1、 - 1 - 2016-2017 学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1关于复数，给出下列判断： 3 3i； 16 （ 4i） 2； 2+i 1+i； |2+3i| |2+i| 其中正确的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ） A观察下列各式： 72=49， 73=343， 74=2401， ? ，则 72015的末两位数字为 43 B观察（ x2） =2x ，（ x4） =4x 3，（ cosx） =
2、sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C在平面上，若两个正三角形的边长比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1： 2，则它们的体积之比为 1： 8 D已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 3函数 f（ x） =（ 2x 1） ex的递增区间为（ ） A（ ， + ） B C D 4已知 （ n N*），则当 k N*时， f（ k+1） f（ k）等于（ ） A B C D 5已知复数 z满足（ z 5）（ 1 i） =1+i，则复数 z的共轭复数为（ ） A 5+i B 5 i C 5+i D 5 i 6如图所示，
3、阴影部分的面积为（ ） - 2 - A B C 1 D 7若函数 f（ x） =x3+x2+（ a+6） x+a有极大值和极小值，则（ ） A B C D 8观察数组：（ 1， 1， 1），（ 1， 2， 2），（ 3， 4， 12），（ 5， 8， 40）， ? ，（ an，bn， cn），则 cn的值不可能为（ ） A 112 B 278 C 704 D 1664 9 P为椭圆 上异于左右顶点 A1、 A2的任意一点，则直线 PA1与 PA2的斜率之积为定值 将这个结论类比到双曲线，得出的结论为： P为双曲线上异于左右顶点 A1、 A2的任意一点，则（ ） A直线 PA1与 PA2的斜率之
4、和为定值 B直线 PA1与 PA2的斜率之和为定值 2 C直线 PA1与 PA2的斜率之积为定值 D直线 PA1与 PA2的斜率之积为定值 2 10已知 对于任意的 x （ 1， + ）恒成立，则（ ） A a的最小值为 3 B a的最小值为 4 C a的最大值为 2 D a的最大值为 4 11已知复数 z=x+（ x a） i，若对任意实数 x （ 1， 2），恒有 |z| |z+i|，则实数 a的取值范围为（ ） A B C D 12定义在（ 0， + ）上的函数 f（ x）的导函数 f （ x）满足 ，则下列不等式中，一定成立的是（ ） - 3 - A f（ 9） 1 f（ 4） f（
5、1） +1 B f（ 1） +1 f（ 4） f（ 9） 1 C f（ 5） +2 f（ 4） f（ 1） 1 D f（ 1） 1 f（ 4） f（ 5） +2 二、填空题 13 复数 在复平面内对应的点位于第 象限 14若 （ x 0），则 15已知表示不大于 x 的最大整数，设函数 f（ x） =，得到下列结论： 结论 1：当 1 x 2时， f（ x） =0； 结论 2：当 2 x 4时， f（ x） =1； 结论 3：当 4 x 8时， f（ x） =2； 照此规律，得到结论 10： 16若函数 f（ x） =x3 3x+5 a（ a R）在 上有 2个零点，则 a的取值范围是 三、解
6、答题（本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 10分）已知 f（ x） =|x+2| |2x 1|， M为不等式 f（ x） 0的解集 （ 1）求 M； （ 2）求证：当 x， y M时， |x+y+xy| 15 18（ 12分）已知复数 z满足 ， |z|=5 （ 1）求复数 z的虚部； （ 2）求复数 的实部 19（ 12分）已知函数 f（ x） =|2x 1|+|2x 3|， x R （ 1）解不等式 f（ x） 5； （ 2）若不等式 m2 m f（ x）， ? x R都成立，求实数 m的取值范围 20（ 12分）（ 1）当 x 1时，求证： ；
7、（ 2）若 a e，用反证法证明：函数 f（ x） =xex ax2（ x 0）无零点 21（ 12 分）现有一个以 OA、 OB 为半径的 扇形池塘，在 OA、 OB上分别取点 C、 D，作 DE OA、CF OB 分别交弧 AB 于点 E、 F，且 BD=AC，现用渔网沿着 DE、 EO、 OF、 FC 将池塘分成如图所- 4 - 示的养殖区域已知 OA=1km， AOB= ， EOF= （ 0 ） （ 1）若区域 的总面积为 ，求 的值； （ 2）若养殖区域 、 、 的每平方千米的年收入分别是 30万元、 40 万元、 20 万元，试问：当 为多少时，年总收入最大？ 22（ 12分）已知
8、 f（ x） =ln（ 1+x） ， x R （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线的斜率为 5，求 a的值； （ 2）若函数 f（ x）的最小值为 a，求 a的值； （ 3）当 x 1时，（ 1+x） ln（ 1+x） +（ lnk 1） x+lnk 0恒成立，求实数 k的取值范围 - 5 - 2016-2017 学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1关于复数，给出下列判断： 3 3i； 16 （ 4i）
9、2； 2+i 1+i； |2+3i| |2+i| 其中正确 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 A2：复数的基本概念 【分析】 两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小； 利用复数的运算法则即可判断出结论； 利用复数的模的计算公式即可判断出结论 【解答】解： 两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此 3 3i不正确； （ 4i） 2= 16，因此正确； 道理同 ，不正确； |2+3i|= = ， |2+i|= ，因此 |2+3i| |2+i|正确 其中正确的个数为 2 故选： B 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、 两个复数如果不完全是实数不能比较大小
10、，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ） A观察下列各式： 72=49， 73=343， 74=2401， ? ，则 72015的末两位数字为 43 B观察（ x2） =2x ，（ x4） =4x 3，（ cosx） = sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 - 6 - C在平面上，若两个正三角形的边长比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1： 2，则它们的体积之比为 1： 8 D已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为 碱金属，所以钠能与水发生反应 【考点】 F7：进行简单的演绎推理 【分析】分别判断各选项
11、，即可得出结论 【解答】解：选项 A、 B都是归纳推理，选项 C为类比推理，选项 D为演绎推理 故选 D 【点评】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出 “ 三段论 ” 的三个组成部分 3函数 f（ x） =（ 2x 1） ex的递增区间为（ ） A（ ， + ） B C D 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的导数，解关 于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可 【解答】解： f （ x） =（ 2x+1） ex， 令 f （ x） 0，解得： x ， 故 f（ x）在（ ， + ）递增， 故选
12、： D 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题 4 已 知（ n N*），则当 k N*时， f（ k+1） f（ k）等于（ ） A B C D 【考点】 F4：进行简单的合情推理 - 7 - 【分析】当 k N* 时， f （ k+1 ） f （ k ）= + + +? + + + （ + + +? + + ），由此能求出结果 【 解 答 】 解 ： （ n N*）， 当 k N*时， f（ k+1） f（ k） = + + +? + + + （ + + +? + + ） = 故选： D 【点评】本题考查函数式求值，考查待定系数法的应用，考查学生分析解决问题的能力
13、，考查函数的性质及应用，是基础题 5已知复数 z满足（ z 5）（ 1 i） =1+i，则复数 z的共轭复数为（ ） A 5+i B 5 i C 5+i D 5 i 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析 】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：由（ z 5）（ 1 i） =1+i，得 z 5= ， z=5+i，则 ， 故选： B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 6如图所示，阴影部分的面积为（ ） - 8 - A B C 1 D 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】利用定积分表示
14、面积，再计算，即可得出结论 【解答】解：由题意可得 S= （ x2 x） dx+ （ x2 x） dx= （ x3 x2）| +（ x3 x2） | =（ ） +（ 2）（ ） = + + 2=1， 故选： C 【点评】本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础 7若函数 f（ x） =x3+x2+（ a+6） x+a有极大值和极小值，则（ ） A B C D 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】求出函数的导数，问题转化为 f （ x） =0有 2个不相等的实数根，根据二次函数的性质求出 a的范围即可 【解答】解： f （ x） =3x2+2x+a+6， 若 f（ x）
15、有极大值和极小值， 则 f （ x） =0有 2个不相等的实数根， 故 =4 12（ a+6） 0，解得： a ， 故选： C 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题 8观察数组：（ 1， 1， 1），（ 1， 2， 2），（ 3， 4， 12），（ 5， 8， 40）， ? ，（ an，bn， cn），则 cn的值不可能为（ ） - 9 - A 112 B 278 C 704 D 1664 【考点】 F4：进行简单的合情推理 【分析】由题意 an= 1+（ n 1） 2=2n 3， bn=2n 1，从而得到 cn=anbn=（ 2n 3） ?2n 1，由此能求出结果 【解答】解：由题意 an= 1+（ n 1） 2
