） ，B （x2，y2）在该二次函数的图象上，其中 x1x2，x1+x20，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 【解答】解：ab20，b20，a0 又ab0，b0， x1x2，x1+x20， x2x1，x10 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上， 1= 12+ 1+ ，2= 22+ 2+ = 12 1+ y1y22bx10 y1y2 故选：B 二、填空题 16 （2020 哈尔滨） （3 分）抛物线 2 3(1)8yx的顶点坐标为 (1,
41、8) 【解答】解：抛物线 2 3(1)8yx是顶点式， 顶点坐标是(1,8) 故答案为：(1,8) 16 （2020 南京） （2 分）下列关于二次函数 22 ()1(yxmmm为常数）的结论：该 函数的图象与函数 2 yx 的图象形状相同； 该函数的图象一定经过点(0,1)； 当0 x 时， 24 y随x的增大而减小； 该函数的图象的顶点在函数 2 1yx的图象上 其中所有正确结论 的序号是 【解答】解：二次函数 2 ()1(yxmmm 为常数）与函数 2 yx 的二次项系数相 同， 该函数的图象与函数 2 yx 的图象形状相同，故结论正确； 在函数 22 ()1yxmm中，令0 x ，则
42、22 1 1ymm ， 该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论正确； 22 ()1yxmm， 抛物线开口向下， 对称轴为直线xm， 当xm时，y随x的增大而减小， 故结论错误； 抛物线开口向下，当xm时，函数y有最大值 2 1m ， 该函数的图象的顶点在函数 2 1yx的图象上故结论正确， 故答案为 17. （2020 无锡） 二次函数 2 33yaxax的图像过点6,0A， 且与y轴交于点B， 点M 在该抛物线的对称轴上，若ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 _ 解：对 2 33yaxax，当 x=0 时，y=3，点 B 坐标为（0，3） ， 抛物线 2 33yaxax的对
43、称轴是直线： 33 22 a x a ， 当ABM=90 时，如图 1，过点 M 作 MFy 轴于点 F，则 3 2 MF ， 1+2=90 ，2+3=90 ， 1=3， 又MFB=BOA=90 ， BFMAOB， MFBF OBOA ，即 3 2 36 BF ，解得：BF=3， OF=6， 点 M 的坐标是（ 3 2 ，6） ； 25 当BAM=90 时， 如图 2， 过点 A 作 EHx 轴， 过点 M 作 MHEH 于点 H， 过点 B 作 BEEH 于点 E，则 39 6 22 MH ， 同上面的方法可得 BAEAMH， AEBE MHAH ，即 36 9 2 AH ，解得：AH=9，
44、 点 M 的坐标是（ 3 2 ，9） ； 综上，点 M 的坐标是 3 , 9 2 或 3 ,6 2 15.（2020 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：_ 解：设函数的表达式为 y=ax2+bx+c， 图象的对称轴为 y 轴， 对称轴为 x= 2 b a =0， b=0， 满足条件的函数可以是： 2 yx=.（答案不唯一） 26 故答案是：y=x2（答案不唯一） 12.（2020 山东青岛）抛物线 2 221yxkxk（k为常数）与x轴交点的个数是 _ 解：=4(k-1)2+8k=4k2+40， 抛物线与x轴有 2 个交点 故答案为：2 15. （2020 湖北武汉） 抛物线
45、 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） 经过(2,0)A，( 4,0) B 两点，下列四个结论： 一元二次方程 2 0axbxc的根为 1 2x ， 2 4x ； 若点 1 5,Cy， 2 ,Dy在该抛物线上，则 12 yy； 对于任意实数t，总有 2 atbtab； 对于a的每一个确定值，若一元二次方程 2 axbxcp（p为常数， 0p ）的根为 整数，则p的值只有两个 其中正确的结论是_（填写序号） 解：抛物线 2 yaxbxc经过(2,0)A， ( 4,0)B 两点 一元二次方程 2 0axbxc的根为 1 2x ， 2 4x ，则结论正确 抛物线的对称轴为 42 1 2 x
46、3x 时的函数值与5x 时的函数值相等，即为 1 y 0a 当 1x时，y 随 x 的增大而减小 又13 12 yy ，则结论错误 当1x时，yabc 则抛物线的顶点的纵坐标为a bc ，且0a bc 将抛物线 2 yaxbxc向下平移a bc 个单位长度得到的二次函数解析式为 27 22 ()yaxbxcabcaxbxab 由二次函数图象特征可知， 2 yaxbxab的图象位于 x 轴的下方，顶点恰好在 x 轴 上 即0y 恒成立 则对于任意实数t，总有 2 0atbtab，即 2 atbtab，结论正确 将抛物线 2 yaxbxc向下平移 p个单位长度得到的二次函数解析式为 2 yaxbx
47、cp 函数 2 yaxbxcp 对应的一元二次方程为 2 0axbxcp ， 即 2 a xb x cp 因此，若一元二次方程 2 axbxcp的根为整数，则其根只能是 12 1,3xx 或 12 0,2xx 或 12 1xx 对应的p的值只有三个，则结论错误 综上，结论正确的是 故答案为： 12 （2020 上海） （4 分）如果将抛物线 yx2向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达 式是 yx2+3 【解答】解：抛物线 yx2向上平移 3 个单位得到 yx2+3 故答案为：yx2+3 10 （2020 宁夏） （3 分）若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值 范围是 k1 6 （2020 黑龙江牡丹江） （3 分）将抛物线 2 1yaxbx向上平移 3 个单位长度后，经过点 ( 2,5)，则8411ab的值是 5 【解答】解：将抛物线 2 1yaxbx向上平移 3 个单位长度后， 表达式为： 2 2yaxbx， 经过点( 2,5)，代入得：42
