1、 1 2016-2017 学年安徽省合肥市巢湖市高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若复数 z=a 2i的实部与虚部相等，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 2已知复数 z= ，则 ?i在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3观察： + 2 ， + 2 ， + 2 ， ? ，对于任意的正实数 a， b，使 + 2 成立的一个条件可以是（ ） A a+b=22 B a+b=21 C ab=20 D ab=21 4已知函数 f（
2、 x）的导函数为 f （ x），且满足 f（ x） =2xf （ 2） +ln x，则 f （ 2） =（ ） A e B C D e 5由 y=2x+5是一次函数； y=2x+5的图象是一条直线； 一次函数的图象是一条直线写一个 “ 三段论 ” 形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（ ） A B C D 6下列各函数的导数： ； （ ax） =a 2lnx； （ sin2x） =cos2x ； （ ） = 其中正确的有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7观察下列等式， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102 根据上述规律， 1
3、3+23+33+43+53+63=（ ） A 192 B 202 C 212 D 222 8 dx等于（ ） A B C D 2 9函数 f（ x） =ax3 x在 R上是减函数，则（ ） 2 A a 0 B a 1 C a 2 D 10设 a= xdx， b=1 dx， c= x3dx，则 a， b， c的大小关系（ ） A b c a B b a c C a c b D a b c 11在数学归纳法的递推性证明中由假设 n=k 时成立推导 n=k+1 时成立时 f（ n） =1+ +? + 增加的项数是（ ） A 1 B 2k+1 C 2k 1 D 2k 12如果函数 y=f（ x）的导函
4、数的图象如图所示，给出下列判断： 函数 y=f（ x）在区间 内单调递增； 函数 y=f（ x）在区间 内单调递减； 函数 y=f（ x）在区间（ 4， 5）内单调递增； 当 x=2时，函数 y=f（ x）有极小值； 当 x= 时，函数 y=f（ x）有极大值则上述判断中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案 填在题中的横线上） 13复数 （ i为虚数单位）的实部等于 14观察下列各式： a+b=1， a2+b2=3， a3+b3=4， a4+b4=7， a5+b5=11， ? ，则 a10+b10= 15曲线 y=sinx（ 0 x ）
5、与 x轴围成的封闭区域的面积为 16已知函数 f（ x） =x3+3mx2+nx+m2在 x= 1时有极值 0，则 m+n= 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17（ 10分）设复数 z= ，若 z2+az+b=1+i，求实数 a， b的值 18（ 12分）证明： 1， ， 2不能为同一等差数列的三项 3 19（ 12分）当 n 2， n N*时，求证： 1+ + +? + 20（ 12分）已知函数 f（ x） = x3+3x2+9x+a （ ）求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若 f（ x）在区间 2， 2上的最大值为 20，求它在该区间
6、上的最小值 21（ 12分）求曲线 y=x2 2x+3与直线 y=x+3围成的图形的面积 22（ 12分）已知函数 f（ x） =x3+3ax2+3x+1 （ ）求 a= 时，讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 x 2， + ）时， f（ x） 0，求 a的取值范围 4 2016-2017 学年安徽省合肥市巢湖市柘皋中学高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若复数 z=a 2i的实部与虚部相等，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 A3
7、：复数相等的充要条件 【分析】 利用实部与虚部相等即可得出方程 【解答】 解：复数 z=a 2i 的实部与虚部相等， a= 2 故选： C 【点评】 本题考查了复数实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 2已知复数 z= ，则 ?i在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = i，则 ?i= ?i= 在复平面内对应的点 位于第一象限 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能
8、力，属于基础题 3观察： + 2 ， + 2 ， + 2 ， ? ，对于任意的正实数 a， b，使 + 2 成立的一个条件可以是（ ） A a+b=22 B a+b=21 C ab=20 D ab=21 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 观察前三个不等式的特点，归纳出来不等式的规律，即可得到结论 5 【解答】 解： 6+15=5.5+15.5=4 +17+ =21， 根据归纳推理的知识 ，可以猜想满足 + 2 成立的一个条件可以是 a+b=21 故选 B 【点评】 本题主要考查归纳推理的应用，根据不等式的特点归纳出规律是解决本题的关键，比较基础 4已知函数 f（ x）的导函数为 f （ x）
9、，且满足 f（ x） =2xf （ 2） +ln x，则 f （ 2） =（ ） A e B C D e 【考点】 63：导数的运算 【分析】 将 f （ 2）看出常数利用导数的运算法则求出 f （ x），令 x=2即可求出 f （ 2） 【解答】 解： f （ x） =2f （ 2） + 令 x=2得 f （ 2） =2f （ 2） + f （ 2） = ， 故选： C 【点评】 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求 出导函数值 5由 y=2x+5是一次函数； y=2x+5的图象是一条直线； 一次函数的图象是一条直线写一个 “ 三段论 ” 形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是
10、（ ） A B C D 【考点】 F6：演绎推理的基本方法 【分析】 本题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念，由三段论： y=2x+5 是一次函数； y=2x+5 的图象是一条直线； 一次函数的图象是一条直线；我们易得大前提是 ，小前提是 ，结论是 则易得答案 【解答】 解：三段论： y=2x+5是一 次函数； y=2x+5的图象是一条直线； 一次函数的图象是一条直线； 6 大前提是 ， 小前提是 ， 结论是 故排列的次序应为： ， 故选： D 【点评】 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理 6下列各函数的导数： ； （ ax） =a 2lnx； （ sin2x） =c
11、os2x ； （ ） = 其中正确的有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 【考点】 63：导数的运算 【分析】 根据题意，依次对 4个函数求导，比较即可得答案 【解答】 解：根据题意，依次对 4个函数求导： 对于 、 y= = ，其导数 y= ，正确； 对于 、 y=ax，其导数 y=a xlna，计算错误； 对于 、 y=sin2x，其 导数 y=2cos2x ，计算错误； 对于 、 y= =（ x+1） 1，其导数 y= ，计算错误； 只有 的计算是正确的； 故选： B 【点评】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则 7观察下列等式， 13+23=32， 13+
12、23+33=62， 13+23+33+43=102 根据上述规律， 13+23+33+43+53+63=（ ） A 192 B 202 C 212 D 222 【考 点】 F1：归纳推理； 8M：等差数列与等比数列的综合 【分析】 解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加从中找规律性即可 7 【解答】 解： 所给等式左边的底数依次分别为 1， 2； 1， 2， 3； 1， 2， 3， 4； 右边的底数依次分别为 3， 6， 10，（注意：这里 3+3=6， 6+4=10），
13、由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 右边的底数为 10+5+6=21又左边为 立方和，右边为平方的形式， 故有 13+23+33+43+53+63=212 故选 C 【点评】 本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理它与演绎推理的思维进程不同归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程属于基础题 8 dx等于（ ） A B C D 2 【考点】 67：定积分 【分析】 利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论 【解答】 解： dx 的几何意义是以（ 0， 0）为圆心， 1
14、为半径的单位圆在 x 轴上方部分（半圆）的面积 dx= = 故选 B 【点评】 本题考查定积分的计算门课程利用几何意义求定积分，属于基础题 9函数 f（ x） =ax3 x在 R上是减函数，则（ ） A a 0 B a 1 C a 2 D 【考点】 3F：函数单调性的性质 【分析】 求导函数，将函数 f（ x） =ax3 x 在 R 上是减函数，转化为 f （ x） =3ax2 1 0在 R上恒成立，从而问题得解 【解答】 解：求导函数可得： f （ x） =3ax2 1 函数 f（ x） =ax3 x 在 R上是减函数 f （ x） =3ax2 1 0在 R 上恒成立 8 a 0 故选： A 【点评】 本题考查的重点是函数的单调性，解题的关键是利用导数，将函数 f（ x） =ax3 x在 R上是减函数，转化为 f （ x） =3ax2 1 0在 R上恒成立 10设 a= xdx， b=1 dx， c= x3dx，则 a， b， c的大小关系（ ） A b c a B b a c C a c b D a b c 【考点】 67：定积分 【分析】 利用微积分基本定理即可得出 【解答】 解： a= xdx= x2| = ， b=1 dx=1 | =1 = c= x3dx= x4| = ， a b c， 故选： D
