1、 - 1 - 2016-2017 学年湖北省普通高中联考协作体高二（下）期中数学试卷（理科）（ B 卷） 一 .选择题（每题 5分） 1复数 的共轭复数是（ ） A i+2 B i 2 C 2 i D 2 i 2演绎推理 “ 因为 f （ x0） =0时， x0是 f（ x）的极值点，而对于函数 f（ x） =x3， f （ 0）=0，所以 0是函数 f（ x） =x3的极值点 ” 所得结论错误的原因是（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D全不正确 3若 =1 ai，其中 a是实数， i是虚数单位，则 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 4直线 y=2x与曲线 y=x3
2、围成的封闭图形的面积是（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 5在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i、 2 i、 0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ） A 3+i B 3 i C 1 3i D 1+3i 6已知曲线 y= 2lnx+1的一条切线的斜率为 1，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 1或 2 D 7用数学归纳法证明等式： 1+2+3+? +2n=n（ 2n+1）时，由 n=k 到 n=k+1 时，等式左边应 添加的项是（ ） A 2k+1 B 2k+2 C（ 2k+1） +（ 2k+2） D（ k+1） +（ k+2） +? +2k 8函数
3、f（ x） =x2 ln（ 2x）的单调增区间是（ ） A（ 0， B ， + C（ ， ，（ 0， ） D ， 0），（ 0， 9若函数 f（ x） =ax3 x+10在 x R内是减函数，则（ ） A a 0 B a 1 C a 0 D a 0 10设 f （ x）是函数 f（ x）的导函数， y=f （ x）的图象如图所示，则 y=f（ x）的图象最有可能的是（ ） - 2 - A B C D 11已知函数 f（ x） =f （ ） cosx+sinx，则 f（ ） =（ ） A B C 1 D 0 12已知函数 f（ x） =cosx+e x+x2016，令 f1（ x） =f （ x
4、）， f2（ x） =f1 （ x）， f3（ x） =f2（ x）， ? ， fn+1=fn （ x），则 f2017（ x） =（ ） A sinx+e x B cosx e x C sinx e x D cosx+e x 二 .填空题 13定义运算 ，若复数 z满足 ，其中 i为虚数单位，则复数 z= 14 “ 开心辞典 ” 中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数： ， ， ， ， ，它的第 8个数可以是 15圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示，椭圆 C： + =1（ a
5、 b 0）可以被认为由圆 x2+y2=a2作纵向压缩变换或由圆 x2+y2=b2作横向拉伸变换得到的依据上述论述我们可以推出椭圆 C的面积公式为 - 3 - 16已知直线 y=mx（ m R）与函数 的图象恰好有三 个不同的公共点，则实数 m的取值范围是 三、解答题 17已知曲线 y=x3+x 2在点 P0处的切线 l1平行直线 4x y 1=0，且点 P0在第三象限， （ 1）求 P0的坐标； （ 2）若直线 l l1，且 l也过切点 P0，求直线 l的方程 18（ 1）设 f（ x） = ，求 f（ x） dx 的值； （ 2）若复数 z1=a+2i（ a R）， z2=3 4i，且 为纯
6、虚数，求 |z1| 19已知函数 f（ x） =ax3+x2（ a R）在 x= 处取得极值 （ 1）确定 a的值； （ 2）若 gx） =f（ x） ex，求 g（ x）的单 调区间 20（ 1）已知 a， b是正实数，求证： （ 2）已知： A， B都是锐角，且 A+B 90 ，（ 1+tanA）（ 1+tanB） =2，求证： A+B=45 21已知 f（ x） =xlnx， g（ x） = x2+ax 3 （ 1）对 x （ 0， + ），不等式 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a的取值范围； （ 2）证明：对一切 x （ 0， + ），都有 22已知函数 ，其中 a 0 （
7、）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）的最小值为 1，求 a的取值范围 - 4 - 2016-2017学年湖北省普通高中联考协 作体高二（下）期中数学试卷（理科）（ B卷） 参考答案与试题解析 一 .选择题（每题 5分） 1复数 的共轭复数是（ ） A i+2 B i 2 C 2 i D 2 i 【考点】 A2：复数的基本概念； A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数 【解答】 解： 复数 = = 2 i， 共轭复数是 2+i 故选 B 2演绎推理 “ 因为
8、f （ x0） =0时， x0是 f（ x）的极值点，而 对于函数 f（ x） =x3， f （ 0）=0，所以 0是函数 f（ x） =x3的极值点 ” 所得结论错误的原因是（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D全不正确 【考点】 F5：演绎推理的意义 【分析】 根据题意，由函数的极值与导数的关系分析可得大前提错误，结合演绎推理三段论的形式分析可得答案 【解答】 解： 大前提是： “ 对于可导函数 f（ x），如果 f（ x0） =0，那么 x=x0是函数 f（ x）的极值点 ” ，不是真命题， 因为对于可导函数 f（ x），如果 f（ x0） =0，且满足当 x x0时和当
9、 x x0时的导 函数值异号时，那么 x=x0是函数 f（ x）的极值点， 大前提错误， 故选： A 3若 =1 ai，其中 a是实数， i是虚数单位，则 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 - 5 - 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件得答案 【解答】 解： = =1ai， a=1， a= 1 故选： D 4直线 y=2x与曲线 y=x3围成的封闭图形的面积是（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 【考点】 6G：定积分在求面积中的 应用 【分析】 根据积分的几何意义即可求出对应的面积 【解答】 解：由 得
10、x3=2x， 解得 x=0或 x= 或 x= ， 则由对称性可知所求面积 S=2 （ 2x x3） dx=2（ x2 x4） | =2（ 2 ） =2（ 2 1） =2， 故选： B 5在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i、 2 i、 0，那么这个正方- 6 - 形的第四个顶点对应的复数为（ ） A 3+i B 3 i C 1 3i D 1+3i 【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 设一个正方形的三 个顶点 A（ 0， 0）， B（ 2， 1）， D（ 1， 2），由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 AB AD，再由正方形 ABCD 的对角线互相
11、平分，运用中点坐标公式，即可得到 C的坐标，进而得到所求复数 【解答】 解：一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i、 2 i、 0， 可设 A（ 0， 0）， B（ 2， 1）， D（ 1， 2）， 由 kBA= ， kAD=2，可得 AB AD， 由正方形 ABCD的对角线互相平分， 可得 BD 的中点坐标为（ ， ）， 即有 C的坐标为（ 1， 3）， 对应的复数为 1 3i 故选： C 6已知曲线 y= 2lnx+1的一条切线的斜率为 1，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 1或 2 D 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设出切点坐标，求得曲线对应
12、函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，注意函数的定义域 【解答】 解：设切点坐标为（ m， n），（ m 0）， y= 2lnx+1的导数为 y=x ， 可得切线的斜率为 m =1， 解方程可得 m=2，（ 1 舍去） 则切点的横坐标为 2 故选： B 7用数学归纳法证明等式 ： 1+2+3+? +2n=n（ 2n+1）时，由 n=k 到 n=k+1 时，等式左边应添- 7 - 加的项是（ ） A 2k+1 B 2k+2 C（ 2k+1） +（ 2k+2） D（ k+1） +（ k+2） +? +2k 【考点】 RG：数学归纳法 【分析】 由数学归纳法可知 n=k时，左端为 1+
13、2+3+? +2k，到 n=k+1时，左端左端为 1+2+3+? +2k+（ 2k+1） +（ 2k+2），从而可得答案 【解答】 解： 用数学归纳法证明等式 1+2+3+? +2n=n（ 2n+1）时， 当 n=1左边所得的项是 1+2； 假设 n=k时，命题成立，左端 为 1+2+3+? +2k）； 则当 n=k+1时，左端为 1+2+3+? +2k+（ 2k+1） +（ 2k+2）， 由 n=k到 n=k+1时需增添的项是（ 2k+1） +（ 2k+2） 故选： C 8函数 f（ x） =x2 ln（ 2x）的单调增区间是（ ） A（ 0， B ， + C（ ， ，（ 0， ） D ，
14、0），（ 0， 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可 【解答】 解： f（ x）的定义域是（ 0， + ）， f （ x） =2x = ， 令 f （ x） 0，解得： x ， 故 f（ x）在 ， + ）递增， 故选： B 9若函数 f（ x） =ax3 x+10在 x R内是减函数，则（ ） A a 0 B a 1 C a 0 D a 0 【考点】 3F：函数单调性的性质 【分析】 由题意可得 f （ x） =3ax2 1 0恒成立，由此求得 a的范围 【解答】 解： 函数 f（ x） =ax3 x+10在 x R
15、内是减函数， f （ x） =3ax2 1 0恒成立， - 8 - 即 a ， a 0， 故选： D 10设 f （ x）是函 数 f（ x）的导函数， y=f （ x）的图象如图所示，则 y=f（ x）的图象最有可能的是（ ） A B C D 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】 先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围，进而根据当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间 【解答】 解：由 y=f（ x）的图象易得当 x 0或 x 2时， f（ x） 0， 故函数 y=f（ x）在区间（ ， 0）和（ 2， + ）上单调递增； 当 0 x 2时， f（ x） 0，故函数 y=f（ x）在区间（ 0， 2）上单调递减； 故选 C 11已知函数 f（ x） =f （ ） cosx+sinx，则 f（ ） =（ ）
