1、 1 2016-2017 学年安徽省安庆高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内 .） 1已知 z= ，则 |z|+z=（ ） A 1+i B 1 i C i D i 2函数 f（ x） =1+x sinx在（ 0， 2 ）上是（ ） A减函数 B增函数 C在（ 0， ）上增，在（ ， 2 ）上减 D在（ 0， ）上减，在（ ， 2 ）上增 3用 反证法证明命题： “ 自然数 a， b， c中恰有一个是偶数 ” 时，要做的假设是（ ） A a， b， c中至少有两个
2、偶数 B a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 C a， b， c都是奇数 D a， b， c都是偶数 4求曲线 y=x2与 y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ） A B C D 5若函数 f（ x） =x3 tx2+3x在区间 1， 4上单调递减，则实数 t的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 3 C ， + ） D 3， + ） 6记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，利用倒序求和的方法，可将 Sn表示成首项 a1、末项 an与项数 n 的一个关系式，即公式 Sn= ；类似地，记等比数列 bn的前 n 项积为Tn，且 bn 0（ n N*），试类比等差数列求和的方法，可将 T
3、n表示成首项 b1、末项 bn与项数n的一个关系式，即公式 Tn=（ ） A B C D（ b1bn） 7若从 1， 2， 3， ? ， 9这 9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A 60种 B 63种 C 65种 D 66种 2 8已知点 A（ l， 2）在函数 f（ x） =ax3的图象上，则过点 A 的曲线 C： y=f（ x）的切线方程是（ ） A 6x y 4=0 B x 4y+7=0 C 6x y 4=0或 x 4y+7=0 D 6x y 4=0或 3x 2y+1=0 9设函数 f（ x）在 R 上可导，其导函数 f （ x），且函数 f（ x）在
4、x= 2处取得极小值，则函数 y=xf （ x）的图象可能是（ ） A B C D 10若关于 x 的方程 2x3 3x2+a=0在区间 2， 2上仅有一个实根，则实数 a的取值范围为（ ） A（ 4， 0 1， 28） B 4， 28 C 4， 0） （ 1， 28 D（ 4， 28） 11某班要从 A， B， C， D， E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的 A，B， C三人都不连任原职务的方法种数为（ ） A 30 B 32 C 36 D 48 12定义在（ 1， 1）上的函数 f（ x） =1+x ，设 F（ x） =f（ x+4），且 F（ x）的零点均在区间（ a
5、， b）内，其中 a， b z， a b，则圆 x2+y2=b a的面积的最小值为（ ） A B 2 C 3 D 4 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把最简单结果填在题后的横线上） 13设复数 z= ，则 z的共轭复数为 14 （ x2+x+ ） dx= 15已知不等式 ，照此规律，总结出第 n（ n N*）个不等式为 3 16身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 种 三、解答题（本大题共 6小题， 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（ 10分）已知关
6、于 x的方程： x2（ 6+i） x+9+ai=0（ a R）有实数根 b （ 1）求实数 a， b的值 （ 2）若复数 z满足 | a bi| 2|z|=0，求 z为何值时， |z|有最小值，并求出 |z|的最小值 18（ 12分）已知 a 0， b 0， a+b=1，求证： （ ） + + 8； （ ）（ 1+ ）（ 1+ ） 9 19（ 12分）设函数 f（ x） = x3 x2+bx+c，曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=1 （ 1）求 b， c的值； （ 2）若 a 0，求函数 f（ x）的单调区间； （ 3）设已知函数 g（ x） =f（ x） +2x
7、，且 g（ x）在区间（ 2， 1）内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围 20（ 12分）设数列 an满足 a1=3， an+1=an2 2nan+2（ n=1， 2， 3， ? ） （ 1）求 a2， a3， a4的值，并猜想数列 an的通项公式（不需证明）； （ 2）记 Sn为数列 an的前 n项和，试求使得 Sn 2n成立的最小正整数 n，并给出证明 21（ 12分）已知函数 f（ x） =x lnx a， g（ x） =x+ （ lnx） a+1， a R （ ）若 f（ x） 0在定义域内恒成立，求 a的取值范围； （ ）当 a取（ ）中的最大值时，求函数 g（ x） 的最小值；
8、 （ ）证明不等式 ln （ n N+） 22（ 12 分）已知函数 ，对任意的 x （ 0， + ），满足 ， 其中 a， b为常数 （ 1）若 f（ x）的图象在 x=1处切线过点（ 0， 5），求 a的值； 4 （ 2）已知 0 a 1，求证： ； （ 3）当 f（ x）存在三个不同的零点时，求 a的取值范围 5 2016-2017 学年安徽省安庆一中高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内 .） 1已知 z= ，则 |z|+z=（ ） A
9、 1+i B 1 i C i D i 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数模的计算公式即可得出 【解答】 解： z= = = =i， 则 |z|+z=1+i 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、复数模的计算公式，属于基础题 2函数 f（ x） =1+x sinx在（ 0， 2 ）上是（ ） A减函数 B增函数 C在（ 0， ）上增，在（ ， 2 ）上减 D在（ 0， ）上减， 在（ ， 2 ）上增 【考点】 H5：正弦函数的单调性 【分析】 首先对函数求导数，得 f（ x） =1 cosx，再根据余弦函数 y=cosx 在（ 0， 2 ）上恒小
10、于 1，得到在（ 0， 2 ）上 f（ x） =1 cosx 0 恒成立结合导数的符号与原函数单调性的关系，得到函数 f（ x） =1+x sinx 在（ 0， 2 ）上是增函数 【解答】 解：对函数 f（ x） =1+x sinx求导数，得 f（ x） =1 cosx， 1 cosx 1在（ 0， 2 ）上恒成立， 在（ 0， 2 ）上 f（ x） =1 cosx 0恒成立， 因此函数函 数 f（ x） =1+x sinx在（ 0， 2 ）上是单调增函数 故选 B 6 【点评】 本题给出一个特殊的函数，通过研究它的单调性，着重考查了三角函数的值域和利用导数研究函数的单调性等知识点，属于中档题
11、 3用反证法证明命题： “ 自然数 a， b， c中恰有一个是偶数 ” 时，要做的假设是（ ） A a， b， c中至少有两个偶数 B a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 C a， b， c都是奇数 D a， b， c都是偶数 【考点】 FC：反证法 【分析】 用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为： “a ， b， c中 至少有两个偶数或都是奇数 ” ，由此得出结论 【解答】 解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而： “ 自然数 a， b， c 中恰有一个偶数 ” 的否定为： “a ， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 ” ， 故选： B 【点评
12、】 本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键 4求曲线 y=x2与 y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ） A B C D 【考点】 69：定积分的简单应用 【分析】 画出图象确定所求区域，用定积分即可求解 【解答】 解：如图所示 S=S ABO S 曲边梯形 ABO ，故选： B 7 【点评】 用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算 5若函数 f（ x） =x3 tx2+3x在区间 1， 4上单调递减，则实数 t的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 3 C ， + ） D 3， + ） 【考点】 3F：函数单调
13、性的性质 【分析】 由题意可得 f （ x） 0即 3x2 2tx+3 0在 1， 4上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集 【解答】 解： 函数 f（ x） =x3 tx2+3x， f （ x） =3x2 2tx+3， 若函数 f（ x） =x3 tx2+3x在区间 1， 4上 单调递减， 则 f （ x） 0即 3x2 2tx+3 0在 1， 4上恒成立， t （ x+ ）在 1， 4上恒成立， 令 y= （ x+ ），由对勾函数的图象和性质可得：函数在 1， 4为增函数， 当 x=4时，函数取最大值 ， t ， 即实数 t的取值范围是 ， + ）， 故选： C 【点评】 本题主要考
14、查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题 6记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，利用倒序求和的方法，可将 Sn表示成首项 a1、末项 an8 与项数 n 的一个关系式，即公式 Sn= ；类似地，记等比数列 bn的前 n 项积为Tn，且 bn 0（ n N*），试类比等差数列求和的方法， 可将 Tn表示成首项 b1、末项 bn与项数n的一个关系式，即公式 Tn=（ ） A B C D（ b1bn） 【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合 【分析】 由倒序求和的方法，可得等比数列中，运用倒序相乘的方法，结合等比数列的性质，即可得到所求积 【解答】 解：等比数列 bn的前
15、n项积为 Tn， 可得 Tn=b1b2?b n， Tn=bnbn 1?b 1， 相乘可得 Tn2=（ b1bn）（ b2bn 1） ? （ bnb1） =（ b1bn） n， bn 0（ n N*），可得 Tn=（ b1bn） 故选： D 【点评】 本题考查等比数列的性质和类比思想方法，注意等差数列的前 n项和的推导方法，考查推理和运算能力，属于中档题 7若从 1， 2， 3， ? ， 9这 9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A 60种 B 63种 C 65种 D 66种 【考点】 D3：计数原理的应用 【分析】 本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得
